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2012年湖北省高考数学试卷(文科)答案与解析


2012 年湖北省高考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 2 1. (5 分) (2012?湖北)已知集合 A{x|x ﹣3x+2=0,x∈R },B={x|0<x<5,x∈N },则满足 条件 A?C?B 的集合 C 的个数为( ) A.1 B.2 C .3 D.4 考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 集合. 分析: 先求出集合 A,B 由 A?C?B 可得满足条件的集合 C 有{1,2,},{1,2,3},{1,2, 4},{1,2,3,4},可求 解答: 解:由题意可得,A={1,2},B={1,2,3,4}, ∵A?C?B, ∴满足条件的集合 C 有{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}共 4 个, 故选 D. 点评: 本题主要考查了集合的包含关系的应用,解题的关键是由 A?C?B 找出符合条件的 集合.
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2. (5 分) (2012?湖北)容量为 20 的样本数据,分组后的频数如下表 分组 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) 2 3 4 5 4 2 频数 则样本数据落在区间[10,40]的频率为( ) A.0.35 B.0.45 C.0.55 D.0.65 考点: 频率分布表. 专题: 计算题. 分析: 先求出样本数据落在区间[10,40]频数,然后利用频率等于频数除以样本容量求出频 率即可. 解答: 解:由频率分布表知: 样本在[10,40]上的频数为 2+3+4=9, 故样本在[10,40]上的频率为 9÷20=0.45. 故选:B. 点评: 本题主要考查了频率分布表, 解题的关键是频率的计算公式是频率= , 属于
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基础题. 3. (5 分) (2012?湖北)函数 f(x)=xcos2x 在区间[0,2π]上的零点个数为( A.2 B.3 C .4 D.5 )

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 计算题. 分析: 考虑到函数 y=cos2x 的零点一定也是函数 f(x)的零点,故在区间[0,2π]上 y=cos2x
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的零点有 4 个.函数 y=x 的零点有 0,故在区间[0,2π]上 y=xcos2x 的零点有 5 个. 解答: 解:∵y=cos2x 在[0,2π]上有 4 个零点分别为 , , , 函数 y=x 的零点有 0 ∴函数 f(x)=xcos2x 在区间[0,2π]上有 5 个零点.分别为 0, , , ,

故选 D 点评: 本题主要考查了函数零点的意义和判断方法,三角函数的图象和性质,排除法解选择 题,属基础题 4. (5 分) (2012?湖北)命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是( A.任意一个有理数,它的平方是有理数 B. 任意一个无理数,它的平方不是有理数 C. 存在一个有理数,它的平方是有理数 D.存在一个无理数,它的平方不是有理数 )

考点: 命题的否定. 专题: 应用题. 分析: 根据特称命题“?x∈A,p(A)”的否定是“?x∈A,非 p(A)”,结合已知中命题,即可 得到答案. 解答: 解:∵命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”是特称命题 而特称命题的否定是全称命题, 则命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是任意一个无理数,它的平方不 是有理数 故选 B 点评: 本题考查的知识点是命题的否定,其中熟练掌握特称命题的否定方法“?x∈A,p(A)” 的否定是“?x∈A,非 p(A)”,是解答本题的关键.
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5. (5 分) (2012?湖北)过点 P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x +y ≤4}分两部分, 使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为( ) A.x+y﹣2=0 B.y﹣1=0 C.x﹣y=0 D.x+3y﹣4=0 考点: 直线与圆相交的性质. 专题: 计算题. 分析: 法一:由扇形的面积公式可知,劣弧
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2

2

所的扇形的面积

=2α,要求面积

差的最大值,即求 α 的最小值,根据直线与圆相交的性质可知,只要当 OP⊥AB 时, α 最小,可求. 法二:要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大,必须使过点 P 的圆的弦长达 到最小,所以需该直线与直线 OP 垂直即可.由此能求出直线的方程. 解答: 解法一:设过点 P(1,1)的直线与圆分别交于点 A,B,且圆被 AB 所分的两部分 的面积分别为 S1,S2 且 S1≤S2 劣弧 所对的圆心角∠AOB=α,

