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2015年高考数学模拟预测试卷(新课标)14

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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

2015 年高考数学模拟预测试卷(新课标)
1.已知函数 f ? x ? ? x ? sin ? x ? 3 , 则

? 1 ? f? ?? ? 2015 ?
A. 4029

? 2 ? f? ?? ? 2015 ?

? 3 ? f? ?? ? 2015 ?

? 4029 ? ?f? ? 的值为( ? 2015 ?
C. 8058

) D. ?8058

B. ?4029

x2 y 2 2. 已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的 a b
准线分别交于 A , B 两点,O 为坐标原点,若双曲线 C 的离心率为 2,?AOB 的面积为

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

3 ,则 ?AOB 的内切圆半径为(
A. 3 ? 1 B. 3 ? 1

) C. 2 3 ? 3 D. 2 3 ? 3

x 3.已知函数 f ( x) ?| log a x | ?( ) ( a ? 0 且 a ? 1) 有两个零点 x1 、 x2 ,则有( )

1 2

(A) 0 ? x1x2 ? 1 不确定 4.已知 F 是双曲线

(B) x1x2 ? 1

(C) x1x2 ? 1

(D) x1x2 的范围

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点,E 是该双曲线的右顶点,过点 F

且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点,若△ABE 是锐角三角形,则该双曲线的 离心率 e 的取值范围为 ( ) A.(1,+∞) B.(1,2) C.(1,1+ 2 ) D.(2,1+ 2 )

x2 y2 y 2 x2 5.已知 a>b>0 ,椭圆 C1 的方程为 2 ? 2 =1 ,双曲线 C2 的方程为 2 ? 2 ? 1 ,C1 a b a b
与 C2 的离心率之积为 AA . . x ? 2y ? 0

3 ,则 C2 的渐近线方程为 2
BB . . 2x ? y ? 0 C . C . x ? 2y ? 0
2

DD . . 2x ? y ? 0
2

6 .已知 P 是抛物线 y 2 ? 4 x 上的一个动点 , Q 是圆 ? x ? 3? ? ? y ? 1? ? 1 上的一个动 点, N (1,0) 是一个定点,则 PQ ? PN 的最小值为( A.3 B.4 C.5 ) D. 2 ? 1

7.如图,椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上, A1 , A2 , B1 , B2 为椭圆顶点, F2 为右 焦点,延长 B1F2 与 A2 B2 交于点 P ,若 ?B1PA2 为钝角,则该椭圆离心率的取值范围是
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) y

B2

A1 F1 B1

F2

A2

(A) ?

? 5?2 ? ? 2 ,0? ? ? ? 5 ?1 ? ? 2 ? ?

(B) ? 0,

? ? ?

5?2? ? 2 ? ?

(C) ? 0,

(D) ?

xf ?( x) ? f ( x) ?0 8. 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, f (1) ? 0 , 当 x ? 0 时, 有 2 x
成立,则不等式 f ( x) ? 0 的解集是 A.(?1,0)

(1, ??)

B.(?1, 0)

C.(1, ??)

D.(??, ?1)

(1, ??)

9 . 已 知 函 数 y ? f ( x) 是 定 义 域 为 R 的 偶 函 数 .

当 x?0 时 ,

? ?5 s i n x ( )? x ? ( 0 1) ? ?4 2 f ( x) ? ? 若关于 x 的方程 [ f ( x)]2 ? af ( x) ? b ? 0 ( a, b ? R ) , ?( 1 ) x ? 1 ( x ? 1) ? ? 4
有且仅有 6 个不同实数根,则实数 a 的取值范围是( ) D. ( ?

5 9 A. ( ? , ? ) 2 4
2

9 B. ( ? , ?1) 4

5 9 9 C. ( ? , ? ) ( ? , ?1) 2 4 4

5 , ?1) 2

10.抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l , A, B 是抛物线上的两个动点,且

| MN | 满足 ?AFB ? 2? .设线段 AB 的中点 M 在 l 上的投影为 N ,则 的最大值是 | AB | 3
A. 3 B. 3 2 C. 3 3 D. 3 4

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? ? ?

? 5 ?1 ? ? 2 ,1 ? ? ? ?

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第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题(题型注释)
2 2 11. 数列 ?an ? 的通项 an ? n (cos

n? n? ? sin 2 ), 其前 n 项和为 Sn , 则 S30 为_______. 3 3

12 .如图,一个几何体的三视图是三个直角三角形,则该几何体的外接球的表面积 为 . 3 4 主视图 2 左视图

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

俯视图

13. (本题满分 15 分)
2 2S n 数列 {an } 首项 a1 ? 1 ,前 n 项和 S n 与 an 之间满足 an ? (n ? 2) . 2S n ? 1

(Ⅰ)求证:数列 ?

?1? ? 是等差数列; S n ? ?

(Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅲ)设存在正数 k ,使 (1 ? S1 )(1 ? S 2 )?(1 ? S n ) ? k 2n ? 1 对 ?n ? N ? 都成立, 求 k 的最大值. 14.已知函数 f ( x) 的定义域为[ ?1,5 ],部分对应值如下表:
x
f ( x)

?1 1

0 2

4 2

5 1

f ( x) 的导函数 y ? f ' ( x) 的图象如图所示,

下列关于 f ( x) 的命题:①函数 f ( x) 是周期函数;②函数 f ( x) 在[0,2]上是减 函数;③如果当 x ? [?1, t ] 时, f ( x) 的最大值是 2,那么 t 的 最大值是 4;④当 1 ? a ? 2 时,函数 y ? f ( x) ? a 有 4 个零点;

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⑤函数

y ? f ( x) ? a

的 零 点 个 数可 能为 0 , 1 , 2 , 3 , 4 。其中 正 确 命题 的 序号 是

_____________(写出所有正确命题的序号). 15. 设 ?a n ?是等比数列, 公比 q ? 记 Tn ? Sn 为 ?an ?的前 n 项和。 2,

17S n ? S 2 n ,n? N* , an ?1

设 Tn0 为数列 ?Tn ?的最大项,则 n 0 =_______. 16.我们把离心率 e ?

x2 y2 5 ?1 的双曲线 2 ? 2 ? 1?a ? 0, b ? 0? 称为黄金双曲线. 如图 a b 2

①双曲线 x ?
2

2 y2 ? 1是黄金双曲线; 5 ?1

②若 b 2 ? ac ,则该双曲线是黄金双曲线;

b) A1 , A2 为左右顶点, B1 B2 ③若 F1 , F2 为左右焦点, (0, , (0, ﹣b ) 且 ?F1B1 A2 ? 900 ,
则该双曲线是黄金双曲线; ④若 MN 经过右焦点 F2 且 MN ? F1F2 , ?MON ? 90 ,则该双曲线是黄金双曲线.
0

其中正确命题的序号为 _________ .

17. 设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 且当 x ? 0时, f ( x) ? x , 若对任意的 x ? [t , t ? 2] ,
2

不等式 f ( x ? t ) ? 2 f ( x) 恒成立,则实数 t 的取值范围是



18.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F,由 F 向其渐近线引垂线,垂 a2 b2


足为 P,若线段 PF 的中点在此双曲线上,则此双曲线的离心率为 评卷人 得分 三、解答题(题型注释)

19. 已知椭圆 C :

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率是 , 其左、 右顶点分别为 A1 、A2 , 2 2 a b
试卷第 4 页,总 6 页

※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

x2 y 2 2 2 是双曲线 2 ? 2 ? 1 a ? 0, b ? 0, c ? a ? b 的图象,给出以下几个说法: a b

?

?

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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

B 为短轴的一个端点, ?A1BA2 的面积为 2 3 .
(1)求椭圆 C 的方程; (2)直线 l : x ? 2 2 与 x 轴交于 D , P 是椭圆 C 上异于 A1 、 A2 的动点,直线 A 1P 、

A2 P 分别交直线 l 于 E 、 F 两点,求证: | DE | ? | DF | 为定值.
20.某市为了了解“陕西分类招生考试”宣传情况,从 A, B, C , D 四所中学的学生当中 随机抽取 50 名学生参加问卷调查,已知 A, B, C , D 四所中学各抽取的学生人数分别为 15,20,10,5. (Ⅰ) 从参加问卷调查的 50 名学生中随机抽取两名学生,求这两名学生来自同一所中学 的概率; (Ⅱ)在参加问卷调查的 50 名学生中,从来自 A, C 两所中学的学生当中随机抽取两名 学生,用 ? 表示抽得 A 中学的学生人数,求 ? 的分布列及期望值. 21. (本小题满分 12 分)心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小 组为了验证这个结论,从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取 50 名同学(男 30 女 20) , 给所有同学几何题和代数题各一题,让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如 下表: (单位:人) 几何题 男同学 女同学 总计 22 8 30 代数题 8 12 20 总计 30 20 50

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

(1)能否据此判断有 97.5% 的把握认为视觉和空间能力与性别有关? (2)经过多次测试后,甲每次解答一道几何题所用的时间在 5~7 分钟,乙每次解答一 道几何题所用的时 间在 6~8 分钟,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率. (3)现从选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究, 记甲、乙两女生被抽到的人数为 X ,求 X 的分布列及数学期望 EX . 下面临界值表仅供参考:
P( K 2 ? k )

0.15 2.07 2

0.10 2.70 6

0.05 3.84 1

0.02 5 5.02 4

0.01 0 6.63 5

0.00 5 7.87 9

0.001 10.82 8

k0

K2 ?

n(ad ? bc)2 . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

22. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? e ?
x

( x ? 1) 2 ?x , g ( x) ? 2ln( x ? 1) ? e . 2

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(Ⅰ) x ? (?1, ??) 时,证明: f ( x) ? 0 ; (Ⅱ) a ? 0 ,若 g ( x) ? ax ? 1 ,求 a 的取值范围. 23. (本小题满分 12 分)在△ ABC 中,A、B、C 为三个内角,f(B)=4cos B· sin2 ? + 3 cos 2B-2cos B. (1)若 f(B)=2,求角 B; (2)若 f(B)-m>2 恒成立,求实数 m 的取值范围. 24. 在 ?ABC 中,角 (1)求角
C
A, B, C

?? B ? ? ? ?4 2?

所对的边分别为

a , b, c

,且 a 2 ? b2 ? c2 ? 3ab .

?ABC

c ?1

25.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 (1)求

cosA ? 3cosC 3c ? a = . b cos B

sin C 的值; sin A

(2)若 B 为钝角,b=10,求 a 的取值范围.

试卷第 6 页,总 6 页

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的值; (2)若

为锐角三角形,且

,求 3a ? b 的取值范围.

