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【创新设计】(山东专用)2017版高考数学一轮复习 第五章 平面向量 第3讲 平面向量的数量积及其应用课件 理_图文

第 3讲

平面向量的数量积及其应用

最新考纲

1. 理解平面向量数量积的含义及其物理意

义;2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系;3.掌 握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运

算; 4. 能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量
积判断两个平面向量的垂直关系.

知识梳理 1.平面向量数量积的有关概念
→ → (1)向量的夹角:已知两个非零向量 a 和 b,记OA=a,OB= b,则∠AOB=θ(0° ≤θ≤180° )叫做向量 a 与 b 的夹角. (2)数量积的定义:已知两个非零向量 a 与 b,它们的夹角为 θ,则数量 |a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积),记作 ,规定零向量与任一向量的数量 a· b,即 a· b= |a||b|cos θ 积为 0,即 0· a=0.

(3)数量积的几何意义:数量积a· b等于a的长度|a|与b在a的方 向上的投影 |b|cos θ 的乘积.

2.平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ 为向量 a,b 的夹角.

x1x2+y1y2 (1)数量积:a· b=|a||b|cos θ=____________.
2 2 x + y 1 1 (2)模:|a|= a· a=_________.

x1x2+y1y2 a· b (3)夹角:cos θ= = 2 2 2 2. |a||b| x1+y1· x2+y2

x1x2+y1y2=0. (4)两非零向量 a⊥b 的充要条件:a· b=0?________________
(5)|a· b|≤|a||b|(当且仅当 a∥b 时等号成立)?|x1x2+y1y2|≤
2 2 2 x2 + y · x + y 1 1 2 2.

3.平面向量数量积的运算律 (1)a· b=b· a(交换律). (2)λa· b=λ(a· b)=a· (λb)(结合律). a· c+b· c (分配律). (3)(a+b)· c=__________

诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
? π? (1)两个向量的夹角的范围是?0,2?.( ? ?

× )

(2) 向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向 量.( √ ) (3)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运 算的运算结果是向量.( √ ) (4)若 a· b>0,则 a 和 b 的夹角为锐角;若 a· b<0,则 a 和 b 的夹角为钝角.( × ) (5)a· b=a· c(a≠0),则 b=c.( × )

2.(2015· 全国Ⅱ卷)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则

(2a+b)· a等于(
A.-1 B.0

)
C.1 D.2

解析 因为a=(1,-1),b=(-1,2),所以2a+

b=2(1,-1)+(-1,2)=(1,0),得(2a+b)· a=
(1,0)· (1,-1)=1,选C. 答案 C

3.(2016· 焦作模拟)如图, 平行四边形 ABCD 中, AB=2, AD 1 =1,∠A=60°,点 M 在 AB 边上,且 AM=3AB,则 → ·DB → 等于( DM )

3 A.- 2

3 B. 2

C.-1

D.1

解析

→ → → → 1→ → → → DM=DA+AM=DA+3AB,DB=DA+AB,
? ?

1→? → → → → → ? 所以DM·DB=?DA+3AB?·(DA+AB)= 1→2 4 → → 4 4→ → 7 4 → → → 2 DA +3AB +3DA· AB=1+3-3AD· AB=3-3|AD|· |AB|cos 60° 7 4 1 =3-3×1×2×2=1.选 D.

答案 D

2π 4.(2016· 石家庄模拟)已知平面向量 a,b 的夹角为 , 3 |a|=2,|b|=1,则|a+b|=________.

