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贵州省六校联盟2013届高三第二次联考试卷数学理试题


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贵州省六校联盟 2013 届高三第二次联考试卷数学理试题
本试题卷分第 I 卷(选择题)和第 11 卷(非选择题表达题)两部分,满分 150 分,考试用时 150 分钟。. 注意事项: 1.答题时,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、班级、考场号在答题卡上填写清楚, 并请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目,在规定的位置贴好条形码。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡 皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号。在本试题卷上答题无效。 参考公 式: 球的表面积公式: s ? 4? R 球的体积公式: v ?
2

其中 R 表示球的半 径 其中 R 表示球的半径

4 ? R2 3

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p, 那么在 n 次独立重复试验中事 件 A 恰好发生 k
k 次的概率 P (k ) ? Cn pk (1 ? p)n?k (k ? 0,1, 2,...n) n

第Ⅰ 卷
一、选择题:本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1、已知集合 A ? {x ? Z || x ? 1 |? 2}, B ? {x | log2 ( x ? 1) ? 1} ,则集合 A∩B 的元素个数为 A.0 B.2 C.5 D.8

2、已知 i 为虚数单位,复数 z ? A.

3 i 2

1 ? 2i ,则复数 z 的虚部是 1? i 3 1 B. C. ? i 2 2

D. ?

1 2

3、将 5 名支教志愿者分配到 3 所学校,每所学校至少分 1 人,至多分 2 人, 且其中甲、乙 2 人不到同一所学校,则不同的分配方法共有 A.78 种 B.36 种 C.60 种 D.72 种 4、执行如图所示的程序框图,若输入 x ? 2 ,则输出 y 的值为 A. 2 C. 11 B. 5 D. 23

5、已知:命题 p :“ a ? 1 是 x ? 0, x ?
2

a ? 2 的充分必要条件”;命题 x

q :“ ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 2 ? 0 ”.则下列命题正确的是
A.命题“ p ∧ q ”是真命题 ∧ q ”是真命题 C.命题“ p ∧(┐ q )”是真命题 B.命题“(┐ p ) D.命题“(┐ p )∧(┐ q )”是真命题

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6、双曲线

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? x2 y 2 a2 ? e ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线的倾斜角为 ,离心为率 e ,则 的 3 a2 b b

最小值为 A.

2 6 3

B.

2 3 3
1 3

C. 2 6

D. 2 3

7、设 X 为随机变量, X ~ B(n, ) ,若 X 的方差为 D ( X ) ?

A.

13 16
( ?log3? x )

B.

13 243

C.

6 243

4 则 P( X ? 2) 等于 3 80 D. 243

8、函数 f ( x) ? ?

( x ? 0) ( x ? 0)
B.1 对

?cos(? x)

的图像关于 y 轴对称的点共有

A.0 对

C.2 对

D.3 对
则 0 (n ? N * , n ? 2) , a2 1 3

9、 在数列 ?an ?中, 已知 a4 ? 3, a9 ? 5 , an?1 ? an ? an?1 ? 9 且 的值是 A.3 B.1 C.5 D.9

1 3 1 2 10、 函数 f ( x) ? x ? ax ? (a ? 1) x ? 1 在区间 ?1,5? 上为减函数,在区间 ? 6,??? 上为 3 2
增函数,则实数 a 的取值范围是 A. ?4,5? B. ?3,5? C. ?5,6? D. ?6,7?

11、定义在 R 上的函数 f (x) 不是常数函数,且满足对任意的 x 有 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,

f (2 ? x) ? f ( x) ,现得出下列 5 个结论:① f (x) 是偶函数,② f (x) 的图像关于 x ? 1 对
称,③ f (x) 是周期函数,④ f (x) 是单调函数,⑤ f (x) 有最大值和最小值,其中正确的是: A. ① ② ⑤
2 2

B. ② ③ ⑤

C.

② ③ ④

D.

① ② ③

12.过椭圆 C:

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个顶点作圆 x2 ? y 2 ? b2 的两条切线, 切点分 2 a b
2 2 2 3 3 3

别为 A,B,若 ?AOB ? 900 (O 是坐标原点) ,则椭圆 C 的离心率为 A. 2 B. C. D.

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。 第 22~第 24 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分。共 20 分)

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13、在 ? x ? ?

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.(结果用数值表示)

? ?

1 ? ? 展开式中含 x12 的项的系数为 ? 3 x?

