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分段函数常见题型例析1师

专题 分段函数常见题型例析
所谓“分段函数”是指在定义域的不同部分,有不同对应关系的函数,因此分段函数不 是几个函数而是一个函数,它在解题中有着广泛的应用,不少同学对此认识不深,解题时常 出现错误.现就分段函数的常见题型例析如下:

1.求分段函数的定义域、值域

? x 2 ? 4 x, ( x ? ?2) ? 例1.求函数 f ( x) = ? x ? , ( x ? ?2) ?2

的值域.

解:当 x ≤-2时, y ? x 2 ? 4 x ? ( x ? 2) 2 ? 4 , 当 x >-2时, y =



y ≥-4.

x ?2 , ∴y> =-1. 2 2

∴ 函数 f ( x) 的值域是{ y ∣ y ≥-4,或 y >-1}={ y ∣ y ≥-4} .

【练习 1】 (2012 佛山一模)对任意实数 a , b ,函数

1 F (a, b) ? ? a ? b ? | a ? b | ? ,如果函数 2

【答案】 3 【解析】令 f ( x) ? g ( x) ,解得 ?1 ? x ? 2 , 令 f ( x) ? g ( x) ,解得 x ? ?1 ,或 x ? 2 , ∴ G ( x) ? ?

f ( x) ? ? x2 ? 2 x ? 3 , g ( x) ? x ? 1 ,那么函数

?? x 2 ? 2 x ? 3, x ? ?1, 或?x ? 2, ? x ? 1,??????????????? 1 ? x ? 2.

G( x) ? F ? f ( x), g ( x) ? 的最大值等于



∴ G( x)max ? G(2) ? 2 ? 1 ? 3 .

评注: 分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集; 分段函数的值域 是各段函数值集合的并集.

2.作分段函数的图象
? 2) ? ?2,x ? (??, ? 2) ,画函数 f ( x) 的图象. 例2 已知函数 f ( x ) ? ? x ? 3,x ? [ ?2, ?3,x ? [2, ? ?) ?
解:函数图象如图1所示. 练习:已知函数 f ( x) ? x ?1 ? x ? 2 ,画函数 f ( x ) 的图象. 评注:分段函数有几段,其图象就由几条曲线组成, 作图的关键是根据定义域的不同,分别由表达式做出 其图象.作图时,一要注意每段自变量的取值范围; 二要注意间断函数的图象中每段的端点的虚实.

y
3

?2 ?2

O1 2

x

图1

3.求分段函数的函数值
? x ? 1, ( x ? 0) ? 例3.已知 f ( x) = ?? , ( x ? 0) 求 f ( f ( f (?3))) 的值. ?0.( x ? 0) ?
解:∵ -3<0 ∴

f (-3)=0,



)= f (0)= ? f ( f (-3) ∴ f ( f ( f (?3))) = f ( ? )= ? +1.

又 ? >0

评注:求分段函数的函数值时,首先应确定自变量在定义域中所在的范围,然后按相应 的对应关系求值.

4.求分段函数的最值
例4.已知函数 f ( x) = ?

( x ≥ 0) ? 2 x, ( x ? 0) ?x ,
2

求出这个函数的最值. y

解:由于本分段函数有两段,所以这个函数的图象由 两部分组成,其中一部分是一段抛物线,另一部分是 一条射线,如图2所示.因此易得,函数最小值为0, 没有最大值. O 5. 求分段函数的单调区间





例 5 若函数 f(x)=|x-a|在(-∞,1)内是减函 数,求实数 a 的取值范围. 【分析】本题采用数形结合的方法形象直观 容易求 a 的取值范围.
O 1 a x y

? x ? a( x ? a) 【解析】f(x)=|x-a|= ? ,作出函 ?a ? x( x ? a )
数的图象,由于(-∞,a)内是减函数,而在(-∞,1)内也是减函数,故(-∞, 1)是(-∞,a)的子区间. 因此 a≥1. 6、求分段函数的奇偶性 例 6 设 f(x)是定义在 R 上的函数,满足 f(x+2)=-f(x),且 x∈[0,2]时,

f ( x) ? 2 x ? x2 .
(1)求 x∈[-2,0]时,f(x)的表达式; (2)求 f(9)和 f(-9)的值; (3)证明 f(x)是奇函数. 【分析】这是一个分段函数问题,首先求出函数的表达式,然后在利用定义 证明函数是奇函数. 【解析】 (1) ∵x∈[-2, 0]时, x+2∈[0, 2], ∴f(x)=-f(x+2)=-[2(x+2)-(x+2) 2 ],

即 x∈[-2,0]时, f ( x) ? x2 ? 2x . (2)∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)= f(x),∴f(x)是以 4 为周期的周期函 数.∴f(9)=f(1)=1,f(-9)= f(-1)=-1, .
2 ? ?2 x ? x ( x ? [0, 2]) (3)∵ f ( x) ? ? 2 , ? ? x ? 2 x( x ? [?2, 0]) 2 2 ? ?2 x ? x ? [(? x) ? 2(? x)], x ? [0, 2] 又∵f(x)+f(-x)= ? 2 , ∴f(x)+f(-x)=0, (x∈[- 2 x ? 2 x ? [2( ? x ) ? ( ? x ) ], x ? [ ? 2, 0] ? ?