解析

∵|a + b|2 = |a|2 + 2a· b + |b|2 = 4 +

2π 2|a||b|cos 3 +1=4-2+1=3, ∴|a+b|= 3.
答案 3

5.( 人教 A 必修 4P104 例 1 改编 ) 已知 |a| = 5 , |b| = 4 , a 与 b 的夹
角θ=120°,则向量b在向量a方向上的投影为________. 解析 由数量积的定义知,b在a方向上的投影为

|b|cos θ=4×cos 120°=-2.
答案 -2

考点一 平面向量的数量积
【例 1 】 (1)(2015· 天津卷 ) 在等腰梯形 ABCD 中,已知 AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°,动点 E 和 F 1 → → → → 分别在线段 BC 和 DC 上,且BE=λBC,DF= DC,则 9λ → ·AF → 的最小值为________. AE (2) (2016· 章丘模拟)已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E →· → 的值为__________; →· → 是 AB 边上的动点, 则DE CB DE DC 的最大值为______.

解析

(1)法一 如图, 以 A 为原点, AB 所在直线为 x 轴建立直
?3 B(2,0),C? , ?2 ?1 3? 3? ?,D? , ?. 2? 2? ?2

角坐标系,则

? 3 ? λ → → 由BE=λBC得 E?2- , λ?. 2 2 ? ? ?1 1 → 1 3? → 由DF= DC得 F? + , ?. 2? 9λ ?2 9λ ? λ 17 2 3 ? ?1 1 3? 17 λ → → ? + , ?= + 从而AE· AF=?2- , λ?· + ≥ + 2 2 ? ?2 9λ 2 ? 18 9λ 2 18 ? ? 2 1 29? 2×3=18?当且仅当λ=3时,取等号?. ? ?

法二

在梯形 ABCD 中,AB=2,BC=1,∠ABC=60°,可

1 → → → → → → → AF → =(AB → 得 DC=1, AE=AB+λBC, AF=AD+ DC, ∴AE· 9λ 1 → 1 → → → → → → → → +λ BC )· (AD + DC ) =AB·AD +AB· DC +λ BC ·AD + 9λ 9λ 1 → 1 → λBC· DC=2×1×cos 60°+2× +λ×1×1×cos 60° 9λ 9λ

λ 17 1 2 +λ· ×cos 120°= + + ≥2 9λ 9λ 2 18

2 9λ

·

λ 17 29
2 + 18 = 18



2 λ 2 29 当且仅当 = ,即 λ=3时,取得最小值为18. 9λ 2

(2) 法 一

→ → → → → 如 图 , DE · CB = ( DA + AE )· CB =

→ → → → →2 DA· CB+AE· CB=DA =1, → → → → → → → → → DE· DC=(DA+AE)· DC=DA· DC+AE· DC → → → → → 2 =AE· DC=|AE|· |DC|≤|DC| =1.

法二

以射线 AB,AD 为 x 轴,y 轴的正方向建立平面直角

坐标系,则 A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),设 E(t, → → → → 0),t∈[0,1],则DE=(t,-1),CB=(0,-1),所以DE· CB → → → =(t,-1)· (0,-1)=1.因为DC=(1,0),所以DE· DC=(t, → → -1)· (1,0)=t≤1,故DE· DC的最大值为 1.

法三

→ 由图知, 无论 E 点在哪个位置, DE

→ → → 在CB方向上的投影都是 CB=1, ∴DE· CB → =|CB|· 1=1. → → 当 E 运动到 B 点时,DE在DC方向上的投 影最大即为 DC=1, → → → ∴(DE· DC)max=|DC|· 1=1.

29 答案 (1) 18

(2)1

1

规律方法

(1) 求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;

利用向量的坐标运算;利用数量积的几何意义 .(2)解决涉及 几何图形的向量数量积运算问题时,可先利用向量的加减 运算或数量积的运算律化简再运算 . 但一定要注意向量的夹 角与已知平面角的关系是相等还是互补.

