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2014年江西省南昌市中考数学试卷及答案【题目和答案分开的word解析版】


2014 年江西省南昌市中考数学试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分,每小题只有一个正确选项) 1. (3 分)下列四个数中,最小的数是( ) A B 0 C ﹣2 D 2 ﹣ . . . . 2. (3 分)据相关报道,截止到今年四月,我国已完成 5.78 万个农村教学点的建设任务.5.78 万可用科学记数法表示为( ) 3 A 5.78×10 B 57.8×103 C 0.578×104 D 5.78×104 . . . . 3. (3 分)某市 6 月份某周气温(单位:℃ )为 23、25、28、25、28、31、28,则这组数据的众 数和中位数分别是( ) A.25、25 B.28、28 C.25、28 D.28、31 4. (3 分)下列运算正确的是( ) 2 3 6 2 3 2 2 2 3 5 A.a +a =a B.(﹣2a ) =﹣6a C.(2a+1) (2a﹣1)=2a ﹣1 D. (2a ﹣a )÷a =2a﹣1 5. (3 分)如图,贤贤同学用手工纸制作 一个台灯灯罩,做好后发现上口太小了,于是他把纸灯罩 对齐压扁,剪去上面一截后,正好合适,以下裁剪示意图中,正确的是( )

A.

B.

C.

D.

6. (3 分)小锦和小丽购买了价格分别相同的中性笔和笔芯,小锦买了 20 支笔和 2 盒笔芯,用了 56 元;小丽买了 2 支笔和 3 盒笔芯,仅用了 28 元.设每支中性笔 x 元和每盒笔芯 y 元,根据题意列方 程组正确的是( ) A. B. C. D.

7. (3 分) (2014?南昌)如图,AB∥ DE,AC∥ DF,AC=DF,下列条件中不能判断△ ABC≌ △ DEF 的是 ( )

B=∠ E BC A.AB=DE B.∠ C.EF=BC D.EF∥ 8. (3 分)如图,A、B、C、D 四个点均在⊙ O 上,∠ AOD=70°,AO∥ DC,则∠ B 的度数为(



A.40°

B.45°
2

C.50°
2 2

D.55°

9. (3 分)若 α,β 是方程 x ﹣2x﹣3=0 的两个实数根,则 α +β 的值为( ) A.10 B.9 C.7 D.5 10. (3 分) 如图, △ ABC 中, AB=4, BC=6, ∠ B=60°, 将△ ABC 沿射线 BC 的方向平移, 得到△ A′ B′ C′ , 再将△ A′ B′ C′ 绕点 A′ 逆时针旋转一定角度后,点 B′ 恰好与点 C 重合,则平移的距离和旋转角的度 数分别为( )

A.4,30°

B.2,60°

C.1,30°

D.3,60° ”的图案,如图 2 )

11. (3 分)如图 1,将一个边长为 a 的 正方形纸片剪去两个小矩形,得到一个“

所示,再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形,如图 3 所示,则新矩形的周长可表示为(

A.2a﹣3b

B.4a﹣8b

C.2a﹣4b

D.4a﹣10b
2 2

12. (3 分) (2014?南昌)已知反比例函数 y= 的图象如图,则二次函数 y=2kx ﹣4x+k 的图象大致 为( )

A.

B.

C.

D.

二、填空题(本大题 4 小题,每小题 3 分,共 12 分) 13. (3 分)计算: = . 14. (3 分)不等式组 的解集是 .

15. (3 分)如图,是将菱形 ABCD 以点 O 为中心按顺时针方向分别旋转 90°,180°,270°后形成的 图形.若∠ BAD=60°,AB=2,则图中阴影部分的面积为 .

16. (3 分)在 Rt△ ABC 中,∠ A=90°,有一个锐角为 60°,BC=6.若点 P 在直线 AC 上(不与点 A, C 重合) ,且∠ ABP=30°,则 CP 的长为 . 三、 (本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 17. (6 分) (2014?南昌)计算: ( ﹣ )÷ .

18. (6 分)已知梯形 ABCD,请使用无刻度直尺画图.

(1)在图 1 中画出一个与梯形 ABCD 面积相等,且以 CD 为边的三角形; (2)图 2 中画一个与梯形 ABCD 面积相等,且以 AB 为边的平行四边形.