2



﹣S△ AOB=2α﹣S△ AOB,

S2=4π﹣2α+S△ AOB(0<α≤π) ∴要求面积差的最大值,即求 α 的最小值,根据直线与圆相交的性质可知,只要当 OP⊥AB 时,α 最小 此时 KAB=﹣1,直线 AB 的方程为 y﹣1=﹣(x﹣1)即 x+y﹣2=0 故选 A 解法二:要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大,必须使过点 P 的圆的弦长 达到最小,所以需该直线与直线 OP 垂直即可. 又已知点 P(1,1) ,则 KOP=1, 故所求直线的斜率为﹣1.又所求直线过点 P(1,1) , 由点斜式得,所求直线的方程为 y﹣1=﹣(x﹣1) ,即.x+y﹣2=0 故选 A

点评: 本题主要考查了直线与圆相交性质的应用, 解题的关键是根据扇形的面积公式把所要 求解的两面积表示出来 6. (5 分) (2012?湖北)已知定义在区间(0,2)上的函数 y=f(x)的图象如图所示,则 y=﹣f(2﹣x)的图象为( )

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象与图象变化. 专题: 作图题.

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分析: 由(0,2)上的函数 y=f(x)的图象可求 f(x) ,进而可求 y=﹣f(2﹣x) ,根据一次 函数的性质,结合选项可可判断 解答: 解:由(0,2)上的函数 y=f(x)的图象可知 f(x)= 当 0<2﹣x<1 即 1<x<2 时,f(2﹣x)=2﹣x 当 1≤2﹣x<2 即 0<x≤1 时,f(2﹣x)=1 ∴y=﹣f(2﹣x)= ,根据一次函数的性质,结合选项可知,选项 B

正确 故选:B 点评: 本题主要考查了一次函数的性质在函数图象中的应用,属于基础试题 7. (5 分) (2012?湖北)定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的函数 f(x) ,如果对于任意给 定的等比数列{an},{f(an)}仍是等比数列,则称 f(x)为“保等比数列函数”.现有定义在 2 x (﹣∞,0)∪(0,+∞)上的如下函数:①f(x)=x ;②f(x)=2 ;③f(x)= ; ④f(x)=ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的 f(x)的序号为( ) A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 考点: 等比关系的确定. 专题: 综合题;压轴题. 分析: 根据新定义,结合等比数列性质
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,一一加以判断,即可得到结论. , =f (an+1) ,故正确; ≠ =
2 2

解答: 解:由等比数列性质知 ① ② ③ ④f(an)f(an+2)=ln|an|ln|an+2|≠

=f (an+1) ,故不正确; =f (an+1) ,故正确;
2

2

=f (an+1) ,故不正确;

故选 C 点评: 本题考查等比数列性质及函数计算,正确运算,理解新定义是解题的关键. 8. (5 分) (2012?湖北)设△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若三边的长 为连续的三个正整数,且 A>B>C,3b=20acosA,则 sinA:sinB:sinC 为( ) A.4:3:2 B.5:6:7 C.5:4:3 D.6:5:4 考点: 正弦定理的应用. 专题: 解三角形.

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分析: 由题意可得三边即 a、a﹣1、a﹣2,由余弦定理可得 cosA= 3b=20acosA,可得 cosA= ,从而可得 =

,再由 ,由此解得 a=6,

可得三边长,根据 sinA:sinB:sinC=a:b:c,求得结果. 解答: 解: 由于 a, b, c 三边的长为连续的三个正整数, 且 A>B>C, 可设三边长分别为 a、 a﹣1、a﹣2. 由余弦定理可得 cosA= = = . = ,

又 3b=20acosA,可得 cosA= 故有 =

,解得 a=6,故三边分别为 6,5,4.