【训练 1】(1)(2016· 温州适应性测试)在△ABC 中, 若 A=120° , → → → AB· AC=-1,则|BC|的最小值是( A. 2 B.2 C. 6 D.6 )

→ (2)(2015· 四川卷)设四边形 ABCD 为平行四边形,|AB|=6, → → → → → → → |AD|=4, 若点 M, N 满足BM=3MC, DN=2NC, 则AM· NM 等于( A.20 ) B. 15 C.9 D.6

解析

→ → → → (1)∵AB· AC=-1,∴|AB||AC|cos 120° =-1,

→ → → 2 → → 2 →2 → → →2 即|AB||AC|=2,∴|BC| =|AC-AB| =AC -2AB· AC+AB ≥ → → → → → 2|AB|· |AC|-2AB· AC=6,∴|BC|min= 6. → → → → → → → (2)取AB,AD为一组基底.∵BM=3MC,∴AM=AB+BM
1 → 1→ → 3→ → 3→ → → → =AB+4BC=AB+4AD,NM=CM-CN=-4AD+3AB, 1 → → 1 → → 1 → → →2 ∴ AM · NM = 4 (4 AB + 3 AD )· 12 (4 AB - 3 AD ) = 48 (16 AB - 1 →2 9AD )=48(16×62-9×42)=9,选 C.

答案 (1)C (2)C

考点二 平面向量的夹角与垂直
2 2 【例 2】 (1)(2015· 重庆卷)若非零向量 a,b 满足|a|= |b|, 3 且(a-b)⊥(3a+2b),则 a 与 b 的夹角为( π A. 4 π B. 2 3π C. 4 D.π )

→ → → → (2)已知向量AB与AC的夹角为 120°,且|AB|=3,|AC|=2. → =λAB → +AC → ,且AP → ⊥BC → ,则实数 λ 的值为________. 若AP

解析

(1)由(a-b)⊥(3a+2b)得(a-b)· (3a+2b)=0, 即 3a2
2

2 2 -a· b-2b =0.又∵|a|= |b|,设〈a,b〉=θ,即 3|a|2 3 8 2 2 2 2 -|a|· |b|· cos θ-2|b| =0,∴3|b| - 3 |b| ·cos θ-2|b|2
2

π 2 =0.∴cos θ= 2 .又∵0≤θ≤π,∴θ= 4 . → ⊥BC → ,知AP → ·BC → =0,即AP → ·BC → =(λAB → +AC → )· →- (2)由AP (AC
? 1? → → → → → 2 2 AB)=(λ-1)AB· AC-λAB +AC =(λ-1)×3×2×?-2?-λ×9 ? ?

7 +4=0,解得 λ=12. 7 答案 (1)A (2)12

规律方法 (1)根据平面向量数量积的性质:若 a,b 为非零向 a· b 量,cos θ= (夹角公式),a⊥b?a· b=0 等,可知平面向 |a||b| 量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题. (2)解决向量的夹角问题时要注意方法的选择,可以用定义法、 坐标法以及图形法求解, 在用定义法求解的过程中要注意运算 的准确率.

【训练 2】 (1)(2016· 江西师大附中模拟)已知向量 a,b 满 足 a· (a-2b)=3,且|a|=1,b=(1,1),则 a 与 b 的夹 角为( π A.4 ) π B.3 3π C. 4 2π D. 3

(2)已知两个单位向量 a,b 的夹角为 60° ,c=ta+(1- t)b.若 b· c=0,则 t=________.

解析 (1)由|a|=1,a· (a-2b)=3,∴|a|2-2a· b=3, a· b ∴a· b=-1,又 b=(1,1),∴|b|= 2,cos〈a,b〉= = |a||b| 2 3π - 2 ,又〈a,b〉∈[0,π], 〈a,b〉= 4 ,故选 C.
(2)∵b· c=b· [ta+(1-t)b]=ta· b+(1-t)b2=t|a|· |b|· cos60° 1 1 +(1-t)|b| =2t+1-t=-2t+1=0,∴t=2. 答案 (1)C (2)2
2

考点三

平面向量的模及应用

【例 3】 (1)(2015· 浙江卷)已知 e1,e2 是平面单位向量,且 1 e1· e 2 = 2 . 若 平 面 向 量 b 满 足 b· e1 = b· e 2 = 1 , 则 | b| = ________. (2)(2014· 湖南卷)在平面直角坐标系中, O 为原点, A(-1, → → → 0),B(0, 3), C(3,0),动点 D 满足|CD|=1,则|OA+OB → +OD|的最大值是________.