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参考答案 1.D 【解析】 试













f ? x ? ? f ? 2 ? x ? ? x ? sin ? x ? 3 ? 2 ? x ? sin ? ?? ? 2 ? x ? ? ? ? 3 ? sin ? x ? sin ? 2? ? ? x ? ? 4

? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? sin ? x ? sin ? ?? x ? ? 4 ? ?4 ,所以 f ? ?? f ? ?? f ? ?? ? 2015 ? ? 2015 ? ? 2015 ?

? 4029 ? ?f? ? ? 2015 ?

?

4029 ? ? 1 ? ?? f ? ?? 2 ? ? 2015 ?

? 4029 ? ? 4029 f? ? ? ?4? ? ?8058 ,故选 D. ?? ? 2 ? 2015 ? ?

考点:1、函数值;2、推理与证明. 2. C 【解析】

b ? y?? x ? c a ?b b b ? a 试 题 分析 :由 e ? ? , 求得 ? 1 ? ( )2 ? 2 , 可 得 ? 3 .由 ? 2 a a a a ?x ? ? p ? 2 ?
2 2

A(?

p bp p bp 1 bp p b 2 , ), B(? , ? ) , ? ? 3. 所以 S△ AOB ? ? 将 ? 3 代入, 得 p ?4, 2 2a 2 2a 2 a 2 a

解得 p ? 2 .所以 A(?1, 3) , B(?1, ? 3) ,则 △ AOB 的三边分别为 2 , 2 , 2 3 ,设

1 △ AOB 的内切圆半径为 r ,由 (2 ? 2 ? 2 3) r ? 3 ,解得 r ? 2 3 ? 3.故选 C . 2
考点:双曲线、抛物线和圆的性质. 3.A 【解析】

?1? 试题分析:由题意可知,当 a>1 时,∵ f ? x ? ? log a x ? ? ? 有两个零点 x1 , x2 ,即 ? 2? ?1? ?1? 由题意 x>0, 分别画 y ? ? ? 和 y ? loga x y ? loga x 与 y ? ? ? 的图象有两个交点, ?2? ?2?
的图象,发现在(0,1)和(1,+∞)有两个交点.
x x

x

答案第 1 页,总 15 页

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不妨设 x1 在(0,1)里, x2 在(1,+∞)里, 那么在(0,1)上有 2? x1 ? ? log a x1 即 ?2? x1 ? loga x1 在(1,+∞)有 2? x2 ? loga x2 ② ①

①、②相加有 2? x2 ? 2? x1 ? loga x1 x2 ∵ x2 > x1 ,∴- x2 ><- x1 ,∴ 2 ∴ log a x1 x2
? x2

2? x1 ,即 2? x2 ? 2? x1

0

0 ,∴0< x1x2 <1,

同理当 0<a<1 时,也可得 0< x1 x2 <1, 故选 A 考点:本题考查函数的零点 点评:解决本题的关键是把函数的零点转化为两个图象的交点问题,画出两个函数的图象 4.B 【解析】 试题分析:由 AB⊥x 轴,可知△ABE 为等腰三角形,又△ABE 是锐角三角形,所以∠AEB 为 锐 角 , 即 ∠ AEF<45 ° , 于 是 |AF|<|EF| ,

b2 ? a ? c , 可 得 c2 ? a 2 ? a 2 ? ac , 即 a

e2 ? e ? 2

0 ,解得-1<e<2,又双曲线的离心率大于 1,从而 1<e<2,故选 B。

考点:本题考查双曲线的几何性质 点评:解决本题的关键是利用双曲线的对称性,得出∠AEF<45° 5.B 【解析】

c c ?b? ?b? 试题分析: 椭圆的离心率为 e1 ? ? 1 ? ? ? , 双曲线的离心率为 e2 ? ? 1 ? ? ? , a a ?a? ?a?
由 题 意 e1 ? e2 ?

2

2

3 b 2 3 ?b? , 所 以 1? ? ? ? , 所 以 ? , 所 以 C2 的 渐 近 线 方 程 为 2 a 2 4 ?a?
答案第 2 页,总 15 页

4

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y??

a x ? ? 2x . b

考点:椭圆、双曲线离心率及渐近线. 6.A 【解析】 试题分析: N 恰好为抛物线的焦点, PN 等于 P 到准线的距离,要想 PQ ? PN 最小,过 圆心 (3,1) 作抛物线 y ? 4 x 的准线 x ? ?1 的垂线交抛物线于点 P ,交圆于 Q ,最小值等于
2

圆心 (3,1) 到准线 x ? ?1 的距离减去半径 4-1= 3 . 考点:1.抛物线的定义;2.圆中的最值问题; 7.D. 【解析】 试 题 分 析 : 由 题 意 , 得 F2 B1 , B2 A2 为 钝 角 ; F2 B1 ? (?c,?b) , B2 A2 ? (a,?b) , 则

? ac ? b 2 ? 0 , 即 a 2 ? ac ? c 2 ? 0 , 即 e2 ? e ?1 ? 0 , 解得 e ?
考点:椭圆的性质. 8.A 【解析】 试题分析:由当 x ? 0 时,有

5 ?1 5 ?1 , 即 ? e ? 1. 2 2

x f ?( x) ? f ( x) f ( x) ? 0 成 立 , 知 函 数 F ( x) ? 的导函数 2 x x

f ( x) (0,??) xf ?( x) ? f ( x) ? 0 在 (0,??) 上恒成立 , 所以函数 F ( x) ? 在 上是增 2 x x f ( x) 函数,又因为函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,所以函数 F ( x) ? 是定义域上的偶函数, x f ( x) 且 由 f (1) ? 0 得 F (1) ? F (?1) ? 0 , 由 此 可 得 函 数 F ( x) ? 的大致图象 x

F ?( x) ?