由正弦定理可得 sinA:sinB:sinC=a:b:c=a: (a﹣1) : ( a﹣2)=6:5:4, 故选 D. 点评: 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,求出 a=6 是解题的关键,属于中档题. 9. (5 分) (2012?湖北)设 a,b,c,∈R+,则“abc=1”是“ A.充分条件但不是必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要条件但不是充分条件 D.既不充分也不必要的条件 ”的( )

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 由 abc=1,推出 ,代入不等式的左边,证明不等式成立.利用特殊值判断不 等式成立,推不出 abc=1,得到结果. 解答: 解:因为 abc=1,所以 ,则 =
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=

≤a+b+c. 显然成立,但是 abc=6≠1, ”的充分条件但不是必要

当 a=3,b=2,c=1 时, 所以设 a,b,c,∈R+,则“abc=1”是“

条件. 故选 A. 点评: 本题考查充要条件的应用,不等式的证明,特殊值法的应用,考查逻辑推理能力,计 算能力. 10. (5 分) (2012?湖北)如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为直径 作两个半圆.在扇形 OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( )

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A.

B.

C.

D.

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 求出阴影部分的面积即可,连接 OC,把下面的阴影部分平均分成了 2 部分,然后利 用位移割补的方法,分别平移到图中划线部分,那么阴影部分的面积就是图中扇形的 面积﹣直角三角形 AOB 的面积. 解答: 解:设扇形的半径为 r,则扇形 OAB 的面积为 ,
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连接 OC,把下面的阴影部分平均分成了 2 部分,然后利用位移割补的方法,分别平 移到图中划线部分,则阴影部分的面积为: ﹣ ,

∴此点取自阴影部分的概率是



故选 C.

点评: 本题考查几何概型,解题的关键是利用位移割补的方法求组合图形面积,此类不规则 图形的面积可以转化为几个规则的图形的面积的和或差的计算. 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.请将答案填在答题卡对应题号的位 置上答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 11. (5 分) (2012?湖北)一支田径运动队有男运动员 56 人,女运动员 42 人.现用分层抽 样的方法抽取若干人,若抽取的男运动员有 8 人,则抽取的女运动员有 6 人. 考点: 分层抽样方法. 专题: 计算题. 分析: 设出抽到女运动员的人数,根据分层抽样的特征列出方程可求出抽到女运动员的人 数. 解答: 解:设抽到女运动员的人数为 n 则
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= 解得 n=6 故答案为:6 点评: 本题主要考查了分层抽样,解决分层抽样的问题,一般利用各层抽到的个体数与该层 的个体数的比等于样本容量与总体容量的比,属于基础题. 12. (5 分) (2012?湖北)若 =a+bi(a,b 为实数,i 为虚数单位) ,则 a+b= 3 .

考点: 复数代数形式的乘除运算;复数相等的充要条件. 专题: 计算题. 分析: 由 = = ,知

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=a+bi,故



所以

,由此能求出 a+b.

解答: 解: = = ∵ ∴

=

, =a+bi, ,





解得 a=0,b=3, ∴a+b=3. 故答案为:3. 点评: 本题考查复数的代数形式的乘除运算,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.

13. (5 分) (2012?湖北)已知向量 =(1,0) , =(1,1) ,则 (Ⅰ)与 2 + 同向的单位向量的坐标表示为 ( (Ⅱ)向量 ﹣3 与向量 夹角的余弦值为 . ) ;

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考点: 数量积表示两个向量的夹角;向量的模;单位向量;平面向量的坐标运算. 专题: 计算题. 分析: (I)由已知可求 2 + ,进而可求|2 + |,而与 2 + 同向的单位向量 ,再利
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用坐标表示即可 (II)设 ﹣3 与向量 夹角 θ,由已知可求 向量的夹角公式 cosθ= 解答: 解: (I)∵ =(1,0) , =(1,1) ∴2 + =(2,0)+(1,1)=(3,1) ,|2 + |= ∴与 2 + 同向的单位向量的坐标表示 (II)设 ﹣3 与向量 夹角 θ ∵ =(1,0) , =(1,1) , ∴ ∴ =﹣2,| |= , ,| |=1 = 可求 ,| , ,| |,代入

则 cosθ=

=

=

故答案为:



点评: 本题主要考查了向量运算的坐标表示,向量的数量积的坐标表示、夹角公式的应用, 注意结论:与向量 共线且同向的单位向量 的应用

14. (5 分) (2012?湖北)若变量 x,y 满足约束条件

则目标函数 z=2x+3y

的最小值是 2 . 考点: 简单线性规划. 专题: 计算题. 分析: 先作出不等式组表示的平面区域,由于 z=2x+3y,则可得 y=
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,则 表示直线

