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1.1.1集合的含义与表示


第一章 集合与函数概念
1.1.1 集合的含义与表示
(第1课时)

情景1:“集合”是日常生活中的一个常用词,现代汉语 解释为:许多的人或物聚在一起. 康托尔(G.Cantor,1845-1918). 德国数学家,集合论创始人.人们把康 托尔于1873年12月7日给戴德金的信中 最早提出集合论思想的那一天定为集合 论诞生日. 在现代数学中,集合是一种简洁、高雅的数学语言, 我们怎样理解数学中的“集合”?

情景2:
蓝蓝的天空中,一群鸟在欢快的飞翔; 茫茫的草原上,一群羊在悠闲的走动; 清清的海水里,一群鱼在自由的游泳; …… 鸟群、羊群、鱼群……都是“同一类对象汇集在一起”, 这就是本节课所要学习的集合.

3

学习目标
1.了解集合的含义,理解集合中元素的三个特性. (重点) 2.记住并会使用常用的数集符号.

3.会用符号表示元素与集合之间的关系.(难点)

一、元素与集合的概念 看下面几个例子,概括它们有何共同特点? (1)我国从1993年到2016年的24年内所发射的

所有人造卫星.
(2)金星汽车厂2016年生产的所有汽车.

(3)2017年1月1日之前与中华人民共和国建立
外交关系的所有国家.

(4)所有的正方形.

(5)到直线l的距离等于定长d的所有的点.
(6)方程 x ? 3 x ? 2 ? 0 的所有实数根.
2

(7)新华中学2015年9月入学的所有的高一学生.

共同特点:都指“所有”,即研究对象的全体.

元素与集合的概念
一般地, 我们把研究对象统称为元素. 通常用小写拉丁字母a,b,c,...来表示. 我们把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集). 通常用大写拉丁字母A,B,C,...来表示. 问题: 组成集合的元素一定是数吗?

组成集合的元素可以是物、数、图、
点等,它具备怎样的性质呢?

确定性:给定的集合,它的元素必须是确定
的,也就是说给定一个集合,那么任何一个元素在 不在这个集合中就确定了

互异性:一个给定的集合中的元素是互不相 同的,即集合中的元素不能相同。 无序性:集合中的元素是无先后顺序的,即
集合里的任何两个元素可以交换位置
这些性质都是从概念中得到的,概念是知识的生长点,思维的发源地.

1. 所有的“帅哥”能否构成一个集合?由此说明什么? 集合中的元 素是确定的

不能. 其中的元素不确定

“帅”是一个含糊不清的概念,具有相对性, 多么“帅”才算“帅”?没有明确的标准, 也就是说,是一些不能够确定的对象.因此, 不能构成集合.

2. 由1,3,0,5,︱-3 ︳这些数组成的一个集合中

有5 个元素,这种说法正确吗?
不正确.集合中只有4个不同元素1,3,0,5 .

集合中的元 素是互异的

3.高一(1)班的全体同学组成一个集合,调整座位后这

个集合有没有变化?

集合没有变化

集合中的元素是 没有顺序的

集合中元素的三个特性
集合中元素是确定的,即对任何一个对象, 它是或不是某个集合的元素是确定的,且 二者必居其一. 确定性是判断一组对象能否构成集合的标准. 互异性

确定性

集合中的元素没有相同的,解题时这一点 易被忽视.

无序性

集合中的元素没有前后顺序.

例题解析
例1 判断下列说法是否正确. (1)地球周围的行星能确定一个集合. 错误,因为“周围”是个模糊的概念,随便 找一颗行星无法判断是否属于地球的周围, 因此它不满足集合元素的确定性.

(2)实数中不是有理数的所有数的全体能确定一个集合.

正确,虽然满足条件的数有无数多个,但任何
一个元素都能判断出来是否属于这个集合.

3 (3)由1, 2

6 ,4

1 - ∣,0.5 ,∣ 2

这些数组成的集合有5

个元素.
3 错误, 2 1 6 ? 由1, , 2 4 6 4

1 = 2

,∣ ∣,



3 ∣=0.52 ,因此, 3 , 0.5 这些数组 2

成的集合为{1,

,0.5}共有3个元素.

(4){1,2,3}与{1,3,2}是不同的集合. 错误,因为集合中的元素是无序的,这两

个集合是相等的.
分析:这类题目主要考查对集合概念的理解, 解决这类问题的关键是以集合中元素的确定性、 互异性、无序性为标准作出判断.

