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三角函数图像、性质及三角恒等变换


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教师姓名 学 阶 科 段 石林涛 数学 学生姓名 年 级 张润邦 高一 上课时间 教材版本 课时计划 北师大版
第( )小时 共( )小时

第( )周 观察期□: 三角函数图像、性质及三角恒等变换

维护期□

课题名称 教材分析

正余弦以及正切函数是高中的必修内容,也是高考考察的重点内容,三角函数也经常与向量等 为题联系起来考察,也为后面学习函数图形的变换奠定了良好的基础。 1、熟练掌握正余弦以及正切函数图像的画法及其性质。 2、熟练掌握函数 y ? A sin(wx ? ? ) 的图像的画法及其性质。

教学目标

3、熟练掌握求三角函数最值的常用思路和方法。 4、掌握两角和与差的正弦、余弦和正切公式。 5、二倍角的正弦、余弦和正切公式万能公式,半角公式,三角 恒等变换过程与方法。 1、正余弦以及正切 y ? A sin(wx ? ? ) 的图像的画法及其性质。 2、理解并掌握两角和与差的正弦、余弦和正切公式以及二倍角公式。 1、熟练掌握正余弦以及正切函数图像的画法及其性质,会画函数 y ? A sin(wx ? ? ) 的图像的

教学重点

教学难点

画法及其性质。 2、二倍角的正弦、余弦和正切公式,二倍角公式,三角恒等变换过程与方法。

教 学 过 程: 一、知识梳理 1、正弦、余弦和正切函数图像及性质

函数 性质 定义域

y=sin x

y=cos x

y=tan x

R

R

π {x|x≠kπ+2,k∈Z}

图象 值域 [-1,1] [-1,1] R

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1

立升教育教学设计方案 LiSHeng Education π 对称轴:x=kπ(k∈Z) 对称轴:x=kπ+2(k∈Z) 对称中心: 对称中心: ? ( k? ? , 0 ) k ? Z (kπ,0)(k∈Z) 2 2π 单调增区间
[2k? ?

无对称轴 对称中心:
( k? ,0 ) k ? Z 2

对称性

周期



π

?
2

,2k? ?

?
2

单调增区间
]k ? Z ;

单调性
[2k? ?

[2kπ-π,2kπ](k∈Z); 单调减区间 [2kπ,2kπ+π](k∈Z)

单调增区间
(k? ?

单调减区间

?
2

, k? ?

?
2

)k ? Z

?
2

,2k? ?

3? ]k ? Z 2

奇偶性







2、函数 y ? Asin(?x ? ?)的图像

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2

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A 叫做这个简谐运动的振幅,也就是作简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离。 2? 周期 T ? ,也就是做简谐运动的物体往复一次所需要的时间。 ?
?x ? ? 称为相位, x ? 0 时的相位 ? 称为初相。
3、三角恒等变换 知识点一:两角和与差的正弦、余弦及正切公式 (1) cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; (3) sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ; (5) tan?? ? ? ? ? (2) cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? (4) sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?

tan? ? tan ? 1 ? tan? ? tan ? tan? ? tan ? 1 ? tan? ? tan ?

tan? ? tan ? ? tan?? ? ? ??1 ? tan? tan ? ? tan? ? tan? ? tan?? ? ? ??1 ? tan? tan? ?

(6) tan?? ? ? ? ?

知识点二:二倍角的正弦、余弦及正切公式 (1) sin 2? ? 2 sin ? cos ?
2 2 2

1 ? sin 2? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 sin ? cos? ? (sin? ? cos? )2
2

(2) cos2? ? cos ? ? sin ? ? 2 cos ? ? 1 ? 1 ? 2 sin ? (3) tan 2? ?

2 tan ? 1 ? tan 2 ?
2

升幂公式: 1 ? cos ? ? 2 cos

?

2 cos 2? ? 1 2 降幂公式: cos ? ? 2

, 1 ? cos ? ? 2 sin , sin ? ?
2

2

?
2

1 ? cos 2? 2

知识点三:半角公式及形如 a sin ? ? b cos ? ? c 的求值

(1) cos

?
2

??