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2x+3y﹣z=0 在 y 轴上的截距,当 z 最小时,截距最小,结合图形可求 z 的最小值 解答: 解:作出不等式组表示的平面区域,如图所示 作直线 L:2x+3y=0,由于 z=2x+3y,则可得 y= ,则 表示直线 2x+3y﹣z=0

在 y 轴上的截距,当 z 最小时,截距最小 结合图形可知,当直线 2x+3y﹣z=0 平移到点 B 时,z 最小 由 可得 B(1,0) ,此时 Z=2

故答案为:2 点评: 借助于平面区域,利用几何方法处理代数问题,体现了数形结合思想、化归思想.线 性规划中的最优解,通常是利用平移直线法确定. 15. (5 分) (2012?湖北)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 12π .

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题.

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分析: 由题意三视图可知,几何体是有 3 个圆柱体组成的几何体,利用三视图的数据,求出 几何体的体积即可. 解答: 解:由题意可知几何体是有两个底面半径为 2,高为 1 的圆柱与一个底面半径为 1, 高为 4 的圆柱组成的几何体, 所以几何体的条件为 V=2×2 π×1+1 π×4=12π. 故答案为:12π. 点评: 本题考查三视图与几何体的关系,考查空间想象能力与计算能力. 16. (5 分) (2012?湖北)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果 s= 9 .
2 2

考点: 循环结构. 专题: 算法和程序框图. 分析: 用列举法,通过循环过程直接得出 S 与 n 的值,得到 n=3 时退出循环,即可. 解答: 解:循环前,S=1,a=3,第 1 次判断后循环,n=2,s=4,a=5, 第 2 次判断并循环 n=3,s=9,a=7,第 3 次判断退出循环, 输出 S=9. 故答案为:9. 点评: 本题考查循环结构,判断框中 n=3 退出循环是解题的关键,考查计算能力.
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17. (5 分) (2012?湖北)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小 石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:

将三角形数 1,3,6,10,…记为数列{an},将可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组 成一个新数列{bn},可以推测: (Ⅰ)b2012 是数列{an}中的第 5030 项;
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(Ⅱ)b2k﹣1=

. (用 k 表示)

考点: 数列递推式;数列的概念及简单表示法;归纳推理. 专题: 压轴题;探究型. 分析: (Ⅰ)由题设条件及图可得出 an+1=an+(n+1) ,由此递推式可以得出数列{an}的通项
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为,an= n(n+1) ,由此可列举出三角形数 1,3,6,10,15,21,28,36,45,55, 66,78,91,105,120,… ,从而可归纳出可被 5 整除的三角形数每五个数中出现两个,即每五个数分为一组, 则该组的后两个数可被 5 整除,由此规律即可求出 b2012 在数列{an}中的位置; (II)由(I)中的结论即可得出 b2k﹣1═ (5k﹣1) (5k﹣1+1)= .

解答: 解: (I)由题设条件可以归纳出 an+1=an+(n+1) ,故 an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2) +…+(a2﹣a1)+a1=n+(n﹣1)+…+2+1= n(n+1) 由此知,三角数依次为 1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105, 120,… 由此知可被 5 整除的三角形数每五个数中出现两个,即每五个数分为一组,则该组的 后两个数可被 5 整除, 由于 b2012 是第 2012 个可被 5 整除的数, 故它出现在数列{an}按五个一段分组的第 1006 组的最后一个数,由此知,b2012 是数列{an}中的第 1006×5=5030 个数 故答案为 5030 (II)由于 2k﹣1 是奇数,由(I)知,第 2k﹣1 个被 5 整除的数出现在第 k 组倒数第 二个,故它是数列{an}中的第 k×5﹣1=5k﹣1 项,所以 b2k﹣1═ (5k﹣1) (5k﹣1+1) = 故答案为 点评: 本题考查数列的递推关系,数列的表示及归纳推理,解题的关键是由题设得出相邻两 个三角形数的递推关系,由此列举出三角形数,得出结论“被 5 整除的三角形数每五 个数中出现两个,即每五个数分为一组,则该组的后两个数可被 5 整除”,本题综合 性强,有一定的探究性,是高考的重点题型,解答时要注意总结其中的规律. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 2 2 18. (12 分) (2012?湖北)设函数 f(x)=sin ωx+2 sinωx?cosωx﹣cos ωx+λ(x∈R)的图 象关于直线 x=π 对称,其中 ω,λ 为常数,且 ω∈( ,1) . (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)若 y=f(x)的图象经过点 ,求函数 f(x)的值域.