为: 由图可知不等式

f ( x) ? 0 的解集是 (?1,0) (1, ??) .故选 A.
答案第 3 页,总 15 页

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考点:1.函数导数的求导法则;2.函数的奇偶性;3. 利用函数的单调性解不等式. 9.C 【解析】

? ?5 sin( x) (0 ? x ? 1) ? ?4 2 试题分析:作出 f ( x) ? ? 的图象如下, ?( 1 ) x ? 1 ( x ? 1) ? ? 4

又∵函数 y=f(x)是定义域为 R 的偶函数, 且关于 x 的方程 [ f ( x)]2 ? af ( x) ? b ? 0 ,a,b∈R 有且仅有 6 个不同实数根, ∴x +ax+b=0 的两根分别为 x1 ?
2

5 5 5 ,1 ? x 2 ? 或 0 ? x1 ? 1,1 ? x 2 ? ; 4 4 4

由韦达定理可得 x1 ? x2 ? ?a ,

5 5 9 5 5 9 ,1 ? x 2 ? ,则 ? ?a ? ,即 ? ? a ? ? ; 4 4 4 2 2 4 9 5 9 若 0 ? x1 ? 1,1 ? x 2 ? ,则 1 ? ? a ? ,即 ? ? a ? ?1 ; 4 4 4 5 9 9 从而可知 ? ? a ? ? 或 ? ? a ? ?1 ; 2 4 4
若 x1 ? 故选 C. 考点:根的存在性及根的个数判断. 10.C 【解析】 试题分析: 过 A 作 AG ? l ,G 为垂足; 过 B 作 BE ? l ,E 为垂足; 由抛物线的定义知:

GA ? AF , BE ? BF , MN / / AG / / BE ,
因为 M 是 AB 的中点,所以 MN 是梯形 ABEG 的中位线, 所以 | MN |?

1 1 ?| AG | ? | BE |? ? ?| AF | ? | BF |? 2 2
弦 定 理 :





| AB |? | AF |2 ? | BF |2 ?2 | AF | ? | BF | cos
答案第 4 页,总 15 页

2? 3

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=

AF 2 ? BF 2 ? AF ? BF

2 1 2 AF ? BF ? ? ? | MN | ? 4 所以, ? ? ? 2 2 | AB | AF ? BF ? AF BF ? ?

? ? ? ? ? 1 AF ? BF 1 1? ?1 ? ? ? 1 ?1 ? 1 ? ? 1 ? ? ?1 ? ? ? 2 2 ? 4? AF BF 4? 4? ? 2 ?1 ? 3 AF ? BF ? AF BF ? ? ? ? ?1 ? ? BF AF ? ?
当且仅当 AF = BF 时等号成立.

所以,

| MN | 3 ,故选 C. ? | AB | 3

考点:1、抛物线的定义和标准方程;2、基本不等式. 11.470 【解析】 试 题 分 析 : 依 题 意 可 得

an ? n 2 c

2n? o s , 3



以 以 即 即
2 2

a1 ?

1 12 1 ? 1 ,? a2 ? 2? a3 ,2 ? a 34 ?, 2 ?. 4? , ?所 . . 2 2 2 1 1 1 1 1 2 S30 ? ? ? ? 22 ? 3 ? ? 4 ?2 ? 5 ? 6 ? ? 7 2 ? ??? . 2 2 2 2 2 1 3 S30 ? ? (1 ? 22 ? 32 ? 42 ? 52 ? 62 ? 7 2 ? ??? ? 302 ) ? (32 ? 62 ? ??? ? 302 ) 2 2 1 30 ? 31? 61 3 2 10 ?11? 21 S30 ? ? ? ? ?3 ? ? 470 .故填 470. 2 6 2 6

.

考点:1.三角函数二倍角公式.2.数列的求和.3.归纳递推的思想. 12.29 ?
答案第 5 页,总 15 页

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【解析】 试题分析:由三视图可知,该几何体是一个三棱锥如下图所示三棱锥 D1 ? ACD , 其中

AD ? CD, AD ? DD1 , DD1 ? CD , 且 AD ? 2, DD1 ? 3, CD ? 4 , 将三棱锥还原成长方
体 ABCD ? A1B1C1D1 ,则三棱锥 D1 ? ACD 的外接球也是长方体 ABCD ? A1B1C1D1 的外 接球, 其直径 2R ? 22 ? 32 ? 42 ? 29 ,所以外接球的表面积为 S ? 4? R2 ? 29? ,所以 答案应填: 29? .

考点:1、空间几何体的结构;2、三视图;3、空间几何体的表面积. 13. (Ⅰ)因为 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1

? Sn ? Sn?1 ?

2Sn 2 得 Sn?1 ? Sn ? 2Sn ? Sn?1 2Sn ? 1

由题意 Sn ? 0 (n ? 2) ?

