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柯西不等式习题教师版 含答案

新课标数学选修 4-5 柯西不等式
一、二维形式的柯西不等式 (a 2 ? b 2 )(c 2 ? d 2 ) ? (ac ? bd ) 2 (a , b , c , d ? R , 当且仅当ad ? bc时, 等号成立.) 二、二维形式的柯西不等式的变式
(1) a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? ac ? bd (a , b , c , d ? R , 当且仅当ad ? bc时, 等号成立.) (2) a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? ac ? bd (a , b , c , d ? R , 当且仅当ad ? bc时, 等号成立.)
(3)( a ? b)(c ? d ) ? ( ac ? bd ) 2 (a , b , c , d ? 0 , 当且仅当ad ? bc时, 等号成立.)

三、二维形式的柯西不等式的向量形式

? ? ? ? ? ? . (当且仅当? 是零向量, 或存在实数k , 使? ? k ? 时, 等号成立.)
借用一句革命口号说:有条件要用;没有条件,创造条件也要用。比如说吧,对 a^2 + b^2 + c^2, 并不是不等式的形状,但变成(1/3) * (1^2 + 1^2 + 1^2) * (a^2 + b^2 + c^2)就可以用柯西不等式了。
? ? ? ? ? 【1】 、设 a ? (?2,1,2), b ? 6 ,则 a ? b 之最小值为________;此时 b ? ________。 ? ? ? ? ? ? ? ? 答案:?18; (4,?2,?4) 解析: a ? b ? a b ∴ a ? b ? 18 ∴ ? 18 ? a ? b ? 18 ? ? ? ? a ? b 之最小值为?18,此时 b ? ?2a ? (4,?2,?4) ? ? ? ? 【2】 设 a ? (1,0,? 2), b ? (x,y,z),若 x2 ? y2 ? z2 ? 16,则 a b 的最大值为 ? ? ? ? 【解】∵ a ? (1,0,? 2), b ? (x,y,z) ∴ a . b ? x ? 2z



由柯西不等式[12 ? 0 ? (? 2)2](x2 ? y2 ? z2) ? (x ? 0 ? 2z)2 ? 5 ? 16 ? (x ? 2z)2 ? ? 4 5 ? x ? 4 5 ? ? ? ? ? ? 4 5 ? a . b ? 4 5 ,故 a . b 的最大值为 4 5
? ? ? ? ? ? 【3】 空间二向量 a ? (1, 2,3) ,b ? ( x, y, z ) ,已知 b ? 56 ,则(1) a ? b 的最大值为多少?(2)此时 b ? ? 答案:(1) 28:(2) (2,4,6)

4 9 36 【4】设 a、b、c 为正数,求 (a ? b ? c)( ? ? ) 的最小值。 a b c

答案:121 【5】. 设 x,y,z ? R,且满足 x2 ? y2 ? z2 ? 5,则 x ? 2y ? 3z 之最大值为
解(x ? 2y ? 3z)2 ? (x2 ? y2 ? z2)(12 ? 22 ? 32) ? 5.14 ? 70 ∴ x ? 2y ? 3z 最大值为 70

【6】 设 x,y,z ? R,若 x2 ? y2 ? z2 ? 4,则 x ? 2y ? 2z 之最小值为 时,(x,y,z) ? 2 2 2 2 2 2 2 解(x ? 2y ? 2z) ? (x ? y ? z )[1 ? ( ? 2) ? 2 ] ? 4.9 ? 36 x y z ?6 ?2 ? ? 2 ? ∴ x ? 2y ? 2z 最小值为 ? 6,公式法求 (x,y,z) 此时 ? 2 2 1 ? 2 2 2 ? (? 2) ? 2 3 ∴
x? ?2 4 ?4 ,y ? ,z ? 3 3 3
1

【7】 、设 x, y, z ?R, x 2 ? y 2 ? z 2 ? 25 ,试求 x ? 2 y ? 2 z 的最大值与最小值。
答:根据柯西不等式

(1 ? x ? 2 ? y ? 2 ? z ) 2 ? [12 ? (?2) 2 ? 2 2 ]( x 2 ? y 2 ? z 2 )
即 ( x ? 2 y ? 2 z ) ? 9 ? 25
2

而有 ? 15 ? x ? 2 y ? 2 z ? 15 故 x ? 2 y ? 2 z 的最大值为 15,最小值为–15。

【8】 、设 x, y, z ?R, 2 x ? y ? 2 z ? 6 ,试求 x 2 ? y 2 ? z 2 之最小值。 答案:考虑以下两组向量 ? ? ?2 ?2 ? ? u = ( 2, –1, –2) v =( x, y, z ) 根据柯西不等式 (u ? v ) 2 ? u ? v ,就有

