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福建省厦门市湖滨中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理

厦门市湖滨中学 2015---2016 学年第二学期期中考 高二数学(理)试卷
本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟 A卷 一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 ) 1. 复数 A.i

i?2 ? 1 ? 2i
B.?i C. ?

4 3 ? i 5 5

D. ?

4 3 ? i 5 5

2.物体运动方程为 S ? t 4 ? 3 ,则 t ? 2 时瞬时速度为 A.2 B.4 3. 下列推理所得结论正确的是 C.6 D.8

1 4

A.由 a(b ? c) ? ab ? ac 类比得到 loga ( x ? y) ? loga x ? loga y B.由 a(b ? c) ? ab ? ac 类比得到 sin( x ? y) ? sin x ? sin y C.由 (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 类比得到 ( xy) z ? x( yz ) D.由 (ab) ? a b 类比得到 ( x ? y) ? x ? y
n n n n n n

4. 设 f ( x) ? x ln x ,若 f '( x0 ) ? 2 ,则 x0 ? A.e
2

B. e

C.

ln 2 2

D. ln 2

5. 若 i 为虚数单位,图中网格纸的小正方形的边长是 1,复平面内点 Z 表 示复数 z ,则复数 z 的共轭复数是 A.2+ i B.???i C.???i D.???i 3 2 6. 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? (a ? 6) x ? 1 有极大值和极小值,则 实数 a 的取值范围是 A. ? 3 ? a ? 6 7.与椭圆 B. a ? ?3 或 a ? 6 C. ? 1 ? a ? 2 D. a ? ?1 或 a ? 2

5 x2 y 2 ? ? 1 有公共焦点,且离心率 e ? 的双曲线方程是 4 49 24
B.

A.

x2 y 2 ? ?1 16 9

x2 y 2 ? ?1 9 16

C.

y 2 x2 ? ?1 16 9

D.

y 2 x2 ? ?1 9 16

8. 若 f ( x) ? ? x3 ? bx ? 2 在 (1,+?) 上是减函数,则 b 的取值范围是( A. [3, ??) B. (3, ??) C. (??,3] D. (??,3)



1

9. 点 P 是曲线 y ? x 2 ? ln x 上任意一点, 则点 P 到直线 y ? x ? 2 的距离的最小值是 A.1 B. 2 C.2 D. 2 2

10. 设函数 f ( x ) 在 R 上可导,其导函数为 f ?( x ) ,且函数 y ? (1 ? x) f ?( x) 的图象如图所示,则下 列结论中一定成立的是 A. 函数 f ( x ) 有极大值 f (2) 和极小值 f (1) B.函数 f ( x ) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (1) C.函数 f ( x ) 有极大 值 f (2) 和极小值 f (?2) D.函数 f ( x ) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (2) 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分, 共 16 分。 ) 11. 若 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? a 2 在 x = 1 处 有 极 值 10 , 则 . 12.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案,则第 n 个图案中有白色地面砖的 块数是 .

a?b=

13.函数 f ( x) ? 2 x3 ? 6 x2 ? m ( m 为常数)在 ? ?2, 2? 上有最大值 2,那么此函数在 ? ?2, 2? 上最小 值为 .

14. 由曲线 y ? sin x 和 y ? cos x ,与直线 x ? 0 , x ? (图中阴影部分)的面积为 .

?
2

所围成的平面图形

三、解答题: (本大题共 3 个小题,共分.解答应写出文字说明、证明或演算步骤。 )

E BC 的中点,F 是 DD1 15. (本小 题满分 10 分) 在边长为 2 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, 是
的中 点, (1) 求证: CF ∥平面 A 1DE ; ( 2 )求二面角 E ? A 1D ? A 的 平面角大小的余弦值.
A1 F D1 C1 B1

D E A B

C

16. (本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1, (1)求 a2 , a3 , a4 , a5 ; (2)猜想 an 的表达式,并用数学归纳法加以证明.
2

17. (本小题满分 12 分)边长为 10cm 的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长均为 x 的小正方形, 然后做成一个无盖方盒。 (1)试把方盒的容积 V ,表示为 x 的函数; (2) x 多大时,方盒的容器的容积最大?并求出最大容积.

B卷 四、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 ) 18. 2 2 ? 7
2 2

) 6 ? 5 .(请在横线上填“ ? ”,” ? ”或“=”
?

19.已知双曲线 x ? y ? 1 的左、右焦点分别是 F1 、 F2 ,点 P 在双曲线上,且 ?F1 PF2 ? 60 ,则

| PF1 | ? | PF2 |?

.20. 过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A, B
2

两点,点 O 是原点,若 AF ? 3 ,则 ?AOB 的面积为

.

21.已知 f ( x) ? lg x ,函数 f ( x) 定义域中任意的 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,有如下结论: ① 0 ? f ?(3) ? f (3) ? f (2) ? f ?(2) ; ② 0 ? f ?(3) ? f ?(2) ? f (3) ? f (2) ; ④ f( .



f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0; x1 ? x2

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) )? . 2 2

上述结论中正确结论的序号是

三、解答题: (本大题共 3 个小题,共分.解答应写出文字说明、证明或演算步骤。 ) 22. (本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? ln(x ? 1) ? x . (1)求函数 f ( x) 的单调递减区间; (2)若 x ? ?1, 求证: ln( x ? 1) ? x

3

23. (本小题满分 12 分)已知 F1 , F2 分别是椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,过 F2 (2,0) a 2 b2

与 x 轴垂直的直线交椭圆于点 M ,且 MF2 ? 3 . (1)求椭圆的标准方程; (2)已知点 P(0,1) ,问是否存在直线 l 与椭圆交于不同的两点 A, B ,且 AB 的垂直平分线恰好过 P 点?若存在,求出直线 l 斜率的取值范围;若不存在,请 说明理由. .