练习
1.下列各组对象能否构成集合:

(1)所有漂亮的人;
(3)不大于3且不小于0的有理数;

(2)所有大于0的整数;
(4)所有的正整数;

(5)某校高一年级所有成绩好的同学. 解析: (1)不能.“漂亮”的标准不具有元素的确定性,故不能构成集合. (2)能.所有大于0的正整数为1,2,3,…,故能构成集合. (3)能.满足条件的集合为{x∈Q|0≤x≤3}. (4)能.所有的正整数构成的集合为N*. (5)不能.成绩“好”的分类标准不明确,故不能构成集合.
17

2. 已知由1,x,x2三个实数构成一个集合,求x应满足的条件.
【分析】1,x,x2是集合中的三个元素,则它们是互不相等的. 【解析】根据集合中元素的互异性,得

所以x∈R且x≠±1且x≠0.

? x ≠1 ? 2 ?x ≠ 1 ?x ≠ x 2 ?

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【方法技巧】判断一组对象组成集合的依据及切入点 (1)依据:元素的确定性是判断的依据.如果考查的对象是确定的,就能 组成集合,否则不能组成集合.

(2)切入点:解答此类问题的切入点是集合元素的特性,即确定性、互
异性和无序性.

已知下面的两个实例:

(1)用A表示高一(3)班全体学生组成的集合.
(2)用a表示高一(3)班的一位同学,b表示高一(4)

班的一位同学.
思考:那么a,b与集合A分别有什么关系?

a是集合A中的元素,
b不是集合A中的元素.

元素和集合的关系
如果a是集合A的元素,就说a属于集合A, 记作a∈A ;

如果b不是集合A中的元素,就说b不属于集合A,
记作b?A.

例 用符号“∈”或“?”填空. (1)2

(2) 2
(3)0

(4)b

? N. ? ____________Q. {0}. ? {a,b,c}. ?

【总结提升】求解此类问题必须要做到以下两点:

①熟记常见的数集的符号;
②正确理解元素与集合之间的“属于”关系.

练习
用符号“∈”或“?”填空. (1)设A为所有亚洲国家组成的集合,则

中国
印度

?

?

A
A

? A 英国______A ?
美国

(2)设A表示“1~20以内的所有素数”组成的集合,则

? 10____A ?
3_____A

4____A ?

11___A

?

? 15____A ?
7_____A

判断正误: (1)元素a与集合A,在a∈A与a?A两种情况中有且只有 一种成立. (



)

(2)符号“∈, ?”可以在集合与集合之间,表示集合 与集合之间的关系. (

×

)

学习集合与元素的概念后,为了方便书写,数 学中规定了一些常用数集及其记法:
常用的数 自然数 正整数集 集 记法 集 N —— N*或N+ ———— 集 Z —— 集 Q —— 集 R —— 整数 有理数 实数

【总结提升】

1.对元素和集合之间关系的两点说明
(1)根据集合中元素的确定性可知,对任何元素a和集合A,在a∈A和 a?A两种情况中有且只有一种成立. (2)符号“∈”和“?”用于元素与集合之间,并且这两个符号的左边 是元素,右边是集合,具有方向性,左右两边不能互换. 2.常用数集及其符号表示的两个关注点 (1)准:对常用数集的符号要记忆准确,书写规范,并且要明确各数集所 含的元素.

(2)记:要记住0是最小的自然数.

【方法技巧】判断元素和集合关系的两种方法
(1)直接法:

①使用前提:集合中的元素是直接给出的.
②判断方法:判断该元素在已知集合中是否出现即可.此时应首先明确 集合是由哪些元素构成. (2)推理法: ①使用前提:对于某些不便直接表示的集合. ②判断方法:判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.此时 应首先明确已知集合的元素具有什么特征,即该集合中元素要符合哪

种表达式或满足哪些条件.

随堂测试
1.下列各项中不能组成集合的是( C )

A.所有正三角形
B.《数学》教材中所有的习题

C.所有数学难题
D.所有无理数 【解析】集合中的元素满足三要素:确定性、 互异性、无序性,“数学难题”是不确定的元 素,故所有数学难题不能组成集合.