1 1 ? ? 2 ? n ? 2? Sn Sn ?1

又 S1 ? a1 ? 1

?1? 1 ? ? ? 是以 ? 1 为首项, 2 为公差的等差数列. S1 ? Sn ?

?1, n ? 1 2 3 ? (Ⅱ) a n ? ? . , n ? 2 (Ⅲ) k 的最大值是 2 ? 3 ? (2n ? 1)(2n ? 3) ? ;
【解析】 试题分析: (Ⅰ)将已知 an ?
2 2S n (n ? 2) 直接代入公式 an ? S n ? S n?1 (n ? 2) 中,即可 2S n ? 1

得到 Sn?1 ? Sn ? 2Sn ? Sn?1 ,两边同除以 S n ? S n?1 即可得出结论; (Ⅱ)由(Ⅰ)可求出

Sn ?

1 ,运用公式 an ? S n ? S n?1 (n ? 2) 即可求出数列 {an } 的通项公式; ( Ⅲ ) 记 2n ? 1
答案第 6 页,总 15 页

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F (n) ?

?1 ? S1 ??1 ? S2 ? ?1 ? Sn ? , 根 据 数 列 的 单 调 性 判 断 其 为 单 调 递 增 的 , 所 以 使 得
2n ? 1

F (n) ? k 恒成立,只需满足 k ? F (n)min 即可. 而由 Fn 的单调性知, ?Fn ?min ? F (1) ,即可
求出 k 的最大值. 试 题 解 析 :( Ⅰ ) 因 为 n ? 2 时 , an ? Sn ? Sn?1 ? Sn ? Sn?1 ?

2Sn 2 得 2Sn ? 1

Sn?1 ? Sn ? 2Sn ? Sn?1
由题意 Sn ? 0 (n ? 2) ?

1 1 ? ? 2 ? n ? 2? Sn Sn ?1

又因为 S1 ? a1 ? 1

?1? 1 ? ? ? 是以 ? 1 为首项, 2 为公差的等差数列. S1 ? Sn ?
1 1 ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 ? S n ? ?n ? N ? ? 2n ? 1 Sn
1 1 2 ? ?? 2n ? 1 2(n ? 1) ? 1 (2n ? 1)(2n ? 3)

(Ⅱ)由(Ⅰ)有

? n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ?
又 a1 ? S1 ? 1

(n ? 1) ?1 ? ? an ? ? 2 ?? (2n ? 1)(2n ? 3) (n ? 2) ?

(Ⅲ) 设 F (n) ?

?1 ? S1 ??1 ? S2 ? ?1 ? Sn ?
2n ? 1



F (n ? 1) (1 ? Sn?1 ) 2n ? 1 2n ? 2 4n 2 ? 8n ? 4 ? ? ? ?1 F ( n) 2n ? 3 2n ? 1 2 n ? 3 4n2 ? 8n ? 3
故使 F (n) ? k 恒成立,只需 k ? F (n)min . 又k ? 0

? F (n) 在 n ? N ? 上递增
又 F (n)min ? F (1) ?

2 3 3

? 0?k ?

2 3 , 3

所以, k 的最大值是

2 3 . 3

考点:等差数列;数列的单调性. 14.②⑤ 【解析】 试题分析:对①,由于在区间[ ?1,5 ]之外函数 f ( x) 无意义,故不是周期函数;

答案第 7 页,总 15 页

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对②,由导数可知,函数 f ( x) 在[0,2]上是减函数,正确; 对③,根据对应值表知,函数 f ( x) 在区间[ ?1,5 ]上的最大值是 2.如果当 x ? [?1, t ] 时, f ( x) 的最大值是 2,那么 t 可以是 5,故错; 对④,表中没有给出 f (2) 的值,故当 1 ? a ? 2 时,函数 y ? f ( x) ? a 的零点的个数不确定. 故错. 对⑤,结合图形可知,正确. 考点:1、导数的应用;2、函数的图象;3、函数的零点;4、函数的最值. 15. 4 【解析】试题分析:设 等 比 数 列 的 首 项 为 a1 , 则 an ? a1 ( 2 ) , Sn ?
n?1

a1[1 ? ( 2)n ] , 1? 2

所以 Tn=

17 Sn ? S2 n an?1

a1[1 ? ( 2 )n ] a1[1 ? ( 2 ) 2 n ] ? 1 16 1 ? 2 1? 2 ? 17 ? [( 2 )n ? ? 17] , n a1 ( 2) 1? 2 ( 2 )n

因为 ( 2 )n ?

16 16 ,即 n ? 4 时取等号,故当 n0 ? 4 ,Tn0 ? 8 ,当且仅当 ( 2 )n ? n ( 2) ( 2 )n

最大. 考点:1.等比数列的求和;2.数列的求和;3.基本不等式. 16.①②③④ 【解析】 试 题 分 析 : 对 于 ① , a 2 ? 1, b 2 ?
2

5 ?1 5 ?3 , 则 c2 ? a 2 ? b2 ? , 2 2

c2 5 ? 3 ? 5 ?1? ? , ? e ? 5 ? 1 , 所 以 双 曲 线是 黄 金双 曲 线 ; 对 于 ②, e ? 2 ? ?? ? ? a 2 2 ? 2 ?
2

b 2 ? c 2 ? a 2 ? ac ,整理得 e 2 ? e ? 1 ? 0
解 得
2

e?
2

1? 5 2

, 所 以 双 曲 线 是 黄 金 双 曲 线 ; 对 于 ③
2 2 2

F1B1 ? c ? b2 , B1 A2 ? b2 ? a2 , F1 A2 ? ?a ? c?