1 24. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? a( x ? ) ? 2ln x (a ? R) . x (1)若 a ? 2 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线 方程 ; (2)求函数 f ( x ) 的单调区间;
(3)设函数 g ( x) ? ? 取值范围.

a .若至少存在一个 x0 ? [1,e] ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求实数 a 的 x

4

厦门市湖滨中学 2015---2016 学年第二学期期中考 高二数学试题答案 一、 题号 答案 选择题: 1 A 2 D 3 C 4 A 5 B 6 B 7 A 8 C 9 B 10 D

二、填空题: 11. -7 12. 4n+2 13. -38 14.

2 ?1

18.

<

19.

4

20.

3 2 2

21.

①③

15. 解: (1)分别以 DA,DC,DD1 为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则 A1(2, 0,2 ), E(1,2,0),D(0,0,0), C(0,2,0), F(0,0,1), ??3 分 则 DA1 ? ? 2,0, 2 ? , DE ? ?1, 2,0 ? , 设平面 A1DE 的法向量是 n ? ? a, b, c ? ,

???? ?

????

?

z D1 A1 F C1 B1

? ???? ? ? ?n ? DA1 ? 2a ? 2c ? 0 则 ? ? ???? , ? ? n ? DE ? a ? 2b ? 0 ? 取 n ? ? ?2,1, 2 ? , ??? ? CF ? ? 0, ?2,1? , ??? ? ? ??? ? ? ?CF ? n ? ?2 ? 2 ? 0,?CF ? n ,
所以,CF∥平面 A1DE

??5 分
y D x E A B C

??6 分

(也可取 A1D 中点 M,连接 MF、ME,证明 FC∥ME 即可) (2) DC ? ? 0, 2,0 ? 是面 AA1D 的法向量,

????

???? ? DC ? n 1 cos ? ? ???? ? ? DC n 3

??8 分
1 3

二面角 E ? A1D ? A 的平面角大小的余弦值为

??10 分

16.

?? 4 分
(2)当 n=1 时 a1=2^1-1=2-1=1 假设 n=k 时

?? 6 分

5

ak=2^k-1 成立 则当 n=k+1 时 a(k+1)=2ak+1 由 a(n+1)=2an+1 而得 =2(2^k-1)+1 =2*2^k-2+1 =2^(k+1)-1 所以当 n=k+1 时等式成立 综上所以 an=2^n-1 17. (1) V ( x) ? (10 ? 2 x)2 x, x ? (0,5) (2)所以 V ?( x) ? 3x2 ? 20 x ? 25 , 令 V ?( x) ? 0 得 x1 ? , x2 ? 5 (舍去) 当 x ? (0, ) 时, V ?( x) ? 0 ;当 x ? ( ,5) 时, V ?( x) ? 0

?? 8 分

?? 10 分 ?? 12 分 ?? 4 分 ?? 6 分 ?? 8 分 ?? 10 分

5 3

5 3

5 3

5 是函数 V ( x) 的极大值点,也是最大值点。 3 5 所以,当 x ? 时,无盖方盒的容积 最大。 3
因此, x ? 22

?? 12 分

23、解: (1)由题意可得:

,解得 c=2,a=4,b2=12.

6

∴椭圆的标准方程为



?? 5 分

(2)假设存在直线 1 与椭圆交于不同的两点 A,B,且 AB 的垂直平分线恰好过 P 点. 则直线 l 的斜率存在,设 l 方程为:y=kx+t,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,线段 AB 的中点 N(x0,y0) .

联立

,化为(3+4k2)x2+8ktx+4t2﹣48=0,

?? 7 分

△=64k2t2﹣4(3+4k2) (4t2﹣48)>0, 化为:12+16k2>t2. ∴x1+x2= ,x1x2= .

?? 9 分

∴x0=

=

,y0=kx0+t=



?? 10 分

∴kPN=

=



∵PN⊥l, ∴ ?k=﹣1,
2

?? 11 分

化为:t=﹣3﹣4k . 代入△>0, 2 2 2 可得 12+16k >(﹣3﹣4k ) . 化为 16k4+8k2﹣3<0, 解得: ,即 .

因此存在直线 1 与椭圆交于不同的两点 A,B,且 AB 的垂直平分线恰好过 P 点.直线 l 的斜率范围 是 .

?? 12 分

24: (Ⅰ) 2 x ? y ? 2 ? 0 ; (Ⅱ)当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递减;

?? 4 分 ?? 5 分

当 0 ? a ? 1 时,在 x ?

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 或x? 上单调递增, a a
7



1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 上单调递减; ?x? a a

?? 6 分

当 a ? 1 时, f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递 增; (Ⅲ) a ? 0

?? 7 分

?? 12 分

8


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