[2 x ? (?1) y ? (?2) z ]2 ? [2 2 ? (?1) 2 ? (?2) 2 ]( x 2 ? y 2 ? z 2 ) 即 (2 x ? y ? 2 z ) 2 ? 9( x 2 ? y 2 ? z 2 ) 将 2 x ? y ? 2 z ? 6 代入其中,得 36 ? 9( x 2 ? y 2 ? z 2 ) 而有

x 2 ? y 2 ? z 2 ? 4 故 x 2 ? y 2 ? z 2 之最小值为 4。

【9】 设 x,y,z ? R,2x ? 2y ? z ? 8 ? 0,则(x ? 1)2 ? (y ? 2)2 ? (z ? 3)2 之最小值为 解: 2x ? 2y ? z ? 8 ? 0 考虑以下两组向量 ? , , u =( ? 2(x ? 1) ? 2(y ? 2) ? (z ? 3) ? ? 9, )

? , v =(

,

,

? ? ?2 ?2 ) (u ? v ) 2 ? u ? v

[2(x ? 1) ? 2(y ? 2) ? (z ? 3)]2 ? [(x ? 1)2 ? (y ? 2) 2 ? (z ? 3) 2].(22 ? 22 ? 12) ? (x ? 1) ? (y ? 2) ? (z ? 3) ?
2 2 2

(? 9) 2 9

?9

【10】 设 x, y, z ? R, 若 2x ? 3 y ? z ? 3 , 则 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? z 2 之最小值为________, 又此时 y ? ________。

解: 2 x ? 3 y ? z ? 3 ? 2x ? 3(y ? 1) ? z ?( 考虑以下两组向量 ? ? , , ) , v =( , , u =(

), )
36 14

解析: [ x 2 ? ( y ? 1) 2 ? z 2 ][ 2 2 ? (?3) 2 ? 12 ] ? (2 x ? 3 y ? 3 ? z ) 2 [ x 2 ? ( y ? 1) 2 ? z 2 ] ?
x y ?1 z ? ? t? , ? 2 x 2 ? 3 1 2 3 ∴t ? ∴y?? 7 7 ?3 y ? z

∴最小值
3

18 7

? 3 , ? 2t ( 2 ?) t ? 3 ( ?3 t ?1 )?

【11】 设 a,b,c 均为正数且 a ? b ? c ? 9,则

4 9 16 ? ? 之最小值为 a b c

解:考虑以下两组向量 ? ? , , ) , v =( , , ) u =( 2 3 4 4 9 16 ? ? 2 ?2 ?2 (u ? v ) ? u ? v ( ? a? ? b? ? c ) 2 ? ( ? ? )(a ? b ? c) a b c a b c 4 9 16 ? ( ? ? ).9 ? (2 ? 3 ? 4)2 ? 81 a b c 4 9 16 81 ? ?9 ? ? ? a b c 9
2

【12】 、 设 a, b, c 均为正数, 且 a ? 2b ? 3c ? 2 , 则

1 2 3 此时 a ? ________。 ? ? 之最小值为________, a b c

解:考虑以下两组向量 ? , , u =(
? ? ?2 ?2 (u ? v ) 2 ? u ? v

)

? , v =(

,

,

)
1 2 2 3 ) ? ( ) 2 ? ( ) 2 ] ? (1 ? 2 ? 3) 2 a b c
a 1 a ? 2b 2 b ? 3c 3 c

[( a ) 2 ? ( 2b ) 2 ? ( 3c ) 2 ][(

1 2 3 ∴ ( ? ? ) ? 18 ,最小值为 18 a b c

? ? 等号发生于 u // v 故

1 3 2 2 2 【13】 、设 x, y, z ? R,若 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? z ? 4 ,则 3x ? y ? 2 z 之范围为何?又 3x ? y ? 2 z 发生最 小值时, x ? ? 答案: [( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? z 2 ][32 ? (?1) 2 ? (?2) 2 ] ? (3x ? 3 ? y ? 2 ? 2 z ) 2

∴a ?b ?c

又 a ? 2b ? 3c ? 2 ∴ a ?

4(14) ? (3x ? y ? 2 z ? 5) 2 ? 2 14 ? 3x ? y ? 2 z ? 5 ? 2 14 5 ? 2 14 ? 3x ? y ? 2 z ? 5 ? 2 14 x ?1 y ? 2 z 若 3x ? y ? 2 z ? 5 ? 2 14 又 ? ? ? t ∴ 3(3t ? 1) ? (?t ? 2) ? 2(?2t ) ? 5 ? 2 14 3 ?1 ?2 14 3 14 ?1 ∴t ? ? ∴x ? ? 7 7
( x ? 1) 2 ( y ? 2) 2 ( z ? 3) 2 ? ? ? 1 ,求 x ? y ? z 之最大值,最小值。 【14】. 设 x,y,z ? R 且 16 5 4 【解】 ( x ? 1) 2 ( y ? 2) 2 ( z ? 3) 2 ? ? ?1 16 5 4 由柯西不等式知



? x ?1 2 y?2 2 z ?3 2 ) ?( ) ?( ) [42 ? ( 5 )2 ? 22] ?( 2 5 ? 4
z ?3 ? ( ) 2 ? ?
2

? x ?1 y?2 ? ? ? ? ?4.( ) ? 5.( ) ? 2. 4 5 ? ?

? 25 ? 1 ? (x ? y ? z ? 2)2

? 5 ? |x ? y ? z ? 2|

? ?5?x?y?z?2?5 ∴ ?3?x?y?z?7 故 x ? y ? z 之最大值为 7,最小值为 ? 3

3