1 解析 (1)因为|e1|=|e2|=1 且 e1· e2=2.所以 e1 与 e2 的夹 角为 60° .又因为 b· e1=b· e2=1,所以 b· e1-b· e2=0,即 b· (e1-e2)=0, 所以 b⊥(e1-e2).所以 b 与 e1 的夹角为 30° , 2 3 所以 b· e1=|b|· |e1|cos 30° =1.∴|b|= 3 .

→ → → 2 2 (2)设 D(x,y),由|CD|=1,得(x-3) +y =1,向量OA+OB → → → → + OD = (x - 1 , y + 3 ) , 故 | OA + OB + OD | = (x-1)2+(y+ 3)2的最大值为圆(x-3)2+y2=1 上的 动点到点(1,- 3)距离的最大值,其最大值为圆(x-3)2+ y2=1 的圆心(3,0)到点(1,- 3)的距离加上圆的半径,即 (3-1)2+(0+ 3)2+1=1+ 7.

2 3 答案 (1) (2)1+ 7 3

规律方法

(1)求向量的模的方法:①公式法,利用|a|= a· a及

(a± b)2=|a|2±2a· b+|b|2,把向量的模的运算转化为数量积运算; ②几何法,利用向量的几何意义,即利用向量加减法的平行四 边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解. (2)求向量模的最值(范围)的方法:①代数法,把所求的模表示 成某个变量的函数,再用求最值的方法求解;②几何法(数形结 合法),弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形 求解.

【训练 3】 (1)(2016· 潍坊模拟)如图, 在△ABC 中, O 为 BC 中点,若 AB=1, → ,AC → 〉=60°, 则|OA → |=________. AC=3, 〈AB (2)已知直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ADC=90°, → → AD=2,BC=1,P 是腰 DC 上的动点,则|PA+3PB|的最 小值为________.

解析

→ → (1)因为〈AB,AC〉=60°,

→ ·AC → =|AB → |·|AC → |cos 60°=1×3×1=3, 所以AB 2 2 1?? → → ?? → 又AO= ??AB+AC??, 2 1 → → 2 1 →2 → → ·AC → +AC → 2), 2 所以AO =4(AB+AC) =4(AB +2AB 1 13 13 → → 2 即AO = (1+3+9)= ,所以|OA|= . 4 4 2

(2)以 D 为原点,分别以 DA,DC 所在 直线为 x 轴,y 轴建立如图所示的平面直 角坐标系,设 DC=a,DP=x(0≤x≤a), ∴D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a), → =(2,-x), P(0,x).PA → → → → → PB=(1,a-x),∴PA+3PB=(5,3a-4x),|PA+3PB|2=25+ 3a → +3PB → |的最小值为 5. (3a-4x) ≥25,当 x= 4 时取等号.∴|PA 13 答案 (1) (2)5 2
2

[思想方法]

1.计算数量积的三种方法:定义、坐标运算、数量积的几何
意义,要灵活选用,与图形有关的不要忽略数量积几何意 义的应用 . 当利用定义处理问题较困难时,可考虑向量的 坐标法求解. 2.求向量模的常用方法:利用公式|a|2=a2,将模的运算转化

为向量的数量积的运算.
3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最 值问题常用的方法与技巧.

[易错防范]

1. 数量积运算律要准确理解、应用,例如, a· b = a· c(a≠0)
不能得出b=c,两边不能约去一个向量. 2.两个向量的夹角为锐角,则有a· b>0,反之不成立;两个 向量夹角为钝角,则有a· b<0,反之不成立. 3.注意向量夹角和三角形内角的关系,两者并不等价.


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