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20042005上期高二数学同步单元测试(六) (2)


2004-2005 上期高二数学同步单元测试(六)
—圆锥曲线方程单元测试题(2)
1.曲线|x―1|+|y―1|=1 所围成的图形的面积为( A.1 B.2 C.4 ) D. 2 )

2.直线 x+ay―a=0 与直线 ax―(2a―3)y―1=0 互相垂直,则实数 a 的值为( A.2 B.-3 或 1 C.2 或 0 D.1 或 0 3.下列四个命题中的真命题是( ) A.经过点 P( x0,y0 ) 的直线一定可以用方程 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 表示

B . 经 过 任 意 两 个 不 同 点 心 P 1 ( x1,y1 ) 、 P 2 ( x2,y 2 ) 的 直 线 都 可 以 用 方 程

( y ? y1 )(x 2 ? x1 ) ? ( x ? x1 )( y 2 ? y1 ) 表示
C.不经过原点的直线都可以用方程

x y ? ? 1 表示 a b


D.经过点 A(0,b)的直线都可以用方程 y=kx+b 表示 4.圆 x ? y ? 4x ? 2 y ? c ? 0 与 y 轴交于 A、B 两点,圆心为 P,若∠APB=120°,则实数 c 等于(
2 2

A.1

B.-11

C.9

D.11 )

5.已知直线 l:y=x+m 与曲线 y ? 1 ? x 2 有两个公共点,则实数 n 的取值范围是( A. (-2,2) B. (-1,1) C. [1 ,2 ] D. [? 2,2 ] )

6.如果动点 P 是△ABC 所在平面上的点,且 S ?PBC ? S ?PAB ,则点 P 的轨迹为( A.两条平行直线 C.∠BAC 的平分线 B.过点 B 的两条直线(除点 B) D.AC 边的中垂线

7.如果实数 x、y 满足等式 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 3 ,那么

y 的最大值是( x



A.

1 2

B.

3 3
2 2

C.

3 2

D. 3 )

8.直线 ax+by+c=0 与圆 x ? y ? 1 相切,且 abc≠0,则以|a|、|b|、|c|为长的三线段(

A.可构成直角三角形 B.可构成锐角三角形 C.可构成钝角三角形 D.不能构成三角形 9 .已知两点 A ( 2+x , 2+y ) 、 B ( y ― 4 , 6 ― x )关于点 C ( 1 ,- 1 )对称,则实数 x 、 y 的值分别为 _____________________________。 10.设 a+b=2,则直线系 ax+by=1 恒过定点的坐标为___________________________。 11.若经过 A(-3,2)和 B(6,1)两点的直线与直线 x+3y-6=0 相交于点 M,则点 M 分 AB 的比是 ______________________________________。 12.已知 P(1,2)为圆 x ? y ? 9 内一定点,过 P 作两条互相垂直的任意弦交圆于 B、C 两点,求 B、C 中
2 2

点 M 的轨迹方程。

13.已知两圆 C1 : x 2 ? y 2 ? 9 , C2 : ( x ? 4) 2 ? ( y ? 6) 2 ? 1 。 (1)若两圆外切线相交于点 P,求点 P 的坐标; (2)求两圆外公切线的方程。

14.试在 x 轴上求点 A,直线 y=x 上求点 B,使△ABC 的周长最小,其中点 C 的坐标为(2,1) 。

2 2 15.已知 x+y+1=0,试求 ( x ? 1) ? ( y ? 1) 的最小值。

16.设 a、b、c 都是整数,过圆 x ? y ? (3a ? 1) 外一点 P(b ? b,c ? c) 向圆引两条切线,试证明:过这两切
2 2 2 3 3

点的直线上的任意一点都不是格点(所谓格点是指:横、纵坐标都是整数的点) 。

参考答案 1.B (点评:曲线围成一个以(1,1)为中心的正方形) 2.C (点评:当 a=0 时,一条直线的斜率为 0,另一条直线的斜率不存在,此时它们垂直;当 a≠0 时,利用 它们的斜率之积为-1 可求得 a=2) 3.B (点评:直线的点斜式、斜截式均不能表示没有斜率的直线;而直线的截距式式不能表示垂直于坐标轴 和过原点的直线)
2 2 4.C (点评:作 P 在 y 轴上的垂足 Q,则∠APQ=60°,于是圆半径为 r ?| AP |? | AQ | ? | PQ | ? 4 ,

而由方程得, r ? c ? 5 ,从而 c―5=4,c=9)
2

5.C (点评:曲线 y ? 1 ? x 2 表示单位圆的上半部分,画出直线 1 与曲线在同一坐标系中的图像,可观察 出仅当直线 1 在过点(―1,0)与直线与圆的上切线之间时,直线 1 与曲线有两个交点,当直线 1 过点(―1,0) 时,m=1;当直线 1 为圆的上切线时, m ?