2 2 整理得 b ? ac 由②可知 e ? c2 ? b2 ? b2 ? a2 ? ?a ? c? ,

1? 5 所以双曲线是黄金双曲线; 2

c2 y2 b2 b2 对于④由于 F2 ?c,0? , 把 x ? c 代入双曲线方程得 2 ? 2 ? 1 , 解得 y ? ? ,NF2 ? , a a a b
由对称关系知 ?ONF2 为等腰直角三角形,? c ?

b2 1? 5 2 ,即 b ? ac ,由①可知 e ? 所 a 2

答案第 8 页,总 15 页

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以双曲线是黄金双曲线. 考点:双曲线的综合应用. 17. [ 2 ,??) . 【解析】 试题分析:∵ f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且 当 x ? 0 时 , f ( x) ? x 2 ∴ 当 x < 0 , 有 -x > 0 , f (? x) ? (? x) 2 , ∴ ? f ( x) ? x 2 , 即 f ( x) ? ? x 2 , ∴ f ( x) ? ?

? x 2 , ( x ? 0) , ∴ f ( x) 在 R 上 是 单 调 递 增 函 数 , 2 ?? x , ( x ? 0)

且 满 足 2 f ( x) ? f ( 2x) , ∵ 不 等 式 f ( x ? t ) ? 2 f ( x) ? f ( 2x) 在 [t , t+2] 恒 成 立 , ∴ x+t ?

2 x 在 [t , t+2] 恒 成 立 ,

解 得 x ? (1 ? 2 )t 在 [t , t+2] 恒 成 立 , ∴ t ? 2 ? (1 ? 2 )t 解得: t ?

2 , 则 实 数 t 的 取 值 范 围 是 : [ 2 ,?? ) .

考点:1.函 数 的 奇 偶 性 ; 2 . 函 数 恒 成 立 问 题 . 18. 2 【解析】 试题分析:F(c,0) ,双曲线一条渐近线方程为 y ? 程为 y ? ?

b x ,则过 F 与该渐近线垂直的直线方 a

a 2 ab a 2 ? c 2 ab a ( x ? c ) ,联立解得 P( , ),所以 PF 的中点( , ) ,代入双曲 c 2c b c 2c
c = 2 ,所以双曲线的离心率为 2 . a

线方程求得

考点:双曲线的性质,两直线的位置关系

x2 y 2 ? ?1 ; 19. (1) (2)3 4 3
【解析】

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?c 1 ?a ? 2 ? ?1 试题分析: (1)由已知得 ? ? 2 a ? b ? 2 3 ,解得 a ? 2, b ? 3 , ?2 ?a 2 ? b2 ? c 2 ? ?
故所求椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 . 4 3

4分

(2)由(1)可知, A 1 (?2,0), A 2 (2,0), 设 P( x0 , y0 ) ,依题意 ?2 ? x0 ? 2 ,于是直线 A 1P 的 方程为

y?


y0 y0 (2 2 ? 2) y0 , 所以 DE ? (2 2 ? 2) . ( x ? 2) .令 x ? 2 2 ,则 y ? x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 2
y0 (2 2 ? 2) y0 , ( x ? 2) ,令 x ? 2 2 ,则 y ? x0 ? 2 x0 ? 2
. 9分
2 y0 y0 4 y2 4 y0 ? (2 2 ? 2) ? 2 0 ? , 2 x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 4 4 ? x0

7

又直线 A2 P 的方程为 y ?

即 DF ? (2 2 ? 2)

y0 x0 ? 2

所以 DE ? DF ? (2 2 ? 2)

又 P( x0 , y0 ) 在

x2 y 2 2 2 2 2 ? ? 1 上,所以 3x0 , ? 4 y0 ? 12 ,即 4 y0 ? 12 ? 3x0 4 3
2 3(4 ? x0 ) ? 3 ,所以 DE ? DF 为定值 3. 2 4 ? x0

11 分

代入上式,得 DE ? DF ?

12 分

考点:考点椭圆的标准方程,椭圆的几何性质, 点评: 解决本题的关键是设 P( x0 , y0 ) , 求出 DE , DF , 利用点 P 在椭圆上, 得出 x0 , y0 之 间的关系 20. (Ⅰ) P ? 【解析】
2 试题分析: (Ⅰ)从 50 名学生中随机抽取两名学生的取法共有 C50 ? 1225 种,来自同一所中 2 2 2 2 学的取法共有 C15 ? C20 ? C10 ? C5 ? 350 ,故根据古典概型的概率计算公式可得从 50 名学

6 350 2 ? ; (Ⅱ) 5 1225 7

答案第 10 页,总 15 页

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生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为 P ?

350 2 ? ; (Ⅱ)由题意 ? 服从超几何 1225 7

分布, 因为 50 名学生中,来自 A, C 两所中学的学生人数分别为 15,10 .依题意得, ? 的可能取
2 1 1 C10 C15 C10 3 1 值为 0,1, 2 , P(? ? 0) ? 2 ? , P(? ? 1) ? ? , 2 C25 20 C25 2 2 C15 6 7 ,从而求出期望为 ? 2 5 C25 20

P(? ? 2) ?