18

14、如图,某三棱锥的三视图都是直角边为 2 的等腰直角三角形,则该三棱锥的四 个面的面积中最大的是 15、在平面直角坐标系中,点 O 是坐标原点,已知直线 3x+4y=12 与 x,y 轴分别相交 于 A,B 点,若点 P( x, y) 是 ?ABO 区域内(包括边界上)的一点,则点 P( x, y) 到三边 的距离和的取值范围是________. 16、三棱锥 S- ABC 中,SA⊥平面 ABC,AB⊥BC,SA=2,AB=BC =1,则三棱锥 S- ABC 的外接 球的表面积等于 . 三、解答题:(共六题。70 分。要求写出证明过程或演算步骤)

? 17、本小题满分 12 分) ABC 的外接圆的半径为 1, ( 三内角 A, B, C 的对应边长分别为 a, b, c

?? ? ?? ? m ? (a, 4cos B), n ? (cos A, b), 且 m ‖ n 。
(1)试判定 ?ABC 的形状 (2)求 sin A ? sin B 的范围 18、(本小题满分12分)某高校在2013年自主招生考试成绩 中随机抽取100名学生的笔试成绩, 按成绩分组: 第1组[75, 80),第2组[80,85),第3组[85,90),第4组[90,95),第5 组[95,100]得到的频率分布直方图如图所示. (1)分别求第3,4,5组的频率; (2) 若该校决定在笔试成绩较高的第3,4,5组中用分层抽 样抽取6名学生进入第二轮面试。 (ⅰ) 已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组,求学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试 的概率; (ⅱ) 学校决定在这已抽取到的6名学生中随机抽取2名学生接受考官L的面试,设第4组中有

X 名学生被考官L面试,求 X 的分布列和数学期望.

PA 19、 本题满分 12 分) ( 已知四棱锥 P—ABCD 中, ? 平面 ABCD,
底面 ABCD 为菱形, ?ABC ? 60 ,AB=PA=2,E.F 分别为
0

BC.PD 的中点。 (Ⅰ)求证:PB//平面 AFC; (Ⅱ)求平面 PAE 与平面 PCD 所成锐二面角的余弦值。 20.(本题满分 12 分)已知抛物线 C : y ? 4x 的焦点为 F,过点
2

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K (?1, 0) 的直线 l 与 C 相交于 A 、 B 两点,点 A 关于 x 轴的对称点为 D .
(Ⅰ)证明:点 F 在直线 BD 上; (Ⅱ)设 FA ? FB ?

??? ??? ? ?

8 ,求 ?BDK 的内切圆 M 的方程 . 9
a (a ? R). x ?1

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x)? ln x ?

(Ⅰ)函数 f ( x)在 x ? 2 处取得极值,求 a (Ⅱ)当 a ? 2 时,试比较 f ( x)与 1 的大小;

1 1 1 1 (n ? N* ) (Ⅲ)求证: ln(n ? 1)? ? ? ? ? ? 3 5 7 2n ? 1
请考生在第 22、23、24 题中任选一道作答,如果多做,则按所做的第一题计分。作答 时请写清题号。 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1;几何证明选讲 如图,已知 AP 是 圆O 的切线, P 为切点, AC 是 圆O 的 割线,与 圆O 交于 B,C 两点,圆心 O 在 ?PAC 的内部,点 M 是 BC 的中点. , (Ⅰ)证明 A P,O,M 四点共圆; (Ⅱ)求 ?OAM ? ?APM 的大小. 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程

x ? ?4 ? cos ? , 已知曲线 C 1 : ? ( ? 为参数) C 2 ? x ? 8cos ? , ( ? 为参数) , 。 ? ? y ? 3 ? sin ? , ? ? y ? 3sin ? ,
(1)化 C 1 ,C 2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若 C 1 上的点 P 对应的参数为 ? =

?
2

,Q 为 C 2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线

? x ? 3 ? 2t , C3 : ? ? y ? ?2 ? t

(t 为参数)距离的最小值。

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 2 (1)当 a ? ?3 时,求不等式 f ( x) ? 3 的解集 (2)若 f ( x) ? x ? 4 的解集包含[1,2],求 a 的取值范围。

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贵州省六校联盟 2013 届高三第二次联考试卷数学理试题答案
一、选择题:BBDDB ADDCD DB 二、填空题:13、

340 ?12 ? , 14、 3 , 15、 ? , 4? 9 ?5 ?

16、 6?

三、 17、解:依题意可得

(1)ab ? 4 cos A cos B, ab ? sin A sin B ? cos( A ? B) ? 0,? 0 ? A ? B ? ? , ?A? B ?

?
2

故 ?ABC 是直角三角形。--------------------------6 分

(2)? A ? B ?

?

,? sin A ? sin B ? sin A ? cos A ? 2 sin( A ? ) 2 4

?

? sin A ? sin B的取值范是 1, 2 ? -------------12分 ?
18、解:(1) 第三组的频率为0.06 ? 5=0.3; 第四组的频率为0.04 ? 5=0.2; 第五组的频率为0.02 ? 5=0.1. ……………………3分

?

(2)(ⅰ)设“学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试”为事件A,第三组应有3人进入面试
1 2 C2 ? C28 27 ? 则: P(A)= 3 145 C30

……………………6分 …………7分

(ⅱ)第四组应有2人进入面试,则随机变量 X 可能的取值为0,1,2. 且 P( X ? i ) ? X P
i 2 C2C4 ?i (i ? 0、2) ,则随机变量 X 的分布列为: 1、 2 C6

0

1

2

2 5

8 15

1 15
……………………10

E( X ) ?

8 2 2 ? ? 15 15 3

……………………12分

19、解析: (1)连结 BD 交 AC 于 O, ? ABCD 为菱形,则 BO=OD…………1 分 连结 FO,? PF ? DF ,? FO / / PB …………3 分

? FO ? 平面 AFC, PB ? 平面 AFC,
(2)? E 为 BC 中点,? AB ? 2 BE
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? PB / / 平面 AFC…………4 分

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? ?ABE ? 600 ,? AE ? 3BE ? AE ? BC,? AD / / BC,? AE ? AD. …………6 分
建立如图所示的空间直角坐标系, {A; AE, AD, AP} , 则 E( 3,0,0), P(0,0, 2), C( 3,1,0) ,D(90,2,0)…………8 分 平面 PAE 的一个法向量为 m ? (0,1,0) ……9 分 设平面 PDC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z )

??? ??? ??? ? ? ?

??? ? ?n ? PD ? 0 ? 则 ? ???? ?n ? DC ? 0 ?

?( x, y, z ) ? (0, 2, ?2) ? 0 ? ?? ?( x, y, z ) ? ( 3, ?1, 0) ? 0 ?

?y ? z ? 0 ? ?? , 令y ? 3 ? n ? (1, 3, 3) …………11 分 ? 3x ? y ? 0 ?

? cos ? m, n ??

m?n 3 21 ? ? | m|?| n| 7 7
21 . ……12 分 7

? 平面 PAE 与平面 PCD 所成锐二面角的余弦值为
20、

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21、解析: (Ⅰ) f ( x) ? ln x ?

9 ,定义域是 (0,??) , 2( x ? 1)

f ?( x) ?

9 1 9 (2 x ? 1)(x ? 2) ? ? , 令 f ?(2) ? 0 ,解得 a ? ---------3 分 2 2 2 x 2( x ? 1) 2 x( x ? 1)

(Ⅱ)当 a ? 2 时, f ( x) ? ln x ?

2 ,定义域为 (0,??) . x ?1 2 ? 1, 令 h( x) ? f ( x) ? 1 ? ln x ? x ?1

? h?( x) ?
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1 2 x2 ? 1 ? ? ? 0, x ( x ? 1)2 x( x ? 1)2

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………………………7 分

? h(x) 在 (0,??) 上是增函数.
①当 x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 ,即 f ( x) ? 1 ;

②当 0 ? x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 ,即 f ( x) ? 1 ; ③当 x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 ,即 f ( x) ? 1 . ……………………………7 分

(Ⅲ) (法一)根据(2)的结论,当 x ? 1 时, ln x ? 令x ?

2 x ?1 ? 1 ,即 ln x ? . x ?1 x ?1

k ?1 k ?1 1 ? ,则有 ln , k k 2k ? 1
n

? ? ln
k ?1

n

k ?1 n 1 .…………10 分 ?? k k ?1 2k ? 1


? ln(n ? 1) ? ? ln
k ?1

k ?1 k
………………………12 分

? ln( n ? 1) ?

1 1 1 ? ??? . 3 5 2n ? 1

(法二)当 n ? 1 时, ln(n ? 1) ? ln 2 .

1 ? 3ln 2 ? ln 8 ? 1 ,? ln 2 ? ,即 n ? 1 时命题成立. …………………………7 分 3 1 1 1 设当 n ? k 时,命题成立,即 ln( k ? 1) ? ? ? ? ? . 3 5 2k ? 1 ?n ? k ?1 时 , k ?2 1 k? 1 l n? n ?? ? k ? ? ? ? ln ( . ? k ?1 3 5 2k ? 1 k ?1 2 x ?1 ? 1 