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直线与圆锥曲线的位置关系【专题复习】


直线与圆锥曲线的位置关系
一.知识网络结构:
? 位置关系) ?几何角度(主要适用于直线与圆的 关系? ?直线与圆锥曲线的位置 直线与圆锥曲线位置关 系) ? ?代数角度(适用于所有 1.直线与圆锥曲线 ? 易) ?利用一般弦长公式(容 ? 弦长问题? ?直线与圆锥曲线相交的 繁琐) ?利用两点间距离公式( ?

2.直线与圆锥曲线的位置关系: ⑴.从几何角度看: (特别注意) 要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时, 直线与双曲线只有一个交点; 当直线与抛物线的对称轴平行或重合时,直线与抛物线也只有一个交点。 ⑵.从代数角度看:设直线 L 的方程与圆锥曲线的方程联立得到 ax ? bx ? c ? 0 。
2

①. 若 a =0,当圆锥曲线是双曲线时,直线 L 与双曲线的渐进线平行或重合; 当圆锥曲线是抛物线时,直线 L 与抛物线的对称轴平行或重合。
2 ②.若 a ? 0 ,设 ? ? b ? 4ac 。 a . ? ? 0 时,直线和圆锥曲线相交于不同两点,相交。

b. ? ? 0 时,直线和圆锥曲线相切于一点,相切。c. ? ? 0 时,直线和圆锥曲线没有公共点,相离。

二.常考题型解读:题型一:直线与椭圆的位置关系:
例 1.椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的点到直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 的最大距离是( 16 4
B. 11 C. 2 2 D. 10



A.3

例 2.如果椭圆 A. x ? 2 y ? 0

x2 y2 ? ? 1 的弦被点 (4,2) 平分,则这条弦所在的直线方程是( 36 9
B. x ? 2 y ? 4 ? 0 C. 2 x ? 3 y ? 12 ? 0



D. x ? 2 y ? 8 ? 0

题型二:直线与双曲线的位置关系:
例 3.已知直线 L : y ? kx ? 1 与双曲线 C : x 2 ? y 2 =4。 ⑴若直线 L 与双曲线 C 无公共点,求 k 的范围;⑵若直线 L 与双曲线 C 有两个公共点,求 k 的范围; ⑶若直线 L 与双曲线 C 有一个公共点,求 k 的范围;⑷若直线 L 与双曲线 C 的右支有两个公共点,求 k 的范围;⑸若直线 L 与双曲线 C 的两支各有一个公共点,求 k 的范围。

1

题型三:直线与抛物线的位置关系:
例 4.在抛物线 y 2 ? 2 x 上求一点 P,使 P 到焦点 F 与 P 到点 A(3,2) 的距离之和最小。

题型四:弦长问题:
直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点,化解这个难点的方法是:设而不求,根据根与系数 的 关 系 , 进 行 整 体 代 入 。 即 当 直 线 斜率为k 与 圆 锥 曲 线 交 于 点 A?x1 , y1 ? , B?x 2 , y 2 ? 时 , 则

?

?

AB = 1? k 2 x1 ? x2 = 1? k 2
= 1?

?x1 ? x2 ?2 ? 4 x1 x2 ? y1 ? y 2 ?2 ? 4 y1 y 2

1 1 y1 ? y2 = 1 ? 2 2 k k

可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程,利用根与系数的关系得到两根之 和,两根之积的代数式,然后再进行整体带入求解。 例 5.过双曲线

x2 y2 ? ? 1 的右焦点 F2 ,倾斜角为 300 的直线交双曲线于 A、B 两点,求 AB 。 3 6

2

题型五:中点弦问题:求以某定点为中点的圆锥曲线的弦的方程的几种方法:
⑴.点差法:将弦的两个端点坐标代入曲线方程,两式相减,即可确定弦的斜率,然后由点斜式得出弦的 方程; ⑵.设弦的点斜式方程,将弦的方程与曲线方程联立,消元后得到关于 x(或 y)的一元二次方程,用根与 系数的关系求出中点坐标,从而确定弦的斜率 k,然后写出弦的方程; ⑶.设弦的两个端点分别为 ?x1 , y1 ?, ?x2 , y 2 ? ,则这两点坐标分别满足曲线方程,又 ?

? x1 ? x2 y1 ? y 2 ? , ?为 2 ? ? 2

弦的中点,从而得到四个方程,由这四个方程可以解出两个端点,从而求出弦的方程。 例 6.已知双曲线方程 2 x 2 ? y 2 =2。⑴求以 A ?2,1? 为中点的双曲线的弦所在的直线方程; ⑵过点 ?1,1? 能否作直线 L,使 L 与双曲线交于 Q1 , Q2 两点,且 Q1 , Q2 两点的中点为 ?1,1? ?如果存在, 求出直线 L 的方程;如果不存在,说明理由。

题型六:圆锥曲线上的点到直线的距离问题:
例 7.在抛物线 y 2 ? 64x 上求一点,使它到直线 L: 4 x ? 3 y ? 46 ? 0 的距离最短,并求这个最短距离。

3


1.(09 上海)过点 A(1,0) 作倾斜角为 写出所涉及到的公式:






? 的直线,与抛物线 y 2 ? 2 x 交于 M 、N 两点,则 MN = 4

2.(09 海南)已知抛物线 C 的顶点坐标为原点,焦点在 x 轴上,直线 y=x 与抛物线 C 交于 A,B 两点, 若 P ? 2,2? 为 AB 的中点,则抛物线 C 的方程为 。

x2 y 2 3.(08 宁夏海南)过椭圆 ? ? 1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A、B 两点,O 为坐标 5 4
原点,则△OAB 的面积为 4.(11 全国)已知直线 L 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直,L 与 C 交于 A,B 两点, | AB |? 12 , P 为 C 的准线上一点,则 ?ABP 的面积为( A.18 B.24 ) C. 36 D. 48

5.(09 山东)设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y 2 ? ax (a ? 0) 的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,若△OAF(O 为坐 标原点)的面积为 4,则抛物线方程为( A. y 2 ? ? 4 x B. y 2 ? ? 8x ) D. y 2 ? 8x

C. y 2 ? 4 x

6.(09 山东)设双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1 的一条渐近线与抛物线 y=x 2 +1 只有一个公共点,则双曲线的离心率 2 a b
B. 5 C.

为(

).A.

5 4

5 2
2

D. 5

7.(10 全国)设 F1 , F2 分别是椭圆 E: x +

y2 =1(0﹤b﹤1)的左、右焦点,过 F1 的直线 L 与 E 相交 b2

于 A、B 两点,且 AF2 , AB , BF2 成等差数列。⑴求 AB ⑵若直线 L 的斜率为 1,求 b 的值。
2 8. (11 江西) 已知过抛物线 y ? 2 px? p ? 0?的焦点, 斜率为 2 2 的直线交抛物线于 A ? x1 , y2 ? , B ? x2 , y2 ?

( x1 ? x2 )两点,且 AB ? 9 .⑴求该抛物线的方程;⑵ O 为坐标原点, C 为抛物线上一点,若

OC ? OA ? ?OB ,求 ? 的值.

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