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;三角函数中的恒等变换应用;正弦函
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数的定义域和值域. 专题: 计算题. 分析: (1)先利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数 f(x)化为 y=Asin(ωx+φ)+k 型函数,再利用函数的对称性和 ω 的范围,计算 ω 的值,最后利用周期计算公式得 函数的最小正周期; (2)先将已知点的坐标代入函数解析式,求得 λ 的值,再利用正弦函数的图象和性 质即可求得函数 f(x)的值域. 2 2 解答: 解:f(x)=sin ωx+2 sinωx?cosωx﹣cos ωx+λ = sin2ωx﹣cos2ωx+λ
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=2sin(2ωx﹣

)+λ = +kπ,k∈z

∵图象关于直线 x=π 对称,∴2πω﹣ ∴ω= + ,又 ω∈( ,1) 令 k=1 时,ω= 符合要求 ∴函数 f(x)的最小正周期为 =

(2)∵f( ∴2sin(2× × ∴λ=﹣

)=0 ﹣ )+λ=0

∴f(x)=2sin( x﹣

)﹣

故函数 f(x)的取值范围为[﹣2﹣ ,2﹣ ] 点评: 本题主要考查了 y=Asin(ωx+φ)+k 型函数的图象和性质,复合函数值域的求法,正 弦函数的图象和性质,属基础题 19. (12 分) (2012?湖北)某个实心零部件的形状是如图所示的几何体,其下部是底面均是 正方形,侧面是全等的等腰梯形的四棱台 A1B1C1D1﹣ABCD,其上是一个底面与四棱台的 上底面重合,侧面是全等的矩形的四棱柱 ABCD﹣A2B2C2D2. (1)证明:直线 B1D1⊥平面 ACC2A2; (2)现需要对该零部件表面进行防腐处理,已知 AB=10,A1B1=20,AA2=30,AA1=13(单 位:厘米) ,每平方厘米的加工处理费为 0.20 元,需加工处理费多少元?

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考点: 直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. 专题: 计算题;证明题. 分析: (1)依题意易证 AC⊥B1D1,AA2⊥B1D1,由线面垂直的判定定理可证直线 B1D1⊥ 平面 ACC2A2; (2)需计算上面四棱柱 ABCD﹣A2B2C2D2 的表面积(除去下底面的面积)S1,四棱 台 A1B1C1D1﹣ABCD 的表面积(除去下底面的面积)S2 即可. 解答: 解: (1)∵四棱柱 ABCD﹣A2B2C2D2 的侧面是全等的矩形, ∴AA2⊥AB,AA2⊥AD,又 AB∩AD=A, ∴AA2⊥平面 ABCD.连接 BD, ∵BD?平面 ABCD,
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∴AA2⊥BD,又底面 ABCD 是正方形, ∴AC⊥BD,根据棱台的定义可知,BD 与 B1D1 共面, 又平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1,且平面 BB1D1D∩平面 ABCD=BD,平面 BB1D1D∩ 平面 A1B1C1D1=B1D1, ∴B1D1∥BD, 于是由 AA2⊥BD, AC⊥BD, B1D1∥BD, 可得 AA2⊥B1D1, AC⊥B1D1, 又 AA2∩AC=A, ∴B1D1⊥平面 ACC2A2; (2)∵四棱柱 ABCD﹣A2B2C2D2 的底面是正方形,侧面是全等的矩形, ∴S1=S 四棱柱下底面+S 四棱柱侧面 =
2