2.已知集合M中的三个元素a,b,c分别是△ABC的三
边长,则△ABC一定不是( D )

A.锐角三角形
C.钝角三角形

B.直角三角形
D.等腰三角形

3.若方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的解组成集合M,

则M中元素的个数为( C )
A.1 B.2 C.3 D.4

4. π
3 2 7

? ?

Q

32
9

R

? N ? Z

2
( 5) 2

? ?

Q

N

5.已知集合A含有两个元素a-3和2a-1,若-3∈A, 0或-1 则实数a=________. 【解析】因为-3∈A,所以a-3=-3或2a-1=-3, 解得:a=0或a=-1.

6.已知集合A含有三个元素a+2,(a+1)2,a2+3a+3,

若1∈A,求实数a的值. 【解析】因为1∈A,所以
①若a+2=1,解得a=-1,此时集合含有1,0,1三个

元素,元素重复,所以不成立,即a≠-1.
②若(a+1)2=1,解得a=0或a=-2,当a=0时,集合

A含有2,1,3三个元素,满足条件,即a=0成立.

当a=-2时,集合A含有0,1,1三个元素, 元素重复,所以不成立,即a≠-2. ③ 若a2+3a+3=1,解得a=-1或a=-2,由①②知都 不成立. 所以满足条件的实数a的取值为0,即a=0.

【补充】
? 有限集——含有有限个元素的集合。

? 无限集——含有无限个元素的集合。

空集:不含任何元素的集合,记作? 2 如: {x ? R | x ? 1 ? 0}

两个集合相等
只要构成两个集合的元素是一样的,我们就

称这两个集合是相等的.
这两个集 合是相等的. 小于“2”的自然数组成的集合. 由数“0”和“1”组成的集合.

设集合A={x,y},B={0,x2},若A,B相等,求实数 x,y的值.

解:因为A,B相等,则x=0或y=0.
(1)当x=0时,x2=0,则B={0,0},不满足集合中元素的互异 性,故舍去. (2)当y=0时,x=x2,解得x=0或x=1.由(1)知x=0应舍去. 综上知:x=1,y=0.

35

【总结提升】 1.对集合与元素含义的说明 (1)集合:是数学中一个不加定义的原始概念,只对它作描述性说明,其 本质是某些确定元素组成的总体. (2)元素:集合中的“元素”所指的范围非常广泛,现实生活中看到的、 听到的、所触摸到的、所能想到的各种各样的事物或一些抽象符号等 , 都可以看作“对象”,即集合的元素.

2.集合中元素的三个特性及作用

(1)确定性:集合中的元素是确定的,即任何一个对象是或不是某个集
合的元素,两者必居其一.它是判断涉及的总体是否组成集合的依据. (2)互异性:集合中的元素必须是不同的,即对于一个给定的集合,它的 任何两个元素都是不同的.利用它可以求集合元素中的参数或排除数 值. (3)无序性:集合与其中元素的排列顺序无关.利用它可判断两个集合 的关系.

第一章 集合与函数概念

1.1.1 集合的含义与表示
(第2课时)

情景导学
生日快乐的表达方式 语言是沟通人与人之间联系的一种方式,同样的祝福,不同的

国度有不同的表达方式,如中文的“生日快乐”,
英文为“Happybirthday”,……那么, 对于一个集合,又有几种不同的表示方法呢? 这一节课我们就 来研究!

学习目标 1.掌握集合的两种表示方法—列举法、描述法. (重点)

2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集
合.(难点)

集合的表示方法
1 列举法 思考1:地球上的四大洋 组成的集合如何表示? 【提示】可以这样表示: {太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}. 思考2: 方程(x+1)(x+2)=0的所有根组成的集合 又如何用列举法表示呢?
列举法

【提示】

{-1,-2}

1.列举法
就是将集合中的元素一一列举出来并放在大括号内表
示集合的方法.

注意:(1)元素间要用逗号隔开;
(2)不管次序放在大括号内.

例如:book中的字母的集合表示为:

{b,o,k}

例1 用列举法表示下列集合: (1)小于10的所有自然数组成的集合.
(2)方程x2=x的所有实数根组成的集合.

(3)由1~20以内的所有素数组成的集合.
解:(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A, 那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. (2)设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B, 那么B={1,0}.

(3)设由1~20以内的所有素数组成的集合为C,
那么C={2,3,5,7,11,13,17,19}.

