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递推数列求通项公式精校版


高考递推数列题型分类归纳解析 各种数列问题在很多情形下,就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综 合性比较强的数列问题中,数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。 我现在总结出几种求解数列通项公式的方法,希望能对大家有帮助。 类型 1

an ?1 ? an ? f (n)
1 1 , a n ?1 ? a n ? 2 ,求 an 。 2 n ?n

例 1. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

变 式 : 已 知 数 列 {an }中a1 ? 1 , 且 a2k ? a2k ?1 ? (?1)k k=1,2,3,……. (I)求 a3, a5; (II)求{ an}的通项公式.

,

a2k ?1 ? a2k ? 3k , 其 中

类型 2

an?1 ? f (n)an
2 n a n ,求 an 。 , a n ?1 ? 3 n ?1

例 1:已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

例 2:已知 a1 ? 3 , a n ?1 ?

3n ? 1 a n (n ? 1) ,求 an 。 3n ? 2

变 式 : ( 2004 , 全 国 I, 理 15 .) 已 知 数 列 {an} , 满 足 a1=1 ,

an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? ? ? (n ? 1)an?1 (n≥2),

?1 则{an}的通项 an ? ? ? ___

n ?1 n?2

类型 3

。 an?1 ? pan ? q (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1) ? 0) )

例:已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,求 an .

变式:(2006,重庆,文,14) 在数列 ?an ? 中, 若 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3(n ? 1) , 则该数列的通项 an ? _______________

变式:(2006. 福建.理 22.本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ). (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II) 若数列{bn}滿足 4b1 ?14b2 ?1 ?4bn ?1 ? (an ?1)bn (n ? N * ), 证明: 数列{bn}是等差数列;
a n 1 a a n (Ⅲ )证明: ? ? 1 ? 2 ? ... ? n ? (n ? N * ). 2 3 a2 a3 an ?1 2

类型 4

。 an?1 ? pan ? q n (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1)(q ? 1) ? 0) )

(或

an?1 ? pan ? rqn ,其中 p,q, r 均为常数) 。
例:已知数列 ?an ? 中, a1 ?
5 1 1 , a n ?1 ? a n ? ( ) n ?1 ,求 an 。 6 3 2

变 式 : ( 2006 , 全 国 I, 理 22, 本 小 题 满 分 12 分 ) 设 数 列 ?an ? 的 前 n 项 的 和
Sn ? 4 1 2 a n ? ? 2n ?1 ? , n ? 1, 2,3,? ? ? 3 3 3
n 3 2n ? ?,证明: ? Ti ? , n ? 1, 2,3,? 2 Sn i ?1

(Ⅰ)求首项 a1 与通项 an ; (Ⅱ)设 Tn ?

类型 5 递推公式为 an?2 ? pan?1 ? qan (其中 p,q 均为常数) 。 解法一(待定系数——迭加法): 数列 ?an ? :3an?2 ? 5an?1 ? 2an ? 0(n ? 0, n ? N ) , a1 ? a, a2 ? b ,求数列 ?an ? 的通项 公式。

例:已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 , a n ? 2 ?

2 1 a n ?1 ? a n ,求 an 。 3 3

变式:1.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N * ). (I)证明:数列 ?an?1 ? an ? 是等比数列; (II)求数列 ?an ? 的通项公式; (III)若数列 ?bn ? 满足 4b1 ?14b2 ?1...4bn ?1 ? (an ?1)bn (n ? N * ), 证明 ?bn ? 是等差数列
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3.已知数列 ?an ? 中, S n 是其前 n 项和,并且 Sn?1 ? 4an ? 2(n ? 1, 2,?), a1 ? 1 , ⑴设数列 bn ? an?1 ? 2an (n ? 1,2,??) ,求证:数列 ?bn ?是等比数列; ⑵设数列 c n ?
an , (n ? 1,2, ??) ,求证:数列 ?cn ?是等差数列;⑶求数列 ?an ? 的通 2n

项公式及前 n 项和。

类型 6 递推公式为 S n 与 an 的关系式。(或 Sn ? f (an ) ) 1 例:已知数列 ?an ? 前 n 项和 S n ? 4 ? a n ? n?2 . 2 (1)求 a n ?1 与 an 的关系; (2)求通项公式 an .

变式:(2006,陕西,理,20 本小题满分 12 分) 已知正项数列{an},其前 n 项和 Sn 满足 10Sn=an2+5an+6 且 a1,a3,a15 成等比数列, 求数列{an}的通项 an
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变式: (2005,江西,文,22.本小题满分 14 分)
1 3 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn-Sn-2=3 (? ) n ?1 (n ? 3), 且S1 ? 1, S 2 ? ? , 求数列 2 2 {an}的通项公式.

类型 7 an?1 ? pan ? an ? b ( p ? 1 、 0,a ? 0) 例:设数列 ?an ? : a1 ? 4, an ? 3an?1 ? 2n ? 1, (n ? 2) ,求 an .

变式:(2006,山东,文,22,本小题满分 14 分) 1 2an ?1 ? an) 已知数列{ an }中, a1 ? 、点(n、 在直线 y=x 上,其中 n=1,2,3… 2 (Ⅰ)令 bn ? an?1 ? an ? 3, 求证数列 ?bn ?是等比数列;

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(Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项;

?bn ? 的 前 n 项 和 , 是 否 存 在 实 数 ? , 使 得 数 列 ( Ⅲ ) 设 S n、Tn 分别为数列 ?a n ? 、
? Sn ? ?Tn ? ? ? 为等差数列?若存在试求出 ? ? n ?
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不存在,则说明理由.

r 类型 8 an?1 ? pan ( p ? 0, an ? 0)

例:已知数列{ an }中, a1 ? 1, a n?1 ?

1 2 ? a n (a ? 0) ,求数列 ?an ? 的通项公式 . a

变式: 已知数列 {an }的各项都是正数 , 且满足 : a0 ? 1, an?1 ? (1)证明 an ? an?1 ? 2, n ? N ; 西,理,21)

1 an (4 ? an ), n ? N . 2

(2)求数列 {an } 的通项公式 an. (2005,江

变式:(2006,山东,理,22,本小题满分 14 分) 已知 a1=2,点(an,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上,其中=1,2,3,… (1) 证明数列{lg(1+an)}是等比数列; (2) 设 Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an),求 Tn 及数列{an}的通项; 记 bn=
2 1 1 ,求{bn}数列的前项和 Sn,并证明 Sn+ =1 ? 3Tn ? 1 an an ? 2
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类型 9 an?1 ?

f ( n) a n 解法:这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为 g ( n ) a n ? h( n )

an?1 ? pan ? q 。
例:已知数列{an}满足: an ?

an?1 , a1 ? 1 ,求数列{an}的通项公式。 3 ? an?1 ? 1

变 式 : ( 2006 , 江 西 , 理 ,22, ) 1. 已 知 数 列 { an } 满 足 : a1 =
3na n-1 (n ? 2,n ? N?) 2a n-1+n- 1

3 , 且 an = 2

(1) 求数列{an}的通项公式; (2) 证明:对于一切正整数 n,不等式 a1?a2?……an?2?n!

20.(本小题共 14 分)设 b>0,数列 ?an ? 满足 a1=b, an ? (1)求数列 ?an ? 的通项公式;

nban?1 (n ? 2) 。 an ?1 ? 2n ? 2


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