+4AB?AA2

=10 +4×10×30 2 =1300(cm ) 又∵四棱台 A1B1C1D1﹣ABCD 上下底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形, ∴S2=S 四棱柱下底面+S 四棱台侧面 =
2

+4× (AB+A1B1)?h 等腰梯形的高

=20 +4× (10+20)? =1120(cm ) , 2 于是该实心零部件的表面积 S=S1+S2=1300+1120=2420(cm ) ,
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2

故所需加工处理费 0.2S=0.2×2420=484 元. 点评: 本题考查直线与平面垂直的判定,考查棱柱、棱台的侧面积和表面积,着重考查分析 转化与运算能力,属于中档题. 20. (13 分) (2012?湖北)已知等差数列{an}前三项的和为﹣3,前三项的积为 8. (1)求等差数列{an}的通项公式; (2)若 a2,a3,a1 成等比数列,求数列{|an|}的前 n 项和. 考点: 数列的求和;等差数列的通项公式;等比数列的性质. 专题: 计算题. 分析: (I)设等差数列的公差为 d,由题意可得,

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,解方程

可求 a1,d,进而可求通项 (II)由(I)的通项可求满足条件 a2,a3,a1 成等比的通项为 an=3n﹣7,则|an|=|3n ﹣7|= ,根据等差数列的求和公式可求

解答: 解: (I)设等差数列的公差为 d,则 a2=a1+d,a3=a1+2d 由题意可得,

解得



由等差数列的通项公式可得,an=2﹣3(n﹣1)=﹣3n+5 或 an=﹣4+3(n﹣1)=3n﹣7 (II)当 an=﹣3n+5 时,a2,a3,a1 分别为﹣1,﹣4,2 不成等比 当 an=3n﹣7 时,a2,a3,a1 分别为﹣1,2,﹣4 成等比数列,满足条件 故|an|=|3n﹣7|= 设数列{|an|}的前 n 项和为 Sn 当 n=1 时,S1=4,当 n=2 时,S2=5 当 n≥3 时,Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=5+(3×3﹣7)+(3×4﹣7)+…+(3n﹣7) =5+ = ,当 n=2 时,满足此式

综上可得

点评: 本题主要考查了利用等差数列的基本量表示等差数列的通项, 等差数列与等比数列的 通项公式的综合应用及等差数列的求和公式的应用,要注意分类讨论思想的应用

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21. (14 分) (2012?湖北)设 A 是单位圆 x +y =1 上的任意一点,i 是过点 A 与 x 轴垂直的 直线,D 是直线 i 与 x 轴的交点,点 M 在直线 l 上,且满足丨 DM 丨=m 丨 DA 丨(m>0, 且 m≠1) .当点 A 在圆上运动时,记点 M 的轨迹为曲线 C. (I)求曲线 C 的方程,判断曲线 C 为何种圆锥曲线,并求焦点坐标; (Ⅱ)过原点且斜率为 k 的直线交曲线 C 于 P、Q 两点,其中 P 在第一象限,它在 y 轴上的 射影为点 N, 直线 QN 交曲线 C 于另一点 H, 是否存在 m, 使得对任意的 k>0, 都有 PQ⊥PH? 若存在,求 m 的值;若不存在,请说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;轨迹方程;圆锥曲线的轨迹问题. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (I)设 M(x,y) ,A(x0,y0) ,根据丨 DM 丨=m 丨 DA 丨,确定坐标之间的关系
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2

2

x0=x,|y0|= |y|,利用点 A 在圆上运动即得所求曲线 C 的方程;根据 m∈(0,1)∪ (1,+∞) ,分类讨论,可确定焦点坐标; (Ⅱ)?x1∈(0,1) ,设 P(x1,y1) ,H(x2,y2) ,则 Q(﹣x1,﹣y1) ,N(0,y1) , 利用 P,H 两点在椭圆 C 上,可得 ,从而可得可得

.利用 Q,N,H 三点共线,及 PQ⊥PH,即可求 得结论. 解答: 解: (I)如图 1,设 M(x,y) ,A(x0,y0) ∵丨 DM 丨=m 丨 DA 丨,∴x=x0,|y|=m|y0| ∴x0=x,|y0|= |y|① ∵点 A 在圆上运动,∴ ②