19. (6 分)有六张完全相同的卡片,分 A,B 两组,每组三张,在 A 组的卡片上分别画上“√,×,×”, 如图 1. (1)若将卡片无标记的一面朝上摆在桌上再分别从两组卡片中随机各抽取一张,求两张卡片上标记 都是“√”的概率. (请用“树形图法”或“列表法“求解) (2)若把 A,B 两组卡片无标记的一面对应粘贴在一起得到三张卡片,其正、反面标记如图 2 所示, 将卡片正面朝上摆在桌上,并用瓶盖盖住标记. ① 若随机揭开其中一个盖子,看到的标记是“√”的概率是多少? ② 若揭开盖子,看到的卡片正面标记是“√”后,猜想它的反面也是“√”,求猜对的概率.

20. (6 分)如图,在平面直角坐标系中,Rt△ PBD 的斜边 PB 落在 y 轴上,tan∠ BPD= .延长 BD 交 x 轴于点 C,过点 D 作 DA⊥ x 轴,垂足为 A,OA=4,OB=3. (1)求点 C 的坐标; (2)若点 D 在反比例函数 y= (k>0)的图象上,求反比例函数的解析式.

四、 (本大题共 3 小题,每小题 8 分,共 24 分) 21. (8 分)某教研机构为了了解在校初中生阅读数学教科书的现状,随机抽取某校部分初中学生进 行了调查,依据相关数据绘制成以下不完整的统计表,请根据图表中的信息解答下列问题: 某校初中生阅读数学教科书情况统计图表 类别 人数 占总人数比例 a 0.3 重视 57 0.38 一般 b c 不重视 9 0.06 说不清楚 (1)求样本容量及表格中 a,b,c 的值,并补全统计图; (2)若该校共有初中生 2300 名,请估计该校“不重视阅读数学教科书”的初中人数; (3)① 根据上面的统计结果,谈谈你对该校初中生阅读数学教科书的现状的看法及建议; ② 如果要了解全省初中生阅读数学教科书的情况,你认为应该如何进行抽样?

22. (8 分)图 1 中的中国结挂件是由四个相同的菱形在顶点处依 次串联而成,每相邻两个菱形均成 30°的夹角,示意图如图 2.在图 2 中,每个菱形的边长为 10cm,锐角为 60°. (1)连接 CD,EB,猜想它们的位置关系并加以证明; (2)求 A,B 两点之间的距离(结果取整数,可以使用计算器) (参考数据: ≈1.41, ≈1.73, ≈2.45)

23. (8 分)如图 1,AB 是⊙ O 的直径,点 C 在 AB 的延长线上,AB=4,BC=2,P 是⊙ O 上半部分的 一个动点,连接 OP,CP. (1)求△ OPC 的最大面积; (2)求∠ OCP 的最大度数; (3)如图 2,延长 PO 交⊙ O 于点 D,连接 DB,当 CP=DB 时,求证:CP 是⊙ O 的切线.

五、 (本大题共 2 小题,每小题 12 分,共 24 分) 24. (12 分)如图 1,边长为 4 的正方形 ABCD 中,点 E 在 AB 边上(不与点 A,B 重合) ,点 F 在 BC 边上(不与点 B,C 重合) . 第一次操作:将线段 EF 绕点 F 顺时针旋转,当点 E 落在正方形上时,记为点 G; 第二次操作:将线段 FG 绕点 G 顺时针旋转,当点 F 落在正方形上时,记为点 H; 依次操作下去… (1)图 2 中的△ EFD 是经过两次操作后得到的,其形状为 等边三角形 ,求此时线段 EF 的长; (2)若经过三次操作可得到四边形 EFGH. ① 请判断四边形 EFGH 的形状为 正方形 ,此时 AE 与 BF 的数量关系是 AE=BF ; ② 以① 中的结论为前提,设 AE 的长为 x,四边形 EFGH 的面积为 y,求 y 与 x 的函数关系式及面积 y 的取值范围; (3)若经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形,其最大边数是多少?它可能是正多边形吗?如 果是,请直接写出其边长;如果不是,请说明理由.