2 试题解析: (Ⅰ)从 50 名学生中随机抽取两名学生的取法共有 C50 ? 1225 种, 2 2 2 2 来自同一所中学的取法共有 C15 ? C20 ? C10 ? C5 ? 350

∴从 50 名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为 P ?

350 2 ? . 1225 7

(Ⅱ)因为 50 名学生中,来自 A, C 两所中学的学生人数分别为 15,10 . 依题意得, ? 的可能取值为 0,1, 2 ,

P(? ? 0) ?

2 1 1 2 C10 C15 C10 C15 3 1 7 , , ? P ( ? ? 1) ? ? P ( ? ? 2) ? ? 2 2 2 C25 20 C25 2 C25 20

∴ ? 的分布列为:

3 20

? 的期望值为 E? ? 0 ?

3 1 7 6 ? 1? ? 2 ? ? 20 2 20 5

12 分

考点:概率与统计 21. (1)有 97.5% 的把握认为视觉和空间能力与性别有关; (2)

1 ; 8
0
15 28

(3) X 的分布列为:

X
P

1
12 28

2
1 28

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EX ? 0 ?

15 12 1 1 +1? +2 ? ? . 28 28 28 2

【解析】 试题分析: (1)根据所给的列联表得到求观测值所用的数据,把数据代入观测值公式中,做 出观测值,同所给的临界值表进行比较,得到所求的值所处的位置,得到结论; (2)利用面积比,求出乙比甲先解答完的概率; (3)确定 X 的可能值有 0 , 1, 2 ,依次求出相应的概率求分布列,再求期望即可. 试 题 解 析 : ( 1 ) 由 表 中 数 据 得 K2 的 观 测 值

50 ? ? 22 ?12 ? 8 ? 8? 50 K ? ? ? 5.556 ? 5.024 , 2 分 30 ? 20 ? 30 ? 20 9
2 2

∴根据统计有 97.5% 的把握认为视觉和空间能力与性别有关; 3 分(2)设甲、乙解答一 道几何题的时间分别为 x , y 分钟,则基本事件满足的区域为 ? 分 设事件 A 为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为 x ? y , 5分

?5 ? x ? 7 (如图所示) , 4 ?6 ? y ? 8

1 ? 1? 1 1 1 ∴由几何概型 P( A) ? 2 ? ,即乙比甲先解答完的概率为 ; 7 分(3)由题可知 2? 2 8 8
在选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人,抽取方法有 C82 ? 28 种,其中甲、乙两人没有 一个人被抽到有 C62 ? 15 种, 恰有一人被抽到有 C21 ? C61 =12 种; 两人都被抽到有 C2 2 ? 1 种, 8分 ∴ X 可能取值为 0,1, 2 , P ( X ? 0) ?

15 12 3 1 ? , P( X ? 2) ? , P ( X ? 1) ? 28 28 7 28

X 的分布列为: 1 X 0
P
15 28 12 28

2
1 28

∴ EX ? 0 ?
y

15 12 1 1 +1? +2 ? ? . . 12 分 28 28 28 2

1 O 1

x

考点:1.独立性检验的应用;2.离散型随机变量及其分布. 22. (1)证明详见解析; (2) a ? 1 .
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【解析】 试题分析:本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值 和极值等基础知识,意在考查考生的分析问题解决问题的能力、转化能力、运算求解能力. 第一问,对 f ( x ) 求导,再构造函数 P( x) ? f ' ( x) 进行二次求导,通过对 P ( x) 的分析,得 到 P ( x) 的最小值,从而得到 f ' ( x) ? 0 ,判断得出 f ( x ) 在 (?1, ??) 内单调递增,从而求出 最小值;第二问,构造 h( x) ? g ( x) ? (ax ? 1) ,对 h( x) 求导,需构造函数 q( x) 进行二次求 导,结合第一问的结论,可得 q( x) 在 (?1, ??) 单调递减,然后对 a ? 1 、a ? 1 、0 ? a ? 1 进 行讨论,证明 h( x) 的最大值小于等于 0 即可. 试题解析: (Ⅰ)令 p(x)=f (x)=e -x-1,p(x)=e -1, 在(-1,0)内,p(x)<0,p(x)单减;在(0,+∞)内,p(x) >0,p(x)单增. 所以 p(x)的最小值为 p(0)=0,即 f (x)≥0, 所以 f (x)在(-1,+∞)内单调递增,即 f (x)>f ( -1)>0. 4分 (Ⅱ)令 h(x)=g(x)-(ax+1),则 h(x)=
x x

2 -x -e -a, x ?1

令 q(x)=

2 2 1 -x -e -a,q(x)= x - . x ?1 e ( x ? 1) 2

由 (Ⅰ)得 q(x)<0,则 q(x)在(-1,+∞)上单调递减. 6分 (1)当 a=1 时,q(0)=h(0)=0 且 h(0)=0. 在(-1,0)上 h(x)>0,h(x)单调递增,在(0,+∞)上 h'(x)<0,h(x)单调递减, 所以 h(x)的最大值为 h(0),即 h( x)≤0 恒成立. 7分 (2)当 a>1 时,h(0)<0, x∈(-1,0)时,h(x)= 即 x∈(

2 2 1? a -x -e -a< -1-a=0,解得 x= ∈(-1,0). x ?1 x ?1 a ?1

1? a ,0)时 h(x)<0,h(x)单调递减, a ?1
9分

又 h(0)=0,所以此时 h(x)>0,与 h( x)≤0 恒成立矛盾. (3)当 0<a<1 时,h(0)>0, x∈(0,+∞)时,h(x)= 即 x∈(0,