2 (注: m ? ? 2 时,直线 1 为下切线)

6.B (点评:轨迹为过点 B 与 AC 的中点的连线的直线或过点 B 且平行 AC 的直线(均除去点 B) ) 7.D (点评:

y 表示原点与圆上动点(x,y)连线所在直线的斜率,当过原点的直线与圆相切时(倾斜角 x

为锐角) ,斜率最大,设切线方程为 y=kx,利用原点到切线的距离等于圆的半径可求得 k ?

3)

8.A (点评:由圆心到直线的距离等于圆的半径可得, a ? b ? c )
2 2 2

9.x=7,y=―3(点评:利用中点坐标公式即可得 x+y=4,x―y=10) 10. ? , ? (点评:由 ax+by=1 得 2ax+2by=a+b,利用待定系数法即可求得定点的坐标)

?1 1? ?2 2?

11.1:1(点评:设所求的比值为λ ,则由定比分点坐标公式可得 M ? 程,即可求得λ =1) 12.作出示意图如图 30 所示,连 PM、OM、OC,设 M(x,y) 。

? ? 3 ? 6? 2 ? ? ? , ? ,将其代入已知直线方 ? 1? ? 1? ? ?

则 在

Rt △ OMC

中 , | OC | 2 ?| OM |2 ? | MC | 2

, 又 | MC |?

1 | BC |?| PM | , 故 2

9 ? x 2 ? y 2 ? ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ,化简整理即得 x 2 ? y 2 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,它就是所求的点 M 的轨迹方程。
13. (1)如图 31,设 A、B 为两圆的外公切线与圆的切点,连 C1 A 、 C 2 B ,连 C1C 2 并延长交 AB 的延长线于 点 P,则 AC1 / BC2 ,于是有 得 P(6,9) 。

| PC1 | BC1 1 1 ? ? ,从而 P 外分 C 2 C1 所成的比为 ? ,由线段的定比分点坐标公式 3 | PC2 | AC2 3

(2)由(1)可设所求的外公切线的方程为 y―9=k(x-6) ,由点 C1 到其距离为 3 得 k ? 6 ? 2 3 ,于是,所 求外公切线的方程为 y ? 9 ? (6 ? 2 3)(x ? 6) 。 14.A? , 点C (2, 1) 关于 x 轴的对称点为 C1 (2, 关于直线 y=x 的对称点为 C2 (1 ? 1) , , 2) 。 0 ? ,B? , ?(点评: 则△ABC 的周长为 CB ? BA ? AC ? C1 B ? BA ? AC2 ? C1C2 ,当且仅当 C1 、B、A、 C 2 共线时,取等号,故△ ABC 的周长的最小值为 C1C 2 , 直线 C1C 2 的方程为 3x+y- 5=0, 它与 x 轴交于 A? , 与直线 y=x 交于 B? , ? 。 ) 0? ,

?5 ? ?3 ?

?5 5? ?4 4?

?5 ? ?3 ?

?5 5? ?4 4?

15.

3 2 (点评:问题等价于求定点(1,1)到直线 x+y+1=0 的距离) 2

16.线段 OP 的中点的坐标为 ?
2

1 ?1 3 ? (b ? b), (c 3 ? c) ? ,以 OP 为直径的圆的方程为 2 ?2 ?
2

2 1 3 1 3 ? ? ? ? ?1 3 ? 3 (1) ? x ? 2 (b ? b)? ? ? y ? 2 (c ? c)? ? (b ? b) ? ? 2 (c ? c)? 。 ? ? ? ? ? ?

?

?

2

将 x 2 ? y 2 ? (3a ? 1) 2 代入(1)得

(b 3 ? b) x ? (c 3 ? c) y ? (3a ? 1) 2 。
它就是过两切点的直线方程,如果有在格点。 因 b 3 ? b ? b(b ? 1)(b ? 1) ,它为三个连续数的乘积,显然能被 3 整除, 同理, c ? c 亦能被 3 整除。
3

于是 (3a ? 1) 能被 3 整除,从而 3a+1 也必须能被 3 整除,显然这是不可能的,从而,原命题得证。
2


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