25. (12 分)如图 1,抛物线 y=ax +bx+c(a>0)的顶点为 M,直线 y=m 与 x 轴平行,且与抛物线 交于点 A,B,若△ AMB 为等腰直角三角形,我们把抛物线上 A,B 两点之间的部分与线段 AB 围成 的图形称为该抛物线对应的准蝶形,线段 AB 称为碟宽,顶点 M 称为碟顶,点 M 到线段 AB 的距离 称为碟高. (1)抛物线 y= x 对应的碟宽 为 对应的碟宽为
2 2

2

4 ;抛物线 y=4x 对应的碟宽为
2

2

;抛物线 y=ax (a>0) ;

2

;抛物线 y=a(x﹣2) +3(a>0)对应的碟宽为

(2)抛物线 y=ax ﹣4ax﹣ (a>0)对应的碟宽为 6,且在 x 轴上,求 a 的值; (3)将抛物线 y=anx +bnx+cn(an>0)的对应准蝶形记为 Fn(n=1,2,3…) ,定义 F1,F2,…,Fn 为相似准蝶形,相应的碟宽之比即为相似比.若 Fn 与 Fn﹣1 的相似比为 ,且 Fn 的碟顶是 Fn﹣1 的碟 宽的中点,现将(2)中求得的抛物线记为 y1,其对应的准蝶形记为 F1. ① 求抛物线 y2 的表达式; ② 若 F1 的碟高为 h1,F2 的碟高为 h2,…Fn 的碟高为 hn,则 hn= 2+ ,Fn 的碟宽有端点横坐标为
2

;F1,F2,…,Fn 的碟宽右端点是否在一条直线上?若是,直接写出该直线的表达式;若

不是,请说明理由.

2014 年江西省南昌市中考数学试卷答案
一、选择题 1-5 CDBDA 11-12 BD 二、填空题 13. 3 或4 14: x> . . 15: 12﹣4 6-10 BDDAB

16. 6 或 2

三、 (本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 17. (6 分) (2014?南昌)计算: ( ﹣ )÷ .

解:原式=

?

=x﹣1.

18. (6 分) (2014?南昌)已知梯形 ABCD,请使用无刻度直尺画图.

(1)在图 1 中画出一个与梯形 ABCD 面积相等,且以 CD 为边的三角形; (2)图 2 中画一个与梯形 ABCD 面积相等,且以 AB 为边的平行四边形. 解答: 解:设小正方形的边长为 1,则 S 梯形 ABCD= (AD+BC)×4= ×10×4=20, (1)∵ CD=4 , ∴ 三角形的高=20×2÷4

=5

,如图 1,△ CDE 就是所作的三角形,

(2)如图 2,BE=5,BE 边上的高为 4, ∴ 平行四边形 ABEF 的面积是 5×4=20, ∴ 平行四边形 ABEF 就是所作的平行四边形.

19. 解答:解: (1)列表如下: √ √ × × × (×,√) √ (√,√)

(√,√) (√,×) (×,×) (√,×) (√,×) (×,×) (√,×) 所有等可能的情况有 9 种,两种卡片上标记都是“√”的情况有 2 种, 则 P= ; (2)① 所有等可能的情况有 3 种,其中随机揭开其中一个盖子,看到的标记是“√”的情况有 2 种, 则 P= ; ② 所有等可能的情况有 2 种,其中揭开盖子,看到的卡片正面标记是“√”后,它的反面也是“√” 的情况有 1 种, 则 P= . 20.解解:Rt△ PBD 的斜边 PB 落在 y 轴上, 答: ∴ BD⊥ PB, kPD=cot∠ BPD= kBD?kPD=﹣1, kBD=﹣ , 直线 BD 的解析式是 y=﹣ x+3, 当 y=0 时,﹣ x+3=0, x=6, C 点坐标是(6,0) ; (2) 当 x=4 时,y=﹣ ×4+3=1, ∴ D(4,1) . 点 D 在反比例函数 y= (k>0)的图象上, ∴ k=4×1=4, ∴ 反比例函数的解析式为 y= . 四、 (本大题共 3 小题,每小题 8 分,共 24 分) 21.解解: (1)由题意可得 出:样本容量为:57÷0.38=150(人) , 答: ∴ a=150×0.3=45, b=150﹣57﹣45﹣9=39, ,

c=39÷150=0.26, 如图所示: (2)若该校共有初中生 2300 名, 该校“不重视阅读数学教科书”的初中人数约为:2300×0.26=598(人) ; (3)① 根据以上所求可得出:只有 30%的学生重视阅读数学教科书,有 32%的学生不重视阅 读数学教科书或说不清楚,可以看出大部分学生忽略了阅读数学教科书,同学们应重视阅读 数学教科书,从而获取更多的数学课外知识和对相关习题、定理的深层次理解与认识. ② 如果要了解全省初中生阅读数学教科书的情况, 应随机抽取不同的学校以及不同的年级进行 抽样,进而分析.

