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不等式恒成立问题中参数范围的求解策略


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中学数学

5 # # @年第 5期

不等式恒成立问题中参数范围的求解策略
! " # # $ ! 武汉市关山中学
求解参数 范 围 是 中 学 数 学 教 学 中 的 重 点 难点 问 题 % 同时也是高考和数学竞赛试题中 的热 点 问 题 % 尤以不等式恒成立问题中求参 由于该类题目 数范 围 的 题 目 更 是 屡 见 不 鲜 & 涉及的 知 识 面 广 ’ 综合性强% 同时数学语言抽 因而这类题目也是广大中学师生感到非 象% 常棘手 的 问 题 & 本文试图通过 列 举 实 例% 介绍 一些基本的求解途径 &

刘元利

上恒成立 % 则

A


5 . 1:. " %



< . " / 0 # &

A
解得

. " B 5 . 1B 3 %

< 5 .1 / 0 # & . 3 : 1: ! & 5

< 3 / 0 # & 评注 本题但对称 5 /中 的 区 间 一 定 %

A

5 . 10 3 %

轴未 定 % 因而分类讨论对称轴与区间的位置 借助函数的单调性来处理显得自然合 关系 % 理& 对于底数含有参数的指对 /数 不 等 式 及 含有绝对值不等式的恒成立问题一般都要进 行分类讨论 &

利用函数图像求范围 ( 数形结合 %
例 ( 设 )* + 若不等式 ) # % ! , % ! .) / 求 1的取值范围 & 01 )恒成立 % 解
5 5 设2 则! .) / % ). 5 / 62 34 ) 3

通过参变互换求范围 C 变更主元 %
例 C
5 使 得不等式 ) 求 6E ) 63 05 ) 6 E恒成立 %

是圆心在半 径 为 5的 上 4 ! 2 / % 5 % # / % 37 # 半圆 8 & 又设 2 则它 是 ) % 54 1 斜率为 1 的直线 9 过原点 % & 在同一直角坐标系下作出 如图 3 依题 它们的图像 / & 意% 半圆 8恒在直线 9 上方 只有 1 时成立 % 故1 时% :# 的取值范围为 1: # & 评注 若不等式的两端的图形较易作出 时% 则通过数形结合直观形象% 有时这的确是 一种好方法 & 图3

对于满足条件 D 的实数 E E D B5 %

)的取值范围 & 分析 本题若一味地试图通过主元的 一元二次不等 式 G 来求解% 则不仅繁杂% 而且 F 还讨论 不 出 所 以 然 来 & 若F 反客为主G 设 E为 % 则问题迎刃而解 & 主元 % 解 H 设
5 ) 6E )6 3 0 5 )6 E 5 6E )6 3 . 5 ). E0 # & ) 5 < E / 4) 6E )6 3 . 5 ). E 5 % 4 ). 3 / E6 ). 3 /

则< 是关于 E的一次函数 & E / I J H 解得 即 . 5 B EB 5 % 恒成立 < E / 0 #

借助函数性质求范围 ; 分类讨论 %
例 ;
5 已知 < ) / 4) 65 1 .5 / )6 ! %

若对一切 ) 恒成立 % 求 *= % < ) / 0# 3 / 1的取值范围 > 若对一切 )* + 恒 5 / ." % 3 , % < ) / 0# 成立 % 求 1的取值范围 & 解
5 依题意知 % 3 / ) 65 1 .5 / )6 !

& )0 3或 ):. 3 )0 " 或 ):. 3 &

A A

< . 5 / 0 # %

< 5 / 0 # &

)0 "或 ): 3 %

K 逐步减元求范围

对 一 切 )* = 恒 成 立 % 则 必 有 ?: # 即 0 # % 解得 # @ : # % : 1: ! > ! 1. 5 /. 3
5

例 K 函数 < 是奇函数 % 且在 + ) / .3 % 3 , 对 所有的 )* + 及1 都成 .3 % 3 , *+ .3 % 3 , 求L 的取值范围 & 立%

5 上 递增 % 若< < . 3 / 43 & ) / BL .5 1 L 63

由于< 的图像的对称轴方程为 5 / ) / 要使得 < 在 )* + )4 5 .1 % ) / 0# ." % 3 ,

, + + K年第 ,期 !!" !!!" 复习 参考 !!!"