【总结提升】
由于元素完全相同的两个集合相等,而与列举的顺序

无关,因此集合可以有不同的列举方法.例如,
例1(1)可以表示为A={9,8,7,6,5,4,3,2,1,0}

【方法技巧】用列举法表示集合应注意的三点 (1)用列举法表示集合,要分清是数集还是点集. (2)列举法适合表示元素个数有限的集合,当集合中元素个数较少时, 用列举法表示集合比较方便.

(3)搞清集合所含元素有限还是无限,是选择恰当的表示方法的关键.

【总结提升】 1.列举法表示集合的适用范围 通常适用于元素个数有限的集合,但也可以表示元素个数无限的集合. 若元素的个数比较少,用列举法表示比较简单;若集合中的元素个数比 较多或无限多,但呈现一定的规律性,在不发生误解的情况下也可以列 举出几个元素作为代表,其他的元素用省略号表示.

2.用列举法表示集合的注意点 (1)元素间用分隔号“,”. (2)元素不重复. (3)元素无顺序. (4)元素不能遗漏. (5)用列举法表示有特殊规律的元素个数无限的集合时,必须把元素间 的规律表示清楚后才能用省略号,如正整数集可表示为{1,2,3,4,…}.

练:1.用列举法表示下列集合 (1)由小于8的所有素数组成的集合 的集合

{2,3,5,7}.

(2)一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成

{(1, 4)}.
为无限集,无法用列举法表示.

(3)不等式x-3<7的解集

思考:是否所有集合都能用列举法来表示?
提示:否,集合中的元素个数是有限的,

即 有限集可以用.

2:描述法 思考深化

如何表示小于5的 实数的集合呢?

由于小于5的实数有无穷多个,而且无法一一列举出来, 因此这个集合不能用列举法表示. 但是可以看出,这个集合中的元素满足性质: (1) 集合中的元素都小于5. (2) 集合中的元素都是实数. 这个集合可以通过描述其元素性质的方法来表示, 写作:

?x

x ? 5 , x ? R?.

2.描述法
就是用确定的条件表示某些对象是否属于这个 集合的方法.其一般形式为:

{ x | 共同特征 }
竖线后写出这 个集合中元素 x为该集合的 所具有的共同 代表元素 特征 例如:book中的字母的集合表示为:

{x|x是 book中的字母}

例如,不等式 3 x ? 2 ? 0的解集,
用描述法表示为: { x | 3 x ? 2 ? 0, x ? R}.
我们约定,如果从上下文看 x ? R 是明确的,那么上述 集合也可以写成 x 3 x ? 2 ? 0 .

?

?

2 由于解不等式 3 x ? 2 ? 0 可以得到 x ? ,所以不等式 3 ? 2? 3 x ? 2 ? 0 的解集应当写作 ? x x ? ? . 3? ?

描述法关键是要抓住集合中元素的 共同特征,一般用符号语言来表示; 例2.用描述法表示下列给定的集合而其条件所描述的对象即代表元素 . 要写到竖线的前面. (1)不等式4x-5<3的解集

{ x∈R|x<2}
(2)二次函数y=x2-4的函数值组成的集合

{y∈R|y≥-4}
2 (3)反比例函数 y ? 的自变量的值组成的集合 x

{ x∈R|x≠0}

(4)不等式3x≥4-2x的解集 4 { x∈R | x ? } 5

练:用描述法表示下列集合: (1)不等式2x+1>0的解集; (2)所有正奇数组成的集合.
1 解:(1)解不等式2x+1>0得x> ? 2

1 所以,不等式的解集为 {x|x> ? 2

}

(2)由于正奇数都可以写成 2 n ? 1( n ? N ), 所以所有正奇数组成的集合为

? x x ? 2 n ? 1,

n ? N? .

【方法技巧】描述法表示集合的步骤 (1)确定集合中元素的特征. (2)给出其满足的性质. (3)根据描述法的形式写出其满足的集合.

【总结提升】
1.描述法的适用范围、表示的关键及特点 (1)适用范围:通常适用于元素个数较多而元素的排列又不呈现明显规 律的集合,或者根本就不能一一列举的集合. (2)关键:找到集合中的元素及所具有的共同特征. (3)特点:能抓住集合的本质,清楚所要表示集合的属性.

2.描述法表示集合时应关注的四点 (1)写清集合中的代表元素,可以是数、点、式子或其他类型.一般地, 用一个字母代表数集中的元素,用一个有序实数对代表点集中的元素.