22.解解: (1)猜想 CD∥ EB. 答: 证明:连接 DE. ∵ 中国结挂件是四个相同的菱形,每相邻两个菱形均成 30°的夹角,菱形的锐角为 60° ∴ ∠ CDE=60°÷2×2+30°=90°, ∴ ∠ BED=60°÷2×2+30°=90°, ∴ ∠ CDE=∠ BED, ∴ CD∥ EB. (2)BE=2OE=2×10×cos30°=10 cm, 同理可得, DE=10 cm, 则 BD=10 cm, 同理可得,AD=10 cm, AB=BD+AD=20 ≈49cm. 答:A,B 两点之间的距离大约为 49cm.

23.解(1)解:∵ AB=4, 答: ∴ OB=2,OC=OB+BC=4. 在△ OPC 中,设 OC 边上的高为 h, ∵ S△OPC= OC?h=2h, ∴ 当 h 最大时,S△OPC 取得最大值. 观察图形,当 OP⊥ OC 时,h 最大,如答图 1 所示:

此时 h=半径=2,S△OPC=2×2=4. ∴ △ OPC 的最大面积为 4. (2)解:当 PC 与⊙ O 相切时,∠ O CP 最大.如答图 2 所示:

∵ tan∠ OCP= ∴ ∠ OCP=30°

=

=



∴ ∠ OCP 的最大度数为 30°. (3)证明:如答图 3,连接 AP,BP.

∴ ∠ A=∠ D=∠ APD=∠ ABD, ∵ = ∴ = , ,

∴ AP=BD, ∵ CP=DB,

∴ AP=CP, ∴ ∠ A=∠ C ∴ ∠ A=∠ D=∠ APD=∠ ABD∠ C, 在△ ODB 与△ BPC 中 , ∴ △ ODB≌ △ BPC(SAS) , ∴ ∠ D=∠ BPC, ∵ PD 是直径, ∴ ∠ DBP=90°, ∴ ∠ D+∠ BPD=90°, ∴ ∠ BPC+∠ BPD=90°, ∴ DP⊥ PC, ∵ DP 经过圆心, ∴ PC 是⊙ O 的切线. 五、 (本大题共 2 小题,每小题 12 分,共 24 分) 24.解解: (1)如题图 2,由旋转性质可知 EF=DF=DE,则△ DEF 为等边三角形. 答: 在 Rt△ ADE 与 Rt△ CDF 中,

∴ Rt△ ADE≌ Rt△ CDF(HL) ∴ AE=CF. 设 AE=CF=x,则 BE=BF=4﹣x ∴ △ BEF 为等腰直角三角形. ∴ EF= BF= (4﹣x) . ∴ DE=DF=EF= (4﹣x) . 2 2 2 2 在 Rt△ ADE 中,由勾股定理得:AE +AD =DE ,即:x+4 =[ 解得:x1=8﹣4 ,x2=8+4 (舍去) ∴ EF= (4﹣x)=4 ﹣4 . DEF 的形状为等边三角形,EF 的长为 4 ﹣4 .

(4﹣x] ,

2

(2)① 四边形 EFGH 的形状为正方形,此时 AE=BF.理由如下: 依题意画出图形,如答图 1 所示:

由旋转性质可知,EF=FG=GH=HE,∴ 四边形 EFGH 的形状为正方形. ∵ ∠ 1+∠ 2=90°,∠ 2+∠ 3=90°, ∴ ∠ 1=∠ 3.

∵ ∠ 3+∠ 4=90°,∠ 2+∠ 3=90°, ∴ ∠ 2=∠ 4. 在△AEH 与△ BFE 中,

∴ △ AEH≌ △ BFE(ASA) ∴ AE=BF. ② 利用① 中结论,易证△ AEH、△ BFE、△ CGF、△ DHG 均为全等三角形, ∴ BF=CG=DH=AE=x,AH=BE=CF=DG=4﹣x. ∴ y=S 正方形 ABCD﹣4S△AEH=4×4﹣4× x(4﹣x)=2x ﹣8x+16. ∴ y=2x ﹣8x+16(0<x<4) 2 2 ∵ y=2x ﹣8x+16=2(x﹣2) +8, ∴ 当 x=2 时,y 取得最小值 8;当 x=0 时,y=16, ∴ y 的取值范围为:8≤y<16. (3)经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形,其最大边数是 8,它可能为正多边形,边 长为 4 ﹣4. 如答图 2 所示,粗线部分是由线段 EF 经过 7 次操作所形成的正八边形.
2 2

设边长 EF=FG=x,则 BF=CG= BC=BF+FG+CG= x+x+

x, ﹣4.

x=4,解得:x=4

25.答:

解: (1)4;1; ; . 分析如下: ∵ a>0, ∴ y=ax 的图象大致如下:
2

其必过原点 O,记 AB 为其碟宽,AB 与 y 轴的交点为 C,连接 OA,OB. ∵ △ DAB 为等腰直角三角形,AB∥ x 轴, ∴ OC⊥ AB, ∴ ∠ OCA=∠ OCB= ∠ AOB= 90°=45°,

∴ △ ACO 与△ BCO 亦为等腰直角三角形, ∴ AC=OC=BC, ∴ xA=yA,xB=yB,代入 y=ax , ∴ A(﹣ , ) ,B( , ) ,C(0, ) , ∴ AB= ,OC= , 即 y=ax 的碟宽为 . ① 抛物线 y= x 对应的 a= ,得碟宽 为 4; ② 抛物线 y=4x 对应的 a=4,得碟宽为 为 ; ③ 抛物线 y=ax (a>0) ,碟宽为 ; ④ 抛物线 y=a(x﹣2) +3(a>0)可看成 y=ax 向右平移 2 个单位长度,再向上平移 3 个单 位长度后得到的图形, ∵ 平移不改变形状、大小、方向, 2 2 ∴ 抛物线 y=a(x﹣2) +3(a>0)的准碟形≌ 抛物线 y=ax 的准碟, ∵ 抛物线 y=ax (a>0) ,碟宽为 , ∴ 抛物线 y=a(x﹣2) +3(a>0) ,碟宽为 .
2 2 2 2 2 2 2 2 2

(2)∵ y=ax ﹣4ax﹣ =a(x﹣2) ﹣(4a+ ) , ∴ 同(1) ,其碟宽为 , ∵ y=ax ﹣4ax﹣ 的碟宽为 6, ∴ =6, 解得 a= , ∴ y= (x﹣2) ﹣3.
2 2

2

2

(3)① ∵ F1 的碟宽:F2 的碟宽=2:1, ∴ ,

∵ a1= , ∴ a2= . ∵ y= (x﹣2) ﹣3 的碟宽 AB 在 x 轴上(A 在 B 左边) , ∴ A(﹣1,0) ,B(5,0) , ∴ F2 的碟顶坐标为(2,0) , ∴ y2= (x﹣2) . ② ∵ Fn 的准碟形为等腰直角三角形, ∴ Fn 的碟宽为 2hn, ∵ 2hn:2hn﹣1=1:2, ∴ hn= hn﹣1=( ) hn﹣2=( ) hn﹣3=…=( ) ∵ h1=3, ∴ hn= .
2 3 n+1 2 2

h1,

∵ hn∥ hn﹣1,且都过 Fn﹣1 的碟宽中点, ∴ h1,h2,h3,…,hn﹣1,hn 都在一条直线上, ∵ h1 在直线 x=2 上, ∴ h1,h2,h3,…,hn﹣1,hn 都在直线 x=2 上, ∴ Fn 的碟宽右端点横坐标为 2+ .

另,F1,F2,…,Fn 的碟宽右端点在一条直线上,直线为 y=﹣x+5. 分析如下: 考虑 Fn﹣2,Fn﹣1,Fn 情形,关系如图 2,

Fn﹣2,Fn﹣1,Fn 的碟宽分别为 AB,DE,GH;C,F,I 分别为其碟宽的中点,都在直线 x=2 上,连接右端点,BE,EH. ∵ AB∥ x 轴,DE∥ x 轴,GH∥ x 轴, ∴ AB∥ DE∥ GH, ∴ GH 平行相等于 FE,DE 平行相等于 CB, ∴ 四边形 GFEH,四边形 DCBE 都为平行四边形, ∴ HE∥ GF,EB∥ DC,

∵ ∠ GFI= ?∠ GFH= ?∠ DCE=∠ DCF, ∴ GF∥ DC, ∴ HE∥ EB, ∵ HE,EB 都过 E 点, ∴ HE,EB 在一条直线上, ∴ Fn﹣2,Fn﹣1,Fn 的碟宽的右端点是在一条直线, ∴ F1,F2,…,Fn 的碟宽的右端点是在一条直线. ∵ F1:y1= (x﹣2) ﹣3 准碟形右端点坐标为(5,0) , F2:y2= (x﹣2) 准碟形右端点坐标为(2+ , ) , ∴ 待定系数可得过两点的直线为 y=﹣x+5, ∴ F1,F2,…,Fn 的碟宽的右端点是在直线 y=﹣x+5 上.
2 2


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