1 ? cos? 2



sin

?
2

??

1 ? cos? 2

(2) tan

?
2

??

1 ? cos? sin ? 1 ? cos? (后面两个不用判断符号,更加好用) ? ? 1 ? cos? 1 ? cos? sin ?

二、经典引导 有关三角函数奇偶性及对称中心、对称轴 1、函数 y ? sin( x ?

?
3

) ,x∈R(

).
3

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A.是奇函数 B.是偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 2、求 y ? sin x 的周期及对称中心。

3、函数 y=cos ( 2 x ?

?
3

) 图象的对称轴方程可能是(

).

π π A.x=-6 B.x=-12
三、当堂训练 1、判断下列函数的奇偶性

π π C.x=6 D.x=12

y ? 2 ? cos x ;

2、08 四川文 设 f ? x ? ? sin ?? x ? ? ? ,其中 ? ? 0 ,则 f ? x ? 是偶函数的充要条件是( (A) f ? 0? ? 1 (B) f ? 0? ? 0 (C) f ' ? 0? ? 1 是 B.以 2? 为周期的奇函数 D.以 4? 为周期的奇函数 (D) f ' ? 0? ? 0

)

3、08 江西文 6.函数 f ( x) ?

sin x

x sin x ? 2sin 2 A.以 4? 为周期的偶函数 C.以 2? 为周期的偶函数

四、归纳总结、深化拓展 注 意 在 做 有 关 奇 偶 性 的 三 角 函 数 的 题 目 一 定 要 把 这 些 题 目 变 形 成 y ? Asin(?x ? ?) +B 或

y ? Acos(?x ? ?) +B 的形式再判断.
五、经典引导 有关定义域问题 1.函数 y = 2cos x ?1 的定义域____________________ 2.函数 f ( x) ? lg(sin x ? cos x) 的定义城是(
2 2



A. ? x 2k? ?

? ?

3? ? ? ? x ? 2k? ? , k ? Z ? 4 4 ?

B. ? x 2k? ?

? ?

?
4

? x ? 2k? ?

5? ? ,k ?Z? 4 ?
4

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C. ? x k? ?

? ?

?
4

? x ? k? ?

?

? ,k ?Z? 4 ?
? ?

D. ? x k? ?

? ?

?
4

? x ? k? ?

3? ? ,k ?Z? 4 ?

3.函数 y ? f (cos x) 的定义域为 ?2k? ?

?
6

,2k? ?

2? ? (k ? Z ) , 3 ? ?

则函数 y ? f ( x) 的定义域为__________________________. 六、当堂训练 1.函数 y ? lg sin(cosx) 的定义域为______________________________。 2、 (1)求函数 y ?

log2

1 ? 1 的定义域。 sin x

七、归纳总结、深化拓展 注意 先要写出不等式再根据图像的方法求出定义域或其他方法. 八、经典引导 有关值域和最值问题 1.函数 y = 2 sinx + 2 的最大值和最小值分别为 A.2,? 2 B.4,0 C.2,0 2.函数 y ? cos x ? 3 cos x ? 2 的最小值为(
2

( D.4,? 4

)



A. 2

B. 0

C. 1

D. 6

3.已知函数 f ( x) ? 2sin ?
2

?π π? ?π ? ? x ? ? 3 cos 2 x , x ? ? , ? . ?4 2? ?4 ?

(I)求 f ( x) 的最大值和最小值;

九、当堂训练 1、 y ? sin x ? sin x 的值域是( A. [?1,0] C. [ ?1,1] B. [0,1] D. [?2,0] )

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立升教育教学设计方案 LiSHeng Education 1 2.设关于 x 的函数 y ? 2cos2 x ? 2a cos x ? (2a ? 1) 的最小值为 f ( a ) ,试确定满足 f ( a ) ? 的 a 的值,并 2 对此时的 a 值求 y 的最大值。

3、设 f ( x) ? sin(cos x),(0 ? x ? ? ) ,求 f ( x) 的最大值与最小值。

十、归纳总结、深化拓展 注意 求最值和值域是一定要先求出相应的定义域。 十一、经典引导 有关单调性问题 1.函数 y = 3cos ( 2 x ? 2.函数 y ? ? cos(
1

? 3 )的增区间是____________________.

x ? ? ) 的单调递增区间是___________________________. 2 3
cos x

3.函数 f ( x ) ? ( )

1 3

在 ? ?? , ? ? 上的单调减区间为_________。

十二、当堂训练 1.设 ? ? 0 ,若函数 f ( x) ? 2sin ? x 在 [ ?