2,2]) ,∴f(x)在[-2,2]上为奇函数.若 x∈[4k-2,4k+2],k∈Z,则-x∈[-4k-2, -4k +2],,∴f(x)= f(x-4k),f(-x)= f(-x+4k),且 x-4k 与-x+4k∈[-2,2]又∵ -x+4k=-(x-4k) ,∴f(-x+4k)=-f(x-4k), ∴f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数. 5.表达式问题
例 7. 如图3, 动点 P 从边长为1的正方形 ABCD 的顶点 A 出发顺次经过 B,C,D 再回到 A ,设 x 表示 P 点的行程, y 表示 PA 的长度,求 y 关于 x 的表达式. 解:如图 3 所示,当 P 点在 AB 上运动时, PA ? x ;
2 当 P 点在 BC 上运动时,由 Rt△PBA ,求得 PA ? 1 ? ( x ? 1) ; 2 当 P 点在 CD 上运动时,由 Rt△PDA 求出 PA ? 1 ? (3 ? x) ;

当 P 点在 DA 上运动时, PA ? 4 ? x ,

D

C

0 ≤ x ≤ 1, ? x, ? 2 ? x ? 2 x ? 2, 1 ? x ≤ 2, 所以 y 关于 x 的表达式是 y ? ? ? x 2 ? 6 x ? 10, 2 ? x ≤ 3, ? 3 ? x ≤ 4. ?4 ? x,
在此基础上,强调“分段”的意义,指出分段函数的 A 各段合并成一个整体,必须用符号“ {”来表示,以纠正 图3 同学们的错误认识. 【例 8】如图所示, ?OAB 是等腰直角三角形, BO ? BA , OA ? 2 ,
记 ?OAB 位于直线 x ? t (t ? 0) 左侧的图形的面积为

P

B

f (t ) ,试求函数 f (t ) 的解析式,并画出 y ? f (t ) 的图象.
y
B
【解析】由图象可知分三段,

1 2 t ; 2 A O 11 1 1 2 2 当 1 ? t ? 2 时, f (t ) ? ? 2 ?1 ? (2 ? t ) ? 1 ? (t ? 2) , 2 2 2 1 当 t ? 2 时, f (t ) ? ? 2 ? 1 ? 1, 2
当 0 ? t ? 1 时, f (t ) ?

x

?1 2 ? 2 t , ??????????0 ? t ? 1, ? ? 1 2 ∴ f (t ) ? ?1 ? (t ? 2) ,1 ? t ? 2, 2

6.基础巩固 1. (2012 青岛质检)已知 f ( x) ? ? A.

x ? 0, ? cos ? x , 4 4 则 f ( ) ? f (? ) ? ( 3 3 ? f ( x ? 1) ? 1, x ? 0.
C. ? 1 D.1



1 2

B. ?

1 2

【答案】D 【解析】 f (? ) ? cos(?

4 4? 4? ? 1 ) ? cos ? ? cos ? ? , 3 3 3 3 2 4 4 1 1 2 f ( ) ? f ( ? 1) ? 1 ? f ( ) ? 1 ? f ( ? 1) ? 1 ? 1 ? f ( ? ) ? 2 3 3 3 3 3 2? 2? 1 5 ? cos(? ) ? 2 ? cos ?2?? ?2? , 3 3 2 2 4 4 ∴ f ( ) ? f (? ) ? 2 . 3 3

1 ? 1 1 ? x ? , x ? A, 2. (2012 东城一模)设集合 A ? [0, ) , B ? [ ,1] ,函数 f ( x) ? ? 若 2 2 2 ? ?2(1 ? x), x ? B.

x0 ? A ,且 f [ f ( x0 )] ? A , 则 x0 的取值范围是(
A. (0, ] 【答案】C 【解析】若 x0 ? A ,则 f ( x0 ) ? x0 ?



