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【步步高】高中数学北师大版必修4练习:1.3 弧度制(含答案解析)

§3 课时目标 弧度制 1.理解角度制与弧度制的概念,掌握角的不同度量制度,能对弧度和角度 进行正确的变换.2.掌握并会应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式. 1.角的单位制 (1)角度制:规定周角的____________为 1 度的角,用度作为单位来度量角的单位制叫 做角度制. (2)弧度制:把长度等于________的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角,记作________. (3)角的弧度数求法:如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对的弧长为 l,那么 l,α,r 之间 存在的关系是:__________;这里 α 的正负由角 α 的______________决定.正角的弧度数是 一个________,负角的弧度数是一个______,零角的弧度数是____. 2.角度制与弧度制的换算 角度化弧度 360° =______ rad 180° =____ rad 1° =________rad ≈0.017 45 rad 3.扇形的弧长及面积公式 弧度化角度 2π rad=________ π rad=______ 1 rad=____________ ≈57.30° =57°18′ 设扇形的半径为 R,弧长为 l,α (0<α<2π)为其圆心角,则 度量单位 类别 扇形的弧长 扇形的面积 α 为角度制 l=________ S=____ α 为弧度制 l=____ S=____=______ 一、选择题 π π ? ? ? ? 1.集合 A=?α|α=kπ+2,k∈Z?与集合 B=?α|α=2kπ±2,k∈Z?的关系是( ? ? ? ? ) A.A=B C.B? A B.A? B D.以上都不对 ) 2.已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2,那么这个圆心角所对的弧长是( A.2 B.sin 2 2 C. sin 1 D.2sin 1 ) 3.扇形周长为 6 cm,面积为 2 cm2,则其中心角的弧度数是( A.1 或 4 B.1 或 2 C.2 或 4 D.1 或 5 ) 4.已知集合 A={α|2kπ≤α≤(2k+1)π,k∈Z},B={α|-4≤α≤4},则 A∩B 等于( A.? B.{α|-4≤α≤π} C.{α|0≤α≤π} D.{α|-4≤α≤-π,或 0≤α≤π} 11 5.把- π 表示成 θ+2kπ(k∈Z)的形式,使|θ|最小的 θ 值是( 4 π A. 4 π B.- 4 3 C. π 4 3 D.- π 4 ) ) π 6.扇形圆心角为 ,半径长为 a,则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( 3 A.1∶3 B.2∶3 C.4∶3 D.4∶9 二、填空题 7.将-1 485° 化为 2kπ+α (0≤α<2π,k∈Z)的形式是________. 8.若扇形圆心角为 216° ,弧长为 30π,则扇形半径为____. 7π 9.若 2π<α<4π,且 α 与- 角的终边垂直,则 α=______. 6 π 10.若角 α 的终边与角 的终边关于直线 y=x 对称,且 α∈(-4π,4π),则 α= 6 ________________. 三、解答题 11.把下列各角化成 2kπ+α (0≤α<2π,k∈Z)的形式,并指出是第几象限角: 23 (1)-1 500° ;(2) π;(3)-4. 6 12.已知一扇形的周长为 40 cm,当它的半径和圆心角取什么值时,才能使扇形的面积 最大?最大面积是多少? 能力提升 13. 已知一圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长, 那么其圆心角的弧度数的绝对值 为________. 14.已知一扇形的中心角是 α,所在圆的半径是 R. (1)若 α=60° ,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积; (2)若扇形的周长是一定值 c (c>0),当 α 为多少弧度时,该扇形有最大面积? 1.角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集 R 之间建立起一一对应的关系: 每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯 一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应. 2.解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°=π”这一关系式.易知:度数 π ?180?=度数. × =弧度数,弧度数× ? π ? 180 3.在弧度制下,扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化,具体应用时,要注意角的 单位取弧度. §3 知识梳理 1 . (1) 1 360 (2) 半径长 1 rad 弧度制 l r 答案 (3)|α|= 终边的旋转方向 正数 负数 0 2 . 2π 360° π 180° 作业设计 1.A π ?180? απR απR2 1 2 1 ° 3 . αR αR lR 180 ? π ? 180 360 2 2 1 2 2.C [r= ,∴l=|α|r= .] sin 1 sin 1 3.A [设扇形半径为 r,圆心角为 α, 2r+αr=6 ? ? ? ? ?r=1 ?r=2 则?1 2 ,解得? 或? .] ?α=4 ?α=1 ? ? ?2αr =2 ? 4.C [集合 A 限制了角 α 终边只能落在 x 轴上方或 x 轴上.] 5.D 3 ? 11 [∵- π=-2π+? ?-4π?, 4 3 ∴θ=- π.] 4 6.B [设扇形内切圆半径为 r, r 则 r+ =r+2r=a.∴a=3r,∴S 内切=πr2. π sin 6 1 1 π 2 1 π 2 3 2 S 扇形= αr2= × × a= ×× 9r = πr . 2 2 3 2 3 2 ∴S 内切∶S 扇形=2∶3.] 7 7.-10π+ π 4 解析 ∵-1 485° =-5× 360° +315° , 7 ∴-1 485° 可以表示为-10π+ π. 4 8.25 π 6π 6π 解析 216° =216× = ,l=α·r= r=

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