? ?

, ] 上单调递增,则? 的取值范围是________。 3 4

2、2005 北京(8)函数 f ( x) ? 1 ? cos 2 x

? ? 3? 3? (A)在[0, ),( , ? ]上递增,在[ ? , ),( ,2 ? ]上递减 2 2 2 2 ? 3? ? 3? (B)在[0, ),[ ? , )上递增,在( , ? ],( ,2 ? ]上递减 2 2 2 2 ? 3? ? 3? (C)在( , ? ],( ,2 ? ]上递增,在[0, ),[ ? , )上递减 2 2 2 2 3? 3? ? ? (D)在[ ? , ),( ,2 ? ]上递增,在[0, ),( , ? ]上递减 2 2 2 2
3 、 08 天 津 ( 9 ) 已 知 函 数 f ?x ? 是 R 上 的 偶 函 数 , 且 在 区 间 ?0,??? 上 是 增 函 数 . 令
5? ? 5? ? ? 2? ? ? ? a ? f ? sin ?, b ? f ? cos ?, c ? f ? tan ? ,则 7 ? 7 ? 7 ? ? ? ?

cos x

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(A)

b?a?c

(B)

c?b?a

(C)

b?c?a

立升教育教学设计方案 LiSHeng Education a?b?c (D)

十三、归纳总结、深化拓展 注意 一定要抓住正弦、余弦和正切的单调区间。 十四、经典引导 有关 y ? Asin(?x ? ?) 的问题 1、为了得到函数 y ? cos( x ? ) , x ? R 的图象,只需 y ? cos x 把上的点( A、向左平行移动

? ? 个单位长度 B、向右平行移动 个单位长度 3 3 1 1 C、向左平行移动 个单位长度 D、向右平行移动 个单位长度 3 3 ? ? 2、为了得到 y ? 4 sin( x ? ) ( x ? R )的图象,只要把函数 y ? 3 sin( x ? ) 上的点( ) 5 5 4 3 A、横坐标伸长为原来的 倍,纵坐标不变 B、横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标不变 3 4 4 3 C、纵坐标伸长为原来的 倍,横坐标不变 D、纵坐标伸长为原来的 倍,横坐标不变 3 4
3.(2004 年江西 文)已知定义在区间 [ ? ? 当 x ?[ ?

1 3



? 2

2 ? , ? ] 上的函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? ? 对称, 3 6

? ? , ? ] 时,函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? ? ? ) , 6 3 2 2
2 3

其图象如图所示. (1)求函数 y ? f ( x) 在 [ ? ? , ? ] 的表达式; (2)求方程 f ( x ) ?

2 的解. 2
1
?

y



x??
十五、当堂训练 1.曲线 y ? A sin ? x ? a( A ? 0, ? ? 0) 在区间 [0,

?
6

o

? 6

2? 3

?

x

2?

?

] 上截直线 y ? 2 及 y ? ?1

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所得的弦长相等且不为 0 ,则下列对 A, a 的描述正确的是( A. a ? )

1 3 ,A? 2 2

B. a ?

1 3 ,A? 2 2

C. a ? 1, A ? 1

D. a ? 1, A ? 1

2. (江苏 9 )函数 f ( x) ? A sin(wx ? ? ), ( A, w, ? 是常数, A ? 0, w ? 0) 的部分图象如图所示,则 f(0)=

6 【答案】 2
3.如图,给出函数 y = f(x) = Asin (?x + ?) (其中 A>0,?>0,|?|< 为______________________.
? 2 ) 的图象的一段,则函数 f(x)的解析式

十六、归纳总结、深化拓展 注意 记住平移 x,y 的变化及形如函数 y ? Asin(?x ? ?) 的特征 十七、经典引导 三角恒等变换 1.已知 sin ? ? A. ?

