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一、集合与简易逻辑【概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结】


概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
基本概念、公式及方法是数学解题的基础工具和基本技能,为此作为临考前的高三学生,务必首先要 掌握高中数学中的概念、公式及基本解题方法,其次要熟悉一些基本题型,明确解题中的易误点,还应了 解一些常用结论,最后还要掌握一些的应试技巧。本资料对高中数学所涉及到的概念、公式、常见题型、 常用方法和结论及解题中的易误点,按章节进行了系统的整理,最后阐述了考试中的一些常用技巧,相信 通过对本资料的认真研读,一定能大幅度地提升高考数学成绩。

集合与简易逻辑
一.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时,尤其要注意元素的互异 性,如: (1)设 P、Q 为两个非空实数集合,定义集合 P+Q= {a ? b | a ? P, b ? Q} ,若 P ? {0, 2,5} , Q ? {1,2,6} ,则 P+Q 中元素的有________个。 (答:8) (2)设 U ? {( x, y) | x ? R, y ? R} , A ? {( x, y) | 2 x ? y ? m ? 0} , B ? {( x, y) | x ? y ? n ? 0} , 那么点 P(2,3) ? A ? (Cu B) 的充要条件是________ (答: m ? ?1, n ? 5 ) ; (3)非空集合 S ? {1,2,3,4,5} ,且满足“若 a ? S ,则 6 ? a ? S ” ,这样的 S 共有_____个 (答:7) 二.遇到 A ? B ? ? 时,你是否注意到“极端”情况: A ? ? 或 B ? ? ;同样当 A ? B 时,你 是否忘记 A ? ? 的情形?要注意到 ? 是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。如: 集合 A ? {x | ax ?1 ? 0} , B ? ? x | x 2 ? 3 x ? 2 ? 0? ,且 A ? B ? B ,则实数 a =___.
1 (答: a ? 0,1, ) 2 三.对于含有 n 个元素的有限集合 M ,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次 2 为 2 n , n ? 1, 2 n ? 1, 2 n ? 2. 如: 满足 {1, 2} ? M ? {1, 2,3, 4,5} 集合 M 有______个。 ?

(答:7) 四.集合的运算性质: ⑴ A? B ? A ? B ? A; ⑵ A? B ? B ? B ? A; ⑶ A ? B ? 痧 ? uB ; uA ⑷ A ?痧 ? ? ? u A ? B ; uB ⑸ ?u A ? B ? U ? A ? B ; ⑹ CU ( A ? B) ? CU A ? CU B ; ⑺ CU ( A ? B) ? CU A ? CU B . 如:设全集 U ? {1,2,3,4,5} ,若 A ? B ? {2} , (CU A) ? B ? {4} , (CU A) ? (CU B) ? {1,5} ,则 A=_____,B=___. (答: A ? {2,3} , B ? {2, 4} ) 五.研究集合问题,一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。如: ?x | y ? lg x?—函 数的定义域; ?y | y ? lg x?—函数的值域; ?( x, y) | y ? lg x? —函数图象上的点集,如: (1)设集合 M ? {x | y ? x ? 2} ,集合 N= ? y | y ? x 2 , x ? M ? ,则 M ? N ? ___

(答: [4, ??) ) ; ? ? ? ? ( 2 ) 设 集 合 M ? { a | a? (1, 2) ? (3, ? ? R ,}N ? {a | a ? (2,3) ? ?(4,5) , ? ? R} , 则 ? 4), M ? N ? _____ (答: {(?2,?2)} ) 六.数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具,在具体计算时不要忘了集合本身和空 集这两种特殊情况,补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如: 已 知 函 数 f ( x) ? 4x 2 ? 2( p ? 2) x ? 2 p 2 ? p ? 1 在区间 [?1,1] 上至少存在一个实数 c , 使 f (c) ? 0 ,求实数 p 的取值范围。 3 (答: ( ?3, ) ) 2 七.复合命题真假的判断。 “或命题”的真假特点是“一真即真,要假全假”“且命题”的真 ; 假特点是“一假即假,要真全真”“非命题”的真假特点是“真假相反” ; 。如: 在下列说法中:⑴ p 且 q ”为真是“ p 或 q ”为真的充分不必要条件; “ ⑵ p 且 q ”为假是“ p 或 q ”为真的充分不必要条件; “ ⑶ p 或 q ”为真是“非 p ”为假的必要不充分条件; “ ⑷ “非 p ”为真是“ p 且 q ”为假的必要不充分条件。 其中正确的是__________ (答:⑴ ) ⑶ 八.四种命题及其相互关系。若原命题是“若 p 则 q” ,则逆命题为“若 q 则 p” ;否命题为“若 ﹁p 则﹁q” ;逆否命题为“若﹁q 则﹁p” 。 提醒: (1)互为逆否关系的命题是等价命题,即原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同 真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价; (2)在写出一个含有“或”“且”命题的否命题时,要注意“非或即且,非且即或” 、 ; (3)要注意区别“否命题”与“命题的否定” :否命题要对命题的条件和结论都否定,而命 题的否定仅对命题的结论否定; (4)对于条件或结论是不等关系或否定式的命题,一般利用等价关系“ A ? B ? B ? A ”判断 其真假,这也是反证法的理论依据。 (5)哪些命题宜用反证法? 如: (1) “在△ABC 中,若∠C=900,则∠A、∠B 都是锐角”的否命题为__________ (答:在 ?ABC 中,若 ?C ? 90? ,则 ?A, ?B 不都是锐角) ; x?2 , a ? 1,证明方程 f ( x) ? 0 没有负数根。 (2)已知函数 f ( x) ? a x ? x ?1 九.充要条件。关键是分清条件和结论(划主谓宾) ,由条件可推出结论,条件是结论成立的 充分条件;由结论可推出条件,则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释,若 A ? B ,则 A 是 B 的充分条件;若 B ? A ,则 A 是 B 的必要条件;若 A=B,则 A 是 B 的充要条件。如: (1)给出下列命题: ① 实数 a ? 0 是直线 ax ? 2 y ? 1 与 2ax ? 2 y ? 3 平行的充要条件; ② 若 a, b ? R, ab ? 0 是 a ? b ? a ? b 成立的充要条件; ③ 已知 x, y ? R , “若 xy ? 0 ,则 x ? 0 或 y ? 0 ”的逆否命题是“若 x ? 0 或 y ? 0 则 xy ? 0 ” ; ④“若 a 和 b 都是偶数,则 a ? b 是偶数”的否命题是假命题 。