(2)竖线后说明该集合中元素具有的性质,如满足方程(组)、不等式
(组)、函数或几何图形等.

(3)描述部分若出现元素符号以外的字母时,要对新字母说明其含义和

指出其取值范围.
(4)多层描述时,应当准确使用“且”和“或”,所有描述的内容都要

写在集合内.

【拓展延伸】常用的两种描述方式 (1)文字描述法:将说明元素性质的一句话写花括号内表示集合的方法, 如三角形的全体组成的集合可表示为{x|x是三角形}. (2)符号描述法:将集合中元素的性质用数学符号表示出来,一般格式 是:{x∈I|p(x)},其中x是所有元素的代表,p(x)表示共同特征.

3 .图示法(Venn图)
我们常常画一条封闭的曲线,用它的内部表示一个集 合.

例如,图1-1表示任意一个集合A;图1-2表示集合
{1,2,3,4,5} .

A
图1-1

1,2,3 ,5, 4.
图1-2

问题思考
1.a与{a}的含义是否相同? 不同,前者为元素,后者为集合. 2.集合{y|y=x2,x∈R}与集合{x|y=x2, x∈R}相同吗? 不同,前者是函数的所有函数值组成的集合;

后者是函数的所有自变量组成的集合. 3.集合 {( x , y ) | y ? x 2 , x ? R}的几何意义是什么? y 曲线y=x2图象上所有点的集合.

y ? x2

x o

例3: 试分别用列举法和描述法表示下列集合. (1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合. (2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.

解:(1)设方程x2-2=0的实数根为x,并且满足条件
x2-2=0,因此,用描述法表示为A={x∈R|x2-2=0}. 方程x2-2=0有两个实数根为 表示为A={
2, ? 2

2, ? 2

,因此,用列举法

}.

(2)设大于10小于20的整数为x,它满足条件x∈Z, 且10<x<20,因此,用描述法表示为

B={x∈Z∣10<x<20}.
大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17, 18,19,因此,用列举法表示为 B={11,12,13,14,15,16,17,18,19}.

思考:你能说出列举法和描述法的优缺点吗?

优点 列举法 直观、明了

缺点 不易看出元素所具有 的属性,且有些集合 不能用列举法表示

把集合中元素所具 有的性质描述出来, 不易看出集合的具体 描述法 具有抽象性、概括 元素 性、普遍性的特点

随堂测试
1.用列举法表示集合{x|x2-2x+1=0}为( B ) A.{1,1} C.{x=0} B.{1} D.{x2-2x+1=0}

【解析】集合{x|x2-2x+1=0}是方程x2-2x+1=0的解集,
而方程有两个相等的实根1,故可表示为{1}.

2.集合{(x,y)|y=2x-1}表示( D ) A.方程y=2x-1 B.点(x,y) C.平面直角坐标系中所有的点组成的集合

D.函数y=2x-1的图象上的所有点组成的集合
【解析】该集合是一个点集,表示函数y=2x-1图

象上的所有点组成的集合.

3.已知集合M={0,2,3,7},P={x|x=ab,a,b∈M},

Q={t|t=a-b,a,b∈M}.用列举法表示
{0,4,6,9,14,21,49} , P=___________________

{-7,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,7} . Q=___________________________________
【解析】因为M={0,2,3,7},P={x|x=ab,a,b∈M},

所以P={0,4,6,9,14,21,49},
因为Q={t|t=a-b,a,b∈M},所以Q={-7,-5,-4,-3,

-2,-1,0,1,2,3,4,5,7}.

4.用列举法表示下列集合: ⑴ 大于-4且小于12的全体偶数; ⑵ 方程

x ? 5 x ? 6 ? 0 的解集.
2

【解析】 () 1 ?2, 0, 2, 4, 6, 8,10

?

?;

⑵ 解方程 x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 得 x1 ? ?1, x2 ? 6, 所以方程的解集为 ??1, 6 ?.

5.用描述法表示下列集合: (1) 方程x2 ? 3x ? 4 = 0的解集.

(2) 正偶数集合. (3) 1,4,9,16,25所组成的集合.
2 【解析】 (1 ) x x ? 3 x ? 4 ? 0 ;

(2) x x ? 2n, n ? N*

?

?

?

2 * x x ? n , n ? N ,n ? 5 (3 )

?

