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高中导数概念引入的教学研究

投稿日期:2015.2.3 所投栏目:(高中版)课堂教学研究 手机号码:15298391861 电子邮箱:sx9106240@126.com 高中导数概念引入的教学研究 孙旋 南京师范大学 210000

摘要:导数是微积分的核心概念,高中开设微积分课程具有多方面的价值和意 义。新课标在导数概念的处理上有了大的变化,考虑到高中学生的认知水平要 求不讲极限,但要求体会导数的思想及其内涵。极限思想与极限定义不同,极 限思想在很早的时候就有了,而极限定义产生于解决微积分学的基本问题。高 中导数蕴含着重要的极限思想,高中学生体会极限思想有利于之后微积分内容 的学习。 关键词:极限思想;瞬时速度;导数 一、课程标准的要求 全日制普通高中数学课程标准中导数概念及其几何意义的内容与要求是: “①通过对大量实例的分析, 经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解 导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵。② 通过函数图象直观地理解导数的几何意义。” 《课程标准解读》 介绍了新课程对 “导数及其应用” 教学处理上的主要变化:1. 突出导数概念的本质。 以往教材在编排上从极限概念开始学习, 学生对极限概念 认识和理解的困难, 影响了对导数本质的认识和理解。 因此, 课标在这部分的处 理有了大的变化,不讲极限概念,不是把导数作为一种特殊的极限(增量比的极 限)来处理, 而是直接通过实际背景和具体应用实例——速度、膨胀率、效率、 增长率等反映导数思想和本质的实例, 引导学生经历由平均变化率到瞬时变化 率的过程, 认识和理解导数概念;同时加强对导数几何意义的认识和理解;2. 强调导数在研究事物的变化率、 变化的快慢, 研究函数的基本性质和优化问题中 的应用, 并通过与初等方法比较 , 感受和体会导数在处理上述问题中的一般性 和有效性。 二、导数概念的内涵 高等数学中导数的定义是:函数 y=f(x)在 x 的某邻域 U(x,δ )中有

定义,自变量在点 x 处获得一个增量△x,相应地,函数 y 获得增量△y=f(x+ △x)-f(x)。 考虑极限式子
lim ?y ?x ? 0 ?x

,如果该极限存在 ,我们就称该极限

dy 为函数 y=f(x)在 x 处的导数,记作 f′(x)或 dx 。函数的导数如果像这样
依托于极限进行定义, 没有具体的问题, 高中生很难知道求导数到底是在干什么。 苏教版教材中导数的定义是:设函数 y ? f ( x) 在区间( a,b) 上有定义,

x0 ? (a, b) ,若 ?x 无限趋近于 0 时,比值

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? 无限趋近于一个 ?x ?x

常数 A,则称 f ( x) 在 x ? x0 处可导,并称该常数 A 为函数在 x ? x0 处的导数,记 作 f ' ( x0 ) 。 人教版教材中导数的定义是:一般地,函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的瞬时变化 率是
lim ?y lim f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ,我们称它为函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处 ? ?x ? 0 ?x ?x ? 0 ?x

的导数,记作 f ' ( x0 ) 或 y '

x? x0

即 f ' ( x0 ) =

lim ?y lim f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) . ? ?x ? 0 ?x ?x ? 0 ?x

但当与实际问题结合起来是, 导数的内涵就清晰了, 导数在一些具体问题中的意 义诠释如下:

?s (1)运动学中,对象函数为 S=S(t),S 表示位移,t 表示时间,则 ?t 表示一
段时内的平均速度。再进一步,我们容易意识到 S ' (t ) 对应着 t 时刻物体的瞬时 速度 v(t)。 类似地,我们也能意识到 V ' (t ) 对应着 t 时刻物体的瞬时加速度 a(t)。 (2)几何中,y=f(x)图像曲线上有定点 M(x,f(x))及动点 N(x+△x,f (x+△x)),N 的运动由自变量增量△x 控制。 显然,
?y 表示弦 MN 所在直 ?x

线的斜率,进一步我们容易意识到,当动点 N 沿函数图像曲线不断靠近 M 时, MN 所在直线就越来越接近图像曲线在点 M 处的切线了,自然 f ' ( x) 表示的应是
dy dx

