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2015年高考数学理真题分项解析:专题15 复数


专题十五 复数
1.【2015 高考新课标 2,理 2】若 a 为实数且 (2 ? ai)(a ? 2i) ? ?4i ,则 a ? ( A. ? 1 【答案】B 【解析】由已知得 4a ? (a2 ? 4)i ? ?4i ,所以 4a ? 0, a2 ? 4 ? ?4 ,解得 a ? 0 ,故选 B. 【考点定位】复数的运算. 【名师点睛】本题考查复数的运算,要利用复数相等列方程求解,属于基础题.
3 2.【2015 高考四川,理 2】设 i 是虚数单位,则复数 i ?



B. 0

C. 1

D. 2

2 ( i

) (D)3i

(A)-i 【答案】C 【解析】

(B)-3i

(C)i.

i3 ?

2 2i ? ?i ? 2 ? ?i ? 2i ? i ,选 C. i i

【考点定位】复数的基本运算. 【名师点睛】复数的概念及运算也是高考的热点,几乎是每年必考内容,属于容易题.一般来说,掌握复数 的基本概念及四则运算即可. 3.【2015 高考广东,理 2】若复数 z ? i ? 3 ? 2i ? ( i 是虚数单位 ),则 z ? ( A. 3 ? 2i 【答案】 D . 【解析】因为 z ? i ?3 ? 2i ? ? 2 ? 3i ,所以 z ? 2 ? 3i ,故选 D . 【考点定位】复数的基本运算,共轭复数的概念. 【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算,共轭复数的概念和运算求解能力,属于容易题;复数的乘法 运算应该是简单易解,但学生容易忘记和混淆共轭复数的概念, z ? a ? bi 的共轭复数为 z ? a ? bi . 4.【2015 高考新课标 1,理 1】设复数 z 满足 (A)1 【答案】A
[来源:gkstk.Com] [来源:学优高考网 gkstk]

) D. 2 ? 3i

B. 3 ? 2 i

C. 2 ? 3i

1? z = i ,则|z|=( 1? z

) (D)2

(B) 2

(C) 3

【解析】由

1? z ?1 ? i (?1 ? i)(1 ? i) ? i 得, z ? = = i ,故|z|=1,故选 A. 1? z 1? i (1 ? i)(1 ? i)

【考点定位】本题主要考查复数的运算和复数的模等. 【名师点睛】本题将方程思想与复数的运算和复数的模结合起来考查,试题设计思路新颖,本题解题思路 为利用方程思想和复数的运算法则求出复数 z,再利用复数的模公式求出|z|,本题属于基础题,注意运算的 准确性. 5.【2015 高考北京,理 1】复数 i ? 2 ? i ? ? ( A. 1 ? 2i 【答案】A B. 1 ? 2i ) C. ?1 ? 2i D. ?1 ? 2i

考点定位:本题考查复数运算,运用复数的乘法运算方法进行计算,注意 i 2 ? ?1 . 【名师点睛】本题考查复数的乘法运算,本题属于基础题,数的概念的扩充部分主要知识点有:复数的概 念、分类,复数的几何意义、复数的运算,特别是复数的乘法与除法运算,运算时注意 i
2

? ?1 ,注意运

算的准确性,近几年高考主要考查复数的乘法、除法,求复数的模、复数的虚部、复数在复平面内对应的点 的位置等. 6.【2015 高考湖北,理 1】 i 为虚数单位, i 607 的共轭复数 为( .... A. i 【答案】A 【解析】 i
607

) D. ? 1

B. ? i

C.1

? i 4?151 ? i 3 ? ?i ,所以 i 607 的共轭复数 为 i ,选 A . ....

【考点定位】共轭复数. 【名师点睛】复数中, i 是虚数单位, i 2 ? ?1 ;i 4n?1 ? i,i 4n?2 ? ?1 ,i 4n?3 ? ?i,i 4n ? 1(n ? Z) 7.【2015 高考山东,理 2】若复数 z 满足 (A) 1 ? i 【答案】A 【解析】因为 (B) 1 ? i

z ? i ,其中 i 为虚数为单位,则 z =( 1? i
(C) ?1 ? i (D) ?1 ? i



[来源:gkstk.Com]

z ? i ,所以, z ? i ?1 ? i ? ? 1 ? i ,所以, z ? 1 ? i 故选:A. 1? i

【考点定位】复数的概念与运算. 【名师点睛】本题考查复数的概念和运算,采用复数的乘法和共轭复数的概念进行化简求解.