1 4

B. ( , ]

1 1 4 2

C. ( , )

1 1 4 2

D. [0, ]

3 8

1 1 ? [ ,1) ? B , 2 2

1 ? 0 ? x0 ? ? ? 2 ∵ f [ f ( x0 )] ? A ,∴ ? , 1 1 ?0 ? 2[1 ? ( x ? )] ? 0 ? ? 2 2

1 ? 0 ? x0 ? ? 1 1 ? 2 ∴? ,∴ ? x0 ? . 4 2 ?1 ? x ? 1 0 ? ?4 2

? ? ? 3. 根据统计, 一名工人组装第 x 件某产品所用的时间 (单位: 分钟) 为 f ( x) ? ? ? ? ?

c ,x ? A x c ,x ? A A

( A ,c 为常数) .已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟,组装第 A 件产品时用时 15 分钟, 那么 c 和 A 的值分别是( ) A. 75,25 B. 75,16 C. 60,25 D. 60,16

【答案】D 【解析】由条件可知, x ? A 时所用时间为常数, ∴组装第 4 件产品用时必然满足第一个分段函数, 即 f (4) ?

c 60 ? 30 ? c ? 60 , f ( A) ? ? 15 ? A ? 16 . 4 A
|x| , 对 于 任 意 不 相 等 的 实 数 a, b , 则 x

4. ( 2011 茂 名 一 模 ) 设 函 数 f ( x ) ?

a ?b a ?b ? ? f (a ? b) 的值等于( 2 2 A. a C. a 、 b 中较小的数
【答案】D 【解析】当 a ? b 时,原式 ?

) B. b D. a 、 b 中较大的数

a ?b a ?b a ?b ? ? ? a; 2 2 a ?b a ?b a ?b b?a ? ? ? b; 当 a ? b 时,原式 ? 2 2 a ?b a ?b a ?b ? ? f (a ? b) 的值等于 a 、 b 中较大的数. ∴ 2 2


? x 2 ? 2 x, x ? 0 5.已知函数 f ( x) ? ? 2 则 a 的取值范围( ? x ? 2 x, x ? 0 ; 若f (?a) ? f (a) ? 0, ?
A.[-1,1] B.[-2,0] C.[0,2] 6.定义在 R 上且周期为 2 的函数 f(x), 当 x ? [?1,1], f ( x) ? ? D.[-2,2]

? ?4 x 2 ? 2, ?1 ? x ? 0 ? x,0 ? x ? 1

3 ; 则f ( ) ? 2

? x 2 ? x, x ? 0 7.已知函数 f ( x) ? ? 2 则 a 的取值范围 ? ? x , x ? 0 ; 若f ( f (a)) ? 2, ?

8.设函数 g ( x) ? x2 ? 2 , f ( x) ? ?

? g ( x) ? x ? 4, x ? g ( x), 求 f ( x ) 的值域. ? g ( x) ? x, x ? g ( x).

【解析】令 x ? g ? x ? , 解得 x ? ?1 或 x ? 2 .
2 ? g ( x) ? x ? 4, x ? g ( x), ? ? x ? x ? 2, x ? (??, ?1) (2, ??) ?? 2 ∴ f ( x) ? ? ? ? g ( x) ? x, x ? g ( x). ? x ? x ? 2, x ? [?1, 2]

1 2 7 ? ( x ? ) ? , x ? (??, ?1) (2, ??) ? ? 2 4 ?? 1 9 ?( x ? ) 2 ? , x ? [?1, 2] ? ? 2 4
∴当 x ? (??, ?1)

9 (2, ??) 时, f ( x) ? (2, ??) ;当 x ?[?1, 2] 时, f ( x) ? [ ? , 0] ; 4 9 ∴ f ( x ) 的值域为 [ ? , 0] (2, ??) . 4

9. (2012 潍坊联考)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情 况下,大桥上的车流速度 v (单位:千米/小时)是车流密度 x (单位:辆/千米)的函数.当 桥上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/小时.研究表明:当 20 ? x ? 200 时,车流速度 v 是车流 密度 x 的一次函数. (1)当 0 ? x ? 200 时,求函数 v?x ? 的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/ 小时) f ?x ? ? x ? v?x ? 可以达到最大,并求出最大值. (精确到 1 辆/小时) 【解析】 (1)由题意可得: 当 0 ? x ? 20 时, v( x) ? 60 ; 当 20 ? x ? 200 时,设 v( x) ? ax ? b , 显然 v( x) ? ax ? b 在 ?20,200?是减函数,

1 ? a?? ? 200 a ? b ? 0 ? ? 3 由已知得 ? ,解得 ? , ?20a ? b ? 60 ?b ? 200 ? 3 ?

0 ? x ? 20, ?60, ? ∴ v( x) ? ? 1 (200 ? x), 20 ? x ? 200. ? ?3

0 ? x ? 20, ?60 x, ? (2)由(1)可得 f ( x) ? ? 1 x(200 ? x), 20 ? x ? 200. ? ?3
当 0 ? x ? 20 时, f ( x)max ? f (20) ? 1200 ; 当 20 ? x ? 200 时,

1 1 10000 x ? 200 ? x ? ? ? ( x ? 100)2 ? , 3 3 3 10000 ∴当 20 ? x ? 200 时, f ( x) max ? f (100) ? . 3 10000 ? 3333 , 综上 f ( x ) 在区间 ?0,200?上取得最大值 3 f ( x) ?
答:当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3333 辆/小时.