中学数学

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刘光清

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. i i 令

安凤吉 ’ ( ) * + + 浙江省宁波市北仑中学 陆 建 , , ) ( 江苏省滨海八滩中学 ( ) + + 湖北省南璋县一中
题组新编

/ 0下 列 条 件 对 于 函 数 1 # 2 &定 义 域 中 的 其中 # 每 一个 2都成立 3 4 5+ 3 6 5+ 3 4 3 7 3 6 8 9 & : 条件 ;1 # ( & # 2 & <1 # <2 & = + > 条件 ?1 # 4@ 2 & =1 # 4< 2 & > 条件 A1 # 6 2@ 7 & =1 # <6 2< 7 & > + 条件 B1 # 2 & = # 2< 4 & C 其中判断函数 1 # 2 &是 偶 函 数 的 条 件 是 C 条件 ;1 # , & # 4@ 2 & =1 # 4< 2 & > ?1 # 2 & =1 # , 4< 2 & > A1 # ’ 4< 2 & =1 # 2< 4 & > B1 # 2 & = # 2< 4 &C 其 中可以判断函数 1 的图像关于直线 2 # 2 & = C 4对称的条件是 条件 ;1 # ’ & # 2@ 4 & =1 # 2< 4 & > 条件 ?1 # 2@ 4 & =< 1 # 2 & > ( > 1 # 2 & + 条件 B1 # 2 & = # 2< 4 &C 其中可以判断函数 1 是周期为 , # 2 & 4的 周 期 条件 A1 # 2@ 4 & =< C 设函数 1 任取 2 D 0 # 2 &的 定 义 域 为 E3 F ( 且2 给出下列 I F 2 8G 3 3 1 # 2 & 5H ( 3 2 , (5 2 , 个关系式 : & =1 # 2 & J 1 # 2 & > # ( & 1 # 2 (@ 2 , ( , 2 & =1 # 2 & @1 # 2 & > # , & 1 # 2 (J , ( , 1 # 2 & <1 # 2 & ( , > # ’ & 1 # 2 & = (< 2 , ( @1 # 2 & 1 # 2 & ( , 解 所以 易知 1 # 2 & 3 eZ f= (
, +

# & 1 # 2 & = (< 2 ,

( @1 # 2 & 1 # 2 & ( , > 1 # 2 & <1 # 2 & , ( & @1 # 2 & # ) & 1 # 2 (@ 2 , (< 2 , = , 1 # 2 & 1 # 2 & > ( ,

2 ( (@ 2 , # K & 1 # & L M 1 # 2 & @1 # 2 & N > ( , , , 2 ( (@ 2 , & P # O & 1 # M 1 # 2 & @1 # 2 & N > ( , , , 1 # 2 & <1 # 2 & ( , # * & L + > 2 (< 2 , 1 # 2 & <1 # 2 & ( , # I & P + C 2 (< 2 , 试在下列函数后的横线上填上它所满足的关 系式的序号 :
2 # 4L ( & 3 E= 9 C # Q & 1 # 2 & =4 2

>

# Q Q & 1 # 2 & =R S T 4# + P 4P ( & 3 E= 9 @C > # Q Q Q & 1 # 2 &= U S V 2 3 E= # < > W # Q X & 1 # 2 & =Y Z [ 2 3 E= # + 3 & C C , , 抛 物 线 上 两 点 满 \ 0 # ( & ]= , ^ 2 _ F ‘ 则直线 _ 足: a _b a ‘ # a为 顶 点 & 3 ‘经 过 的 定点坐标为 >

W W 3 & C , ,

函数的条件是

, 抛物线 ] # , & =, ^ 2上一定点 c # 2 3 ] & + +

及 两动点 _ 则直线 _ F ‘满足 c _b c ‘ 3 ‘经 过的定点坐标为 >
, 抛物线 ] 上两点 _ 顶点为 # ’ & =, ^ 2 F ‘ 3

ddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd
l i n 对 48 M 恒成立 k # 4 & j + < ( 3 ( N 及 1 # 2 & g h< , 4 h @ (对 28 M <( 3 ( N 恒成立 48 M < ( 3 ( N
, 对 ( g h < , 4 h @ (

m

k # ( & j + 3 k # < ( & j + C 或 h g< , 或 h = + C 对于含有两个以上变量的参数范

及 28 M < ( 3 ( N

h j , 评注

恒成立 48 M < ( 3 ( N 对 48 M 恒成立 C h< , 4 h j + < ( 3 ( N
,

围问题 3 可根据题意依序减 元 化 归3 采用以上 方法可以达到目的 C 收稿日期 : # , + + ) ( , ( + &

k # 4 & =< , h 4@ h 3

,

不等式恒成立问题中参数范围的求解策略
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 被引用次数: 刘元利 430074,武汉市关山中学 中学数学 MIDDLE SCHOOL MATHEMATICS 2006,""(2) 1次

引证文献(1条) 1.王明山.刘元利 不等式恒成立问题的分离参数解法[期刊论文]-数学教学研究 2007(9)

本文链接:http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_zxsx200602014.aspx 授权使用:华中师范大学(hzsfdx),授权号:6f71e7b1-8524-4145-a5af-9ddb01020996 下载时间:2010年8月23日


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