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宁波市2013年高考模拟考试理科数学试卷


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宁波市 2013 年高考模拟考试

数学(理)试题
本试题卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 棱柱的体积公式

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A、B 相互独立,那么 的高

V ? Sh
其中 S 表示棱柱的底面积, 表示棱柱 h 棱锥的体积公式

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么 V ? n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 的高
k Pn (k ) ? Cn P k (1 ? P) n?k (k ? 0,1,2,?, n)

1 Sh 3

其中 S 表示棱锥的底面积, 表示棱锥 h 球的表面积公式
S ? 4?R 2

棱台的体积公式

1 V ? h ( S1 ? S1 S 2 ? S 2 ) 3
其中 S1,S2 分别表示棱台的上、下底面积, h 表示棱台的高

球的体积公式

V ?

4 ? R3 3

其中 R 表示球的半径 第 I 卷(选择题部分,共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.设集合 M={-1,0,1},N={x|x2≤},则 M∩N= A.{0} B.{0,1} C.{-1,1} D.{-1,0} 2.函数 f ( x) ? cos( x ?

?

4

) ? cos( x ?

?

4

)是

A.周期为π 的偶函数 B.周期为 2π 的偶函数 C.周期为π 的奇函数 D.周期为 2π 的奇函数 3.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 A.

8 3 3

B.

16 3 3

C. 8 3

D. 16 3

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4.已知点 P(3,3),Q(3,-3),O 为坐标原点,动点 M(x,y)满足 ? 则点 M 所构成的平面区域的面积是 A.12 B.16

?| OP ? OM |? 12 ? ?| OQ ? OM |? 12 ?
D.64



C.32
a b

5.已知 a, b ? R ,条件 p:“a>b”,条件 q:“ 2 ? 2 ? 1 ”,则 p 是 q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.在“石头、剪刀、布”的游戏中,规定:“石头赢剪刀”、“剪刀赢布”、“布赢石头”。 现有甲、乙两人玩这个游戏,共玩 3 局,每一局中每人等可能地独立选择一种手势,设 甲赢乙的局数为ξ ,则随机变量ξ 的数学期望是 A.

1 3

B.

4 9

C.

2 3

D.1

7.已知数列 {an } 是 1 为首项、2 为公差的等数列,{bn } 是 1 为首项、2 为公比的等比数列, 设 cn ? abn , Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn (n ? N ) ,则当 Tn ? 2013,n 的最小值是
*

A.7

B.9

C.10

8.已知空间向量 a, b满足 | a |?| b |? 1, 且a, b的夹角为

?
3

D.11 ,O 为空间直角坐标系的原点,

点 A、B 满足 OA ? 2a ? b, OB ? 3a ? b ,则△OAB 的面积为 A.

5 3 2

B.

5 3 4

C.

7 3 4

D.

11 4

9.设函数 f ( x)的导函数为 ?( x) ,对任意 x ? R都有f ?( x) ? f ( x) 成立,则 f A. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) C. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) B. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) D. 3 f (ln 2)与2 f (ln 3) 的大小不确定

10.三个顶点均在椭圆上的三角形称为椭圆的内接三角形,已知点 A 是椭圆的一个短轴端 点,如果以 A 为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形有且仅有三个,则椭圆的离心率 的取值范围是 A. (0,

2 ) 2

B. (

2 6 , ) 2 3

C. (

2 ,1) 2

D. (

6 ,1) 3

第Ⅱ卷

(非选择题部分,共 100 分)

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 11.已知 i 是虚数单位,复数 z ?

1 ? 2i 的虚部是 1? i
.

.

12.执行如图所示的程序框图,则输出的 k 值是

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13. ( x ? 2)(
2

1 ? 1) 5 的展开式的常数项是 x

.

14. 设函数 f ( x) ? ?

?? 1 ? 2 ? x ? 0 若函数 g ( x) ? f ( x) ? ax, x ? [?2,2] 为偶函数, 则实 ? x ? 10 ? x ? 2

数 a 的值为 . 15.从 6 名候选人中选派出 3 人参加 A、B、C 三项活动,且每项活动有且仅有 1 人参加, 甲不参加 A 活动,则不同的选派方法有 种。 16.已知曲线 C1 : y ? x 2 ? 4和C2 : y ? 2x ? 22 , 直线l1 与 C1、C2 分别相切于 A、B,直线 (不同于 l1 ) C1、 2 分别相切于点 C、 则 AB 与 CD 交点的横坐标是 与 C D, l2 , .

17.直角坐标平面上,已知点 A(0,2),B(0,1),D(t,0)(t>0),点 M 是线段 AD 上的动点,如果 | AM |? 2 | BM | 恒成立,则正实数 t 的最小值是 .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.(本题满分 14 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知函数

1 f ( x) ? cos x ? cos( x ? A) ? cos A( x ? R) 2
(1)求函数 f (x) 的最小正周期和最大值; (2)若函数 f (x) 在 x ?

?
3

处取得最大值,求

a(cosB ? cosC ) 的值。 (b ? c) sin A

19.(本小题满分 14 分)设公比大于零的等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 a1 ? 1 ,

S 4 ? 5S 2 ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,满足 b1 ? 1, Tn ? n 2bn , n ? N * .
(1)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (2)设 Cn ? (S n ? 1)(nbn ? ? ), 若数列 Cn } 是单调递减数列,求实数 ? 的取值范围. {

20.(本小题满分 15 分) 如图, 已知四棱锥 P—ABCD 的底面为菱形, 且∠ABC=60°, AB=PC=2, AP=BP= 2 。 (1)求证:平面 PAB⊥平面 ABCD; (2)求二面角 A—PC—D 的平面角的余弦值。

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21.(本小题满分 15 分) 如图,已知椭圆 E :

x2 a
2

?

y2 b
2

? 1(a ? b ? 0)的离心率是

2 ,P1、P2 是椭圆 E 的长轴 2

的两个端点(P2 位于 P1 右侧),点 F 是椭圆 E 的右焦点,点 Q 是 x 轴上位不动声色 P2 右侧的一点且满足

1 1 2 ? ? ? 2. | P1Q | | P2 Q | | FQ |

(1)求椭圆 E 的方程以及点 Q 的坐标; (2)过点 Q 的动直线 l 交椭圆 E 于 A、B 两点,连接 AF 并延长交椭圆于点 C,连结 AF 并延长交椭圆于点 D。 ①求证:B、C 关于 x 轴对称; ②当四边形 ABCD 的面积取得最大值时,求直线 l 的方程;

22.(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (3a ? 1) x ? (2a ? 1) ,其中 a ? R.
2

(1)如果 x ? 1 是函数 f (x) 的一个极值点,求实数 a 的值及 f (x) 的最大值; (2)求实数 a 的值,使得函数 f (x) 同时具备如下两个性质: ①对于任意实数 x1 , x 2 ? (0,1)且x1 ? x 2 ,

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x ? x2 ? f( 1 ) 恒成立; 2 2

②对于任意实数 x1 , x 2 ? (1,??)且x1 ? x 2 ,

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x ? x2 ? f( 1 ) 恒成立; 2 2

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