?

?

6、用适当的方法表示下列集合: (1)绝对值小于3的所有整数组成的集合; {-2,-1,0,1,2}或 {x ? Z || x |? 3} (2)所有奇数组成的集合;

{x | x ? 2k ? 1, k ? Z }
(3)由数字1,2,3组成的所有三位数构成的集合.

{123,132,213,231,312,321}.

能力提升
|a| |b| 1、设 a,b 是非零实数,那么 + 可能取的值组成的集合是 a b ______.

解析:当 a、b 同正时值为 2,当 a、b 同负时值 为-2,当 a、b 异号时值为 0,故组成的集合是: {-2,0,2}.

答案:{-2,0,2}

2.填空

?x ? y ? 2 (1)方程组 ? ?x ? y ? 5

的解集用列

举法表示为_______;用描述法表示为 (2)集合 {( x, y) | x ?
用列举法表示为

.

y ? 6, x ? N , y ? N}
.

思考
集合 {(x, y) | y = x +1} 与集合
2

{y | y = x +1} 是同一集合吗?
答:不是.集合 {(x, y) | y = x2 +1} 2 是点集,集合{y | y = x +1} = {y | y ? 1} 是数集.

2

课堂小结 表示方法的特点以及使用对象

自然语言

列举法
直观明了

描述法
元素有共 同的特征 元素无限或很多 的集合

特点 适用对象

容易理解

所有

元素不太 多的集合

综合练习
1.说出下面集合中的元素: (1)由大于3小于11的偶数组成的集合; (2)由平方等于1的数组成的集合; (3)由15的正约数组成的集合.

答:(1) 集合的元素是:4、6、8、10;

(2)集合的元素是1、-1;
(3)集合的元素是1、3、5、15。

2. 用符号?或? 填空: 1___N, ? 0.5___N, ? ? 0___N, ? -3___N, 1___Z, ? ? -3___Z, ? 0___Z, ? 0.5___Z, 1___Q, ? -3___Q, ? 0.5___Q, ? ? 0___Q, 1___R, ? -3___R, ? 0.5___R, ? ? 0___R,

___N; ? 2 ? 2___Z; ___Q; ? 2 ? 2___R;

3. 若 -3 是由 m-1 , 3m , m2+1 组成的集合 的元素,求实数m.
解:
2+1 组成的集合 -3 是由 m-1 , 3m , m ? 的元素,

?

m-1=-3,或3m=-3,或m2+1=-3

2+1=-3无实数解,舍去) m=-2, 或 m=-1, ( m ?

代入检验符合集合元素的互异性 所以实数m=-2或-1.

4.求不等式 2 x ? 3 ? 5的解集 .
解 由2 x ? 3 ? 5 可得 x ? 4 , 所不等式 2 x ? 3 ? 5 的 解集为 ?x | x ? 4, x ? R?.

这里, ?x | x ? 4, x ? R?可简记为?x | x ? 4?.

5.求方程 x 2 ? x ? 1 ? 0 所有实数解 的集合 .
解 因为 x2 ? x ? 1 ? 0 没有实数解 , 所以 x | x2 ? x ? 1 ? 0 , x ? R ? ?.

?

?

6.已知集合A={ x

︳ax2 +2x+1=0,x∈R

},a为实数

(1)若 A是空集,求a的取值范围; (2)若A是单元集,求a的取值范围; 解: (1)若A是空集,则 ?a ? 0 ?a ? 1 ? ?? ? 4 ? 4a ? 0
1? (2) ⅰ.当A=0时,A= ? ? ? ? ,此时A为单元集; ? 2?

ⅱ.当A≠0时,要使A为单元集,则 ? ? 0,即a ? 1 综上所述,a=0或a=1 变题:若A中至多只有一个元素,求a的取值范围 a=0或a≥1 分析:A中至多只有一个元素,即A是空集或是单元集

x=2或3

6、若方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的 解为元素的集合为M,则M中元素的个数 为( C )

A.1 C.3

B.2 D.4

x=2或-1

7.A={x| ax2+4x+4=0,x∈R,a∈R}中只有一个 元素,求a的值和这个元素. 解:A中只有一个元素,
(1)当a=0时,4x+4=0,x=4

A={-1};
(2)当a 0时, 16-16a=0,a=1 即x2+4x+4=0 ,x=-2 A={-2}.


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