其中正确命题的序号是_______ (答:①④) ; (2)设命题 p:| 4 x ? 3 |? 1 ;命题 q: x ? (2a ? 1) x ? a(a ? 1) ? 0 。若┐p 是┐q 的必要而不 充分的条件,则实数 a 的取值范围是 1 (答: [0, ] ) 2 十.一元一次不等式的解法:通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为 ax ? b 的 b b 形式, a ? 0 ,则 x ? ; a ? 0 ,则 x ? ; a ? 0 ,则当 b ? 0 时,x ? R ; b ? 0 时,x ?? 。 若 若 若 当 a a 如 1 已 知 关 于 x 的 不 等 式 (a ? b) x ? (2a ? 3b) ? 0 的 解 集 为 ( ?? ,? ) , 则 关 于 x 的 不 等 式 3 (a ? 3b) x ? (b ? 2a) ? 0 的解集为_______ (答: {x | x ? ?3} ) 十一.一元二次不等式的解集(联系图象) 。尤其当 ? ? 0 和 ? ? 0 时的解集你会正确表示吗? 2 设 a ? 0 , x1 , x2 是方程 ax ? bx ? c ? 0 的两实根,且 x1 ? x2 ,则其解集如下表:
2

ax2 ? bx ? c ? 0 ax2 ? bx ? c ? 0 ax2 ? bx ? c ? 0 ? ? 0 {x | x ? x1 或 {x | x ? x1 或 {x | x1 ? x ? x2} x ? x2 } x ? x2 } ??0 b ? {x | x ? ? } R 2a ??0 R ? R

ax2 ? bx ? c ? 0

{x | x1 ? x ? x2}
{x | x ? ? b } 2a

?

如:解关于 x 的不等式: ax2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 。 1 1 1 (答: a ? 0 时,x ? 1 ; a ? 0 时,x ? 1 或 x ? ; 0 ? a ? 1 时, ? x ? ; a ? 1 时,x ?? ; 当 当 当 当 a a 1 当 a ? 1 时, ? x ? 1 ) a 十二.对于方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数 a 是否为 0,其次 若 a ? 0 ,则一定有 ? ? b 2 ? 4ac ? 0 。对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含 有参数时,你是否注意到同样的情形? 如: (1) ? a ? 2? x2 ? 2 ? a ? 2? x ?1 ? 0 对一切 x ? R 恒成立,则 a 的取值范围是_______ (答: (1, 2] ); (2)关于 x 的方程 f ( x) ? k 有解的条件是什么?(答: k ? D ,其中 D 为 f ( x) 的值域),特别 ? 地,若在 [0, ] 内有两个不等的实根满足等式 cos 2 x ? 3 sin 2 x ? k ? 1 ,则实数 k 的范围是 2 _______. (答: [0,1) ) 2 十三.一元二次方程根的分布理论。方程 f ( x) ? ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 在 (k ,??) 上有两根、在 (m, n) 上有两根、在 (??, k ) 和 (k ,??) 上各有一根的充要条件分别是什么?

?? ? 0 ? f (m) ? 0 ? (a>0) 、 f (k ) ? 0 ) 。根的分布理论成立的前提是开 ? f (n) ? 0 ? O k x x x ?m ? ? b ? n ? 2a 区间,若在闭区间 [m, n] 讨论方程 f ( x) ? 0 有实数解的情况,可先利用在开区间 (m, n) 上实根 分布的情况,得出结果,再令 x ? n 和 x ? m 检查端点的情况. b?2 如:实系数方程 x 2 ? ax ? 2b ? 0 的一根大于 0 且小于 1,另一根大于 1 且小于 2,则 的取 a ?1 值范围是_________ 1 (答: ( ,1) ) 4
? ?? ? 0 ? ( ? f (k ) ? 0 、 ? b ?? ? k ? 2a
y
1 2

十四.二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗?二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的两 个根即为二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(? 0) 的解集的端点值,也是二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象与 x 轴的交点的横坐标。
3 如: (1)不等式 x ? ax ? 的解集是 (4, b) ,则 a =__________ 2
1 (答: ) ; 8

(2)若关于 x 的不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集为 (??, m) ? (n,??) ,其中 m ? n ? 0 ,则关于 x 的不等式 cx 2 ? bx ? a ? 0 的解集为________ (答: (??,?
1 1 ) ? (? ,??) ) ; m n

(3)不等式 3x 2 ? 2bx ? 1 ? 0 对 x ?[?1, 2] 恒成立,则实数 b 的取值范围是_______ (答: ? ) 。


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