点 M(x,f(x))处切线的斜率。

导数及其应用属于高中选修内容, 此时学生已经在高一年级阶段学习了瞬时 速度、 平均速度和加速度等物理知识,结合瞬时速度引入导数概念可以帮助学生 正确理解导数的内涵。导数的几何意义重要性突出,是导数从数到形的桥梁,让 学生感受变化率和斜率的内在联系。由此可见,高中导数概念不仅具有标准化的 数学语言描述, 而且结合实际问题体现了其教学价值,成功地将高等数学知识下 放到高中数学中。 三、极限思想在教材中的体现及重要性 新课标明确要求高中导数概念的引入不再先进行极限的教学, 要让学生通过 感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用,体会导数的思想及其内涵。从教 材的内容安排来分析, 苏教版已经将极限相关内容删除, 但在导数定义中含有 “无 限趋近于”一词,这正是极限思想的体现。而人教版教材的选修Ⅰ和选修Ⅱ中考 虑到文理科学生的差别在导数概念的引入上差异较大, 但定义中仍然都存在极限 一词。 苏教版教材选修 1-1 和选修 2-2 中导数的概念是通过具有实际背景的生活实 例, 先让学生理解平均变化率是近似地刻画了曲线在某区间上的变化趋势,通过 逐渐逼近让学生观察并体会某一点处的切线的斜率和瞬时加速度, 进而升华出瞬 时变化率,最后引入导数就是瞬时变化率。从教育心理学角度来看,学生学习新 概念时总是会从原有认知出发, 发现、理解原来知识体系和新事物间的联系和区 别,理解概念时易受到已有知识结构和自身感性经验以及自身概括能力的影响。 所以如果学生对于瞬时变化率的理解不透彻,进而对导数概念理解也不深刻。 人教版教材中选修Ⅰ是通过讨论瞬时速度、切线的斜率和边际成本,指出虽 然它们的实际意义不同,但从函数的角度来看,却是相同的,都是研究函数的增 量与自变量的增量的比的极限, 由此引入函数的概念。选修Ⅱ中导数概念主要从 “气球膨胀率”和“高台跳水”展开,这两个实例虽然学生在生活中会接触,但 是在抽象出理论知识时会要求的状态较为理想化使学生对于实例不能充分理解 或者说学生对于导数概念更多的依赖于瞬时变化率。 若想理解导数就必须有正确 的极限思想,如果学生没有这种极限意识,在理解导数概念时肯定会困难重重。 在导数概念讲解的过程中教师不必依托于形式化的极限定义, 但是导数的概 念甚至以后的微积分学习中仍然蕴含着极限思想, 所以在课堂上对学生极限思维

的培养意义重大。 四、个人关于高中导数概念教学的建议及设计片段 新课标在导数内容的变化是符合高中学生的身心发展特点的, 形式化的极限 定义对于高中生来说理解起来难度较大, 许多调查研究表明以往高中生对极限概 念的学习效果差强人意,从“平均变化率—瞬时变化率”的教学改善了导数的教 学效果。 教师对于导数的理解直接可以影响学生对于导数的学习情况, 作为教师我们 应该了解极限思想贯穿微积分教学的始终,可以说不论是中学还是大学,极限思 想是微积分的核心。教师要善于利用问题,在教学活动中做些适当的安排,充分 利用学生已有的物理知识、 曲线斜率知识和变化率知识, 将导数概念中的 ?x ? 0 讲解透彻,让学生理解趋近于 0 并不等于 0,这正是极限思想的体现,注重引导 学生用数学眼光看问题,增强应用意识。除此之外,教师可以通过数学史的讲解 让学生体会极限思想在处理一些问题上的好处,从而正确理解导数概念,有利于 从微分到积分的学习。教师巧妙的教学设计可以做到“此时无声胜有声”,达到 事半功倍的效果。 对课本中“1.1 导数的概念”的设计片段: 1.创设情境 著名物理学家、 诺贝尔奖获得者费恩曼曾讲过这样一则笑话。一位女士由于驾车 超速而被警察拦住。警察走过来对她说:“太太,您刚才的车速是 60 英里每小 时!”这位女士反驳说:“不可能的!我才开了 7 分钟,还不到一个小时,怎么 可能走了 60 英里呢?”太太,我的意思是:“如果您继续像刚才那样开车,在 下一个小时里您将驶过 60 英里。”“这也是不可能的。我只要再行驶 10 英里就 到家了, 根本不需要再开过 60 英里的路程。 ” 如果你是警察, 你会如何解释呢? (设计意图:从学生已有的物理知识出发,引入瞬时速度与瞬时变化率,建立物 理与数学的联系,通过举例让学生感受平均变化率和瞬时变化率的区别。) 2.瞬时速度和导数的概念 物理学中, 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度,对这样的速度我们常用 极限的思想方法去求解。 通过不断探究得到瞬时速度的数学表达式,也就是位移 对于时间的瞬时变化率,从而给出瞬时变化率即导数的概念。 (探究过程就是将

时间不断缩小,从时间间隔到时刻、平均速度到瞬时速度,最后得到瞬时速度就 是瞬时变化率,这里不再赘述。) (设计意图: “正如牛顿所做的那样,理解导数之本质的最好方法是考虑速度。” 从速度出发进行探究, 将时间不断缩小就是从平均速度过渡到瞬时速度,从平均 变化率过渡到瞬时变化率,顺水推舟给出导数概念。) 参考文献: 1.王佩.导数的现实应用内涵理解与教学策略[J].科技世界, 2014(17):147-148. 2.中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[S].北京:人民教育出版社, 2003. 3.苏教版高中数学教材编写组.普通高中课程标准实验教科书[Z].江苏:江苏教 育出版社,2012. 4.人民教育出版社中数学室.全日制普通高级中学教科书[Z].北京:人民教育出 版社,2003. 5.宋宝和,郭兆明,房元霞.变化率思想:高中开设微积分课程的价值[J].课程? 教材?教法,2006(9):44-47. 6.王洪岩.高中生导数概念教学的研究[D].河北师范大学,2012. 7.宗慧敏,王月华.导数概念教学体会[J].科技信息(职教论坛),2009(11): 222,236. 8.王忠.微积分学教学中的极限思想[J].内蒙古科技与经济,2001(2):107— 109. 联系电话:15298391861 Email:sx9106240@126.com 作者简介:孙旋(1990.06—),女,硕士,南京师范大学,研究方向为学科教学 (数学)


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