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空间向量与立体几何单元测试试卷

空间向量与立体几何单元测试
一、选择题:
1.在下列命题中:①若 a 、 b 共线,则 a 、 b 所在的直线平行;②若 a 、 b 所在的直线是异 面直线,则 a 、 b 一定不共面;③若 a 、 b 、 c 三向量两两共面,则 a 、 b 、 c 三向量一定 也共面;④已知三向量 a 、 b 、 c ,则空间任意一个向量 p 总可以唯一表示为
p ? xa ? yb ? zc .其中正确命题的个数为

( C.2

) D.3

A.0

B.1

2.已知 a =(2,-1,3) , b =(-1,4,-2) , c =(7,5,λ ) ,若 a 、 b 、 c 三向量共 面,则实数λ 等于 ( A. )

62 7

B.

63 7

C.

64 7

D.

65 7


3.直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 CA ? a, CB ? b, CC1 ? c , 则 A1 B ? ( A. a + b - c B. a - b + c C.- a + b + c

D.- a + b - c

4.已知 a + b + c = 0 ,| a |=2,| b |=3,| c |= 19 ,则向量 a 与 b 之间的夹角 ? a, b ? 为 A.30° B.45° C.60° D.以上都不对 )

5. 已知△ABC 的三个顶点为 A(3,3,2) ,B(4,-3,7) ,C(0,5,1) ,则 BC 边上的中线长为( A.2 B.3 C.4 D.5 )

6.已知 a ? 3i ? 2 j ? k , b ? i ? j ? 2k , 则5a与3b 的数量积等于( A.-15 B.-5 C.-3 D.-1

7.在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 AB= A.60° B.90°

2 BB1,则 AB1 与 C1B 所成的角的大小为(
C.105° D.75°



8.如图,ABCD—A1B1C1D1 是正方体,B1E1=D1F1= 弦值是( A. ) B.

A1 B1 ,则 BE1 与 DF1 所成角的余 4
D.

15 17

1 2

C.

8 17

3 2


9.如图,A1B1C1—ABC 是直三棱柱,∠BCA=90°,点 D1、F1 分别是 A1B1、A1C1 的中 点,若 BC=CA=CC1,则 BD1 与 AF1 所成角的余弦值是( ) A.

30 10

B.

1 2

C.

30 15

D.

15 10

10.正四棱锥 S ? ABCD 的高 SO ? 2 ,底边长 AB ? 2 ,则异面直线 BD 和 SC 之间的距离 ( ) A.

15 5

B.

5 5

C .

2 5 5

D.

5 10

11. 已知 ABC ? A1 B1C1 是各条棱长均等于 a 的正三棱柱,D 是侧棱 CC1 的中点. 点 C1 到 平面 AB1 D 的距离( ) A.

A1

B1

C1 D

2 a 4

B.

2 a 8 3 3

C.

3 2 a 4 2 3 3

D.

2 a 2
A B

12. 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 则平面 AB1C 与平面 A1C1 D 间的距离 ( )

C

3 6 选择题答题框
A.

B.

C .

D.

3 2

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

二、填空题:
13.在空间直角坐标系 O ? xyz 中,点 P(2,3,4)在平面 xOy 内的射影的坐标为 ; .

14. 设| m |=1, | n |=2, 2 m + n 与 m -3 n 垂直, a =4 m - n , b =7 m +2 n , 则< a , b >=

15.已知棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 B1C1 和 C1D1 的中点,点 A1 到平面 DBEF 的 距离 .

16.已知棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 A1B1 的中点,求直线 AE 与平面 ABC1D1 所成角的正 弦值 .

三、解答题:
17.已知空间三点 A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5) 求:⑴求以向量 AB, AC 为一组邻边的平行四边形的面积 S; ⑵若向量 a 分别与向量 AB, AC 垂直,且|a|= 3 ,求向量 a 的坐标。

18.已知棱长为 1 的正方体 AC1,E、F 分别是 B1C1、C1D 的中点. (1)求证:E、F、D、B 共面; (2)求点 A1 到平面的 BDEF 的距离; (3)求直线 A1D 与平面 BDEF 所成的角.

19.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,点 E 为棱 AB 的中点,求: (Ⅰ)D1E 与平面 BC1D 所成角的大小; (Ⅱ)二面角 D-BC1-C 的大小; (Ⅲ)异面直线 B1D1 与 BC1 之间的距离.

20.如图所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC1F 所截面而得到的,其中

AB ? 4, BC ? 2, CC1 ? 3, BE ? 1. (Ⅰ)求 BF 的长; (Ⅱ)求点 C 到平面 AEC1F 的距离.

21.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PD ? 底面 ABCD , E 是 AB 上 一点, PF ? EC . 已知 PD ?

2 , CD ? 2, AE ?

1 , 2

求(Ⅰ)异面直线 PD 与 EC 的距离; (Ⅱ)二面角 E ? PC ? D 的大小.


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