2 2 1? a -x -e -a> -1-a=0,解得 x= ∈(0,+∞). x ?1 x ?1 a ?1

1? a )时 h(x)>0,h(x)单调递增, a ?1

又 h(0)=0,所以此时 h(x)>0,与 h( x)≤0 恒成立矛盾. 11 分 综上,a 的取值为 1. 12 分 考点:导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值和极值. 23. (1) B= 【解析】

?
12

; (2) m ? ?4

答案第 13 页,总 15 页

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?? ? 1 ? cos ? ? B ? ?2 ? ? 3cos 2B-2cos B 化简整理可得 试题分析:(1) f(B)=4cos B ? 2

? ? 7? ? ?? ?? ? ? ,即可得到 B= . f(B)=2sin ? 2 B ? ? . 从而 2sin ? 2 B ? ? =2 根据 ? 2 B ? ? 3 3 3 12 3? 3? ? ?
(2)转化成 2sin ? 2 B ?

? ?

??

? >2+m 恒成立. 3?

由 2sin ? 2 B ?

? ?

??

? ?[-2,2] ,得到 2+m<-2, m ? ?4 . 3?

?? ? 1 ? cos ? ? B ? ?2 ? ? 3cos 2B-2cos B 试题解析:(1) f(B)=4cos B ? 2

=2cos B(1 +sin B)+ 3cos 2B-2cos B

= 3分

?? ? 2cos Bsin B+ 3cos 2B=sin 2B+ 3cos 2B=2sin ? 2B ? ? . 3? ?
∵ f(B)=2, ? 2sin ? 2 B ? ∴ ? 2B ?

? ?

??
?

? ? 7? 0<B<? ,∴ ? 2 B ? ? , ? =2 ∵ 3 3 3 3?
. 6分

?

?
3

3

?

?
2

,B=

12

(2) f

? B ?-m>2 恒成立,即 2sin ? ? 2B ?
? ? ?

??

? >2+m 恒成立. 3?

8分

0<B<? ,∴ ∵ 2sin ? 2 B ?

??

2+m<-2, m ? ?4 . ? ?[-2,2] ,∴ 3?

12 分

考点:1.和差倍半的三角函数;2.三角函数的图象和性质;3.转化与化归思想. 24. (1) 【解析】
2 2 2 试题分析: (1) 由余弦定理知 c ? a ? b ? 2abcosC , 把条件代入可得 cos C ?

? ; (2) (1, 3) 。 6
3 ; (2) 2

由 正 弦 定 理 知 3a ? b ? 2 3 sin A ? 2sin B , 由 ( 1 ) 知 A ? B ?

3a ? b ? 2 sin( A ?

?
6

5 ? ,代入上式整理得 6
? ?

) , 又 ?ABC 为锐角三角形,可知 ? A ? ,再结合正弦函数的性

? ?

质求 3a ? b 的取值范围。
答案第 14 页,总 15 页

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试题解析: (1)由 a 2 ? b2 ? c2 ? 3ab ,得 a 2 ? b2 ? c2 ? 3ab ,

3 ? ,由 C ? (0, ?) , C ? 。 ? 2 ?? ?? (2)由(1)得 A ? B ? ,即 B ? ?A, ? ?
所以 2ab cos C ? 3ab ,则 cos C ?
?? ? ? 0? ? A? , ? ? ? ? ? ? 又 ?ABC 为锐角三角形,故 ? 从而 ? A ? . ? ? ? ?0 ? A ? , ? ? ?

由 c ? 1,所以

1 ? sin ?

?

a b ? ,故 a ? 2sin A , b ? 2sin B , sin A sin B

?? ? 所以 3a ? b ? 2 3 sin A ? 2sin B ? 2 3 sin A ? 2sin ? ? A ? ?? ? ?? ? ? ? ? 2 3sin A ? 2sin cos A ? 2cos sin A ? 3 sin A ? cos A ? 2sin ? A ? ? . ?? ? ? ?



1 ?? 3 ? ? ? ? ? ? ,即 3a ? b ? (1, 3) ? A ? ,得 ? A ? ? ,所以 ? sin ? A ? ? ? 。 2 ? 2 ? ? ? ? ? ? ?

考点: (1)正(余)弦定理、三角形内角和定理的应用; (2)两角和与差正(余)弦公式的 应用; (3)正弦函数性质的应用。 25. (1)3 (2)(

5 , 10 ) 2

a b c = = =k, sin A sin B sin C 3c ? a 3k sin C ? k sin A 3sin C ? sin A 则 = = , b k sin B sin B cosA ? 3cosC 3sin C ? sin A 所以 = . cos B sin B
【解析】解:(1)由正弦定理,设 即(cosA-3cosC)sinB=(3sinC-sinA)cosB, 化简可得 sin(A+B)=3sin(B+C). 又 A+B+C=π , 所以 sinC=3sinA,

sin C =3. sin A sin C (2)由 =3 得 c=3a. sin A
因此 由题意 ? 所以

?a ? c ? b
2 2 ?a ? c ? b

,即 ? 2

?a ? c ? 10
2 2 ?a ? c ? 100



5 5 <a< 10 .故 a 的取值范围为( , 10 ). 2 2

答案第 15 页,总 15 页