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数学知识点人教A版数学必修五 1.1《正弦定理和余弦定理》教案2-总结

初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学 1.1.2 余弦定理 一、教学目标: 1、能力要求: ①掌握余弦定理,能初步运用余弦定理解一些斜三角形。 ②明确余弦定理可解决哪种类型的三角形问题。 2、过程与方法: ①探究式教学使学生明确余弦定理的用途。 ②在探究学习中,认识到余弦定理可以解决某些与几何计算和测量有关的实际问题。 二、教学重点、难点: 重点:余弦定理公式及其推论的应用; 难点:综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解斜三角形 三、预习问题处理: 1、余弦定理:三角形中 平方等于 减去 的两倍,即 。 2、从余弦定理,可以得到它的推论: cos A ? ; cos B ? ; cos C ? 。 3、从余弦定理和余弦函数的性质可知,如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么第 三边所对的角是 ;如果小于第三边的平方,那么第三边所对的角是 ;如果大于第 三边的平方,那么第三边所对的角是 。 4、只利用余弦定理,我们可以解决何种类型的问题? a2 ? b2 ? c2 ? ; ; 四、新课讲解: 通过上一节课的学习我们知道,利用正弦定理可以解决两类三角形问题:①已知三角形两角和任一 边解三角形;②已知两边和其中一边的对角解三角形。那么其它类型的解三角形问题是否就没有办 法解决了呢?下面我们由正弦定理出发,进行一下探索。 a b c ? ? ? 2 R ( R 为 ?ABC 外接圆半径) sin A sin B sin C 由正弦定理可知: a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2 R sin C 正弦定理: ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 4 R 2 sin 2 B ? sin 2 C ? 2 sin B sin C cos A ? 4 R 2 sin 2 B ? sin 2 C ? 2 sin B sin C cos?B ? C ? ? ? ? ? 初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学 初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学 ? ? ? 4 R ?sin B ?1 ? sin C ? ? sin C ?1 ? sin B ? ? 2 sin B sin C cos B cosC ? ? 4 R ?sin B cos C ? sin C cos B ? 2 sin B sin C cos B cosC ? ? 4 R 2 sin 2 B ? sin 2 C ? 2 sin 2 B sin 2 C ? 2 sin B sin C cos B cosC 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ? 4 R 2 ?sin B cosC ? sin C cos B ? ? 4 R 2 sin 2 ?B ? C ? ? 4 R 2 sin 2 A 2 ? ?2 R sin A? ? a 2 2 即 a ? b ? c ? 2bc cos A 。 2 2 2 c ? a ? b ? 2ab cosC 同理可证: b ? a ? c ? 2ac cos B 于是,我们可以得到如下定理: 余弦定理(law of cosines) 三角形中任何一边的平方等于其他两边的和减去这两边与它们的夹 角的余弦的积的两倍。即 2 2 2 2 2 2 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC 上述证明方法比较烦琐,有没有余弦定理的简单证法呢? 我们可以用向量法对其加以证明。 如图,设 CB ? a, CA ? b, AB ? c ,那么 c 2 c ? c ? c ? a ? b ? a ? b ? a ? a ? b ? b ? 2a ? b ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC 所以 c ? a ? b ? 2ab cosC 。 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ? ?? ? ? a ? b, C b a b ? a ?A c ? 2ac cos B B 同理可以证明: a ? b ? c ? 2bc cos A c 在这个定理的证明过程中,你感觉到向量运算的威力了吗? 应用余弦定理,我们可以随一些正弦定理所解决不了的三角形问题进行求解,如:已知两边和夹角 求三角形第三边。 从余弦定理,可以得到它的推论: cos A ? b2 ? c2 ? a2 a2 ? c2 ? b2 , cos B ? , 2bc 2ac cosC ? a2 ? b2 ? c2 。 2ab 应用上述推论,可以对已知三角形三边求其三个内角的问题进行求解。 由上述推论可知:如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对的角是直角; 如果小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角;如果大于第三边的平方,那么第三边所对的 角是锐角。也就是说,如果已知一个三角形的三边长度,我们可以用余弦定理的推论判定三角形的 形状。 五、例题讲解: 例 1、在 ?ABC 中,已知 a ? 2 解:由余弦定理: c 2 3, b ? 3, C ? 30? ,解此三角形。 3 ?3 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC ? 12 ? 9 ? 2 ? 2 3 ? 3 ? ?c ? 3 ? cos A ? b 2 ? c 2 ? a 2 9 ? 3 ? 12 ? ? 0 , ? A ? 90? ; 2bc 6 3 ? ? ? ? ? B ? 180 ? 30 ? 90 ? 60 ; 例2、在 ?ABC 中,已知 a ? 7, b ? 10, c ? 6 ,求此三角形三个角的余弦值并判定其形状。 初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学 初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学 解:由余弦定理的推论可得: b 2 ? c

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