①代入②即得所求曲线 C 的方程为 ∵m∈(0,1)∪(1,+∞) , ∴0<m<1 时, 曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆, 两焦点坐标分别为 ( ) ,

m>1 时,曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆,两焦点坐标分别为(

) ,

(Ⅱ)如图 2、3,?x1∈(0,1) ,设 P(x1,y1) ,H(x2,y2) ,则 Q(﹣x1,﹣y1) , N(0,y1) ,

15

∵P,H 两点在椭圆 C 上,∴

①﹣②可得



∵Q,N,H 三点共线,∴kQN=kQH,∴

∴kPQ?kPH= ∵PQ⊥PH,∴kPQ?kPH=﹣1 ∴ ∵m>0,∴ 故存在 ,使得在其对应的椭圆 上,对任意 k>0,都有 PQ⊥PH

点评: 本题考查轨迹方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查代入法求轨迹方程,计算要小 心. 22. (14 分) (2012?湖北)设函数 f(x)=ax (1﹣x)+b(x>0) ,n 为正整数,a,b 为常 数,曲线 y=f(x)在(1,f(1) )处的切线方程为 x+y=1 (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的最大值; (Ⅲ)证明:f(x)< .
n

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上 某点切线方程. 专题: 综合题;压轴题;函数思想;转化思想. 分析: (Ⅰ)由题意曲线 y=f(x)在(1,f(1) )处的切线方程为 x+y=1,故可根据导数的 几何意义与切点处的函数值建立关于参数的方程求出两参数的值;
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(Ⅱ)由于 f(x)=x (1﹣x) ,可求 f′(x)=(n+1)x

n

n﹣1



﹣x) ,利用导数研究

16

函数的单调性,即可求出函数的最大值; (Ⅲ)结合(Ⅱ) ,欲证 f(x)<
n

.由于函数 f(x)的最大值 f(

)=(



(1﹣

)=

,故此不等式证明问题可转化为证明





对此不等式两边求以 e 为底的对数发现,可构造函数 φ(t)=lnt﹣1+ ,借助函数的 最值辅助证明不等式. 解答: 解: (Ⅰ)因为 f(1)=b,由点(1,b)在 x+y=1 上,可得 1+b=1,即 b=0. 因为 f′(x)=anx ﹣a(n+1)x ,所以 f′(1)=﹣a. 又因为切线 x+y=1 的斜率为﹣1,所以﹣a=﹣1,即 a=1,故 a=1,b=0. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=x (1﹣x) ,则有 f′(x)=(n+1)x (x)=0,解得 x= 在(0, )上,导数为正,故函数 f(x)是增函数;在( ,+∞)上导数为负,
n n﹣1 n﹣1 n



﹣x) ,令 f′

故函数 f(x)是减函数; 故函数 f (x) 在 (0, +∞) 上的最大值为 f ( ) = ( )(1﹣
n

) =



(Ⅲ)令 φ(t)=lnt﹣1+ ,则 φ′(t)= ﹣

=

(t>0)

在(0,1)上,φ′(t)<0,故 φ(t)单调减;在(1,+∞) ,φ′(t)>0,故 φ(t) 单调增; 故 φ(t)在(0,+∞)上的最小值为 φ(1)=0, 所以 φ(t)>0(t>1) 则 lnt>1﹣ , (t>1) , 令 t=1+ ,得 ln(1+ )>
n+1

,即 ln(1+ )

n+1

>lne

所以(1+ )

>e,即



由(Ⅱ)知,f(x)≤





故所证不等式成立. 点评: 本题考查利用导数求函数最值及利用最值证明不等式,本题技巧性强,解题的关键是 能根据题设及证明中的结论构造函数辅助证明,本题是能力型题,难度较大,是高考 选拔优秀数学人才的首选题,做题后要注意总结本题的解题规律,领会构造法证明不 等式的要旨,本题考查了转化的思想及函数思想,难度较大极易找不到思路或计算出

17

错,作为压轴题出现.

18


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