本题属于基础题,注意运算的准确性. 8.【2015 高考安徽,理 1】设 i 是虚数单位,则复数 (A)第一象限 【答案】B 【解析】由题意 (B)第二象限

2i 在复平面内所对应的点位于( 1? i
(D)第四象限



(C)第三象限

2i 2i(1 ? i) ?2 ? 2i ? ? ? ?1 ? i ,其对应的点坐标为 (?1,1) ,位于第二象限,故选 B. 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 2

【考点定位】1.复数的运算;2.复数的几何意义. 【名师点睛】复数的四则运算问题主要是要熟记各种运算法则,尤其是除法运算,要将复数分母实数化(分 母乘以自己的共轭复数) ,这也历年考查的重点;另外,复数 z ? a ? bi 在复平面内一一对应的点为

Z ( a, b) .
9.【2015 高考重庆,理 11】设复数 a+bi(a,b ? R)的模为 3 ,则(a+bi) (a-bi)=________. 【答案】3 【解析】由 a ? bi ? 3 得 a ? b ? 3 ,即 a 2 ? b 2 ? 3 ,所以 (a ? bi)(a ? bi) ? a2 ? b2 ? 3 .
2 2

【考点定位】复数的运算. 【名师点晴】复数的考查核心是代数形式的四则运算,即使是概念的考查也需要相应的运算支持.本题首 先根据复数模的定义得 a ? bi ?

a 2 ? b 2 ,复数相乘可根据平方差公式求得 (a ? bi)(a ? bi) ? a2 ? (bi)2

? a 2 ? b 2 ,也可根据共轭复数的性质得 (a ? bi)(a ? bi) ? a 2 ? b 2 .
10. 【2015 高考天津, 理 9】i 是虚数单位, 若复数 ?1 ? 2i ?? a ? i ? 是纯虚数, 则实数 a 的值为 【答案】 ?2 【解析】 ?1 ? 2i ?? a ? i ? ? a ? 2 ? ?1 ? 2a ? i 是纯虚数,所以 a ? 2 ? 0 ,即 a ? ?2 . 【考点定位】复数相关概念与复数的运算. 【名师点睛】本题主要考查复数相关概念与复数的运算.先进行复数的乘法运算,再利用纯虚数的概念可求 结果,是容易题.
2 11.【2015 江苏高考,3】设复数 z 满足 z ? 3 ? 4i (i 是虚数单位) ,则 z 的模为_______.
[来源:学优高考网 gkstk]

.

【答案】 5 【解析】 | z 2 |?| 3 ? 4i |? 5 ?| z |2 ? 5 ?| z |? 5

【考点定位】复数的模 【名师点晴】在处理复数相等的问题时,一般将问题中涉及的两个复数均化成一般形式,利用复数相等的 充要条件“实部相等,虚部相等”进行求解.本题涉及复数的模,利用复数模的性质求解就比较简便:

z |z| | z |2 ? z 2, | z1 z2 | ?| z1|?|z2 |, | 1 |? 1 . z2 |z2 |

?1 ? i ? 12.【2015 高考湖南,理 1】已知
z
A. 1 ? i 【答案】D. B. 1 ? i C. ?1 ? i

2

,则复数 z =( ? 1 ? i ( i 为虚数单位) D. ?1 ? i



【考点定位】复数的计算. 【名师点睛】本题主要考查了复数的概念与基本运算,属于容易题,意在考查学生对复数代数形式四则运 算的掌握情况,基本思路就是复数的除法运算按“分母实数化”原则,结合复数的乘法进行计算,而复数 的乘法则是按多项式的乘法法则进行处理. 13.【2015 高考上海,理 2】若复数 z 满足 3 z ? z ? 1 ? i ,其中 i 为虚数单位,则 z ? 【答案】 .

1 1 ? i 4 2

[来源:学优高考网]

【解析】设 z ? a ? bi(a, b ? R) ,则 3(a ? bi) ? a ? bi ? 1 ? i ? 4a ? 1且2b ? 1 ? z ? 【考点定位】复数相等,共轭复数

1 1 ? i 4 2

【名师点睛】研究复数问题一般将其设为 z ? a ? bi(a, b ? R) 形式,利用复数相等充要条件:实部与实部,虚 部与虚部分别对应相等,将复数相等问题转化为实数问题:解对应方程组问题.复数问题实数化转化过程中, 需明确概念,如 z ? a ? bi(a, b ? R) 的共轭复数为 z ? a ? bi(a, b ? R) ,复数加法为实部与实部,虚部与虚部分 别对应相加. 【2015 高考上海,理 15】设 z1 , z2 ? C ,则“ z1 、z2 中至少有一个数是虚数”是“ z1 ? z2 是虚数”的( A.充分非必要条件 C.充要条件 【答案】B B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件 )

【解析】若 z1 、 z2 皆是实数,则 z1 ? z2 一定不是虚数,因此当 z1 ? z2 是虚数时,则“ z1 、 z2 中至少有一个 数是虚数”成立,即必要性成立;当 z1 、 z2 中至少有一个数是虚数, z1 ? z2 不一定是虚数,如 z1 ? z2 ? i , 即充分性不成立,选 B. 【考点定位】复数概念,充要关系 【名师点睛】形如 a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中 a,b 分别是它的实部和虚部.若 b=0,则 a+bi 为实 数;若 b≠0,则 a+bi 为虚数;若 a=0 且 b≠0,则 a+bi 为纯虚数.判断概念必须从其定义出发,不可想 当然.


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