5 4 4 ,则 sin ? ? cos ? 的值为 5
B. ?

(

)

1 5

3 5

C.

1 5

D.

3 5
( D. )

2.函数 y ? sin 2 x cos 2 x 的最小正周期和最小值分别是 A. ? , ?1 B. ? , ?

1 2

C.

?
2

, ?1

?
2

,?

1 2
8

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3. 函数 f ( x) ? cos2x ? 2 3 sin x cos x 的最小正周期为_________. 4. sin ?? ? ? ? cos ? ? cos ?? ? ? ? sin ? ? 5. cos 20 cos 40 cos 60 cos80 =
? ? ? ?

3 ,则 cos 2? ? 5
.

.

2 sin 2? cos2 ? ? 6.化简 = 1 ? cos 2? cos 2?
十八、当堂训练 1.

.

sin 3? cos 3? ? = sin ? cos ?

. .

2. tan 20? ? tan 40? ? 3 tan 20? tan 40? = 3. 已知 cos ? ?

? 1 13 , cos( ? ? ?) ? , 且0 < ? < ? < , 2 7 14

(Ⅰ)求 tan 2? 的值.(Ⅱ)求 ? . 4.已知 sin ?

?? ? ?? ? 1 ?? ? ? ? 2? ? ? sin ? ? 2? ? ? , ? ? ? , ? ,求 2sin 2 ? ? tan ? ? cot ? ? 1 的值 ?4 ? ?4 ? 4 ?4 2?

十九、课堂小结 本节课学习了:1、正余弦以及正切函数图像的画法及其性质。 2、函数 y ? A sin(wx ? ? ) 的图像的画法及其性质。 3、 两角和与差的正弦、余弦、正切公式。 4、正弦、余弦、正切二倍角公式。 5、半角公式以及形如 a sin ? ? b cos ? ? c 的三角函数。

课 后 作 业: 1、下列说法不正确的是(



A.存在这样的 ?和? 的值,使得 cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? B.不存在这样的 ?和? 的值,使得 cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?

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C.对于任意的 ?和? 的值,使得 cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? D.不存在这样的 ?和? 的值,使得 cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? 2、已知在 ?ABC 中,若 sin A ? sin B ? cos A ? cos B ,则 ?ABC 一定为 ( ) A.等边三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形
3.已知 sin(2π - ? )=, ? ∈(,2π ),则

sin ? ? cos ? =( sin ? - cos ?

)

A.
4.若 cos A. 3 2

B.
1

C.7

D.7
3 π 3π , ? ∈( ,π ), ? ∈( ,2π ),则 sin( ? +β )的值是( 2 2 2 C.-1 D.0 )

? =-2,sin ? =-
B.- 3 2

1.函数

f ( x ) ? cos 2x ? 2 3 sin xcos x 的最小正周期是_________.
2

2.函数 y=1-2a-2acos x-2sin x(a>2) 的最小值是 π π 3.化简:cos( + ? )+sin( + ? )=________. 3 6

.

3 5 π 3 π 3 1. (20 分)若 sin( π + ? )= ,cos( - ? )= ,且 0< ? < < ? < π ,求 cos( ? + ? )的值. 4 13 4 5 4 4 2.(20 分)已知 f(x)=2cos x+ 3sin 2x+a,a∈R. (1)若 f(x)有最大值为 2,求实数 a 的值; (2)求函数 y=f(x)的单调区间.
[来源:Zxxk.Com]

2

学生的接受程度:完全能接受□ 课 后 记 学生的课堂表现:很积极□ 请求家长配合的内容: 提交时间 学生的上次作业完成情况:数量

部分能接受□ % 完成质量

不能接受□ 不积极□ 分 存在问题

比较积极□

一般□

教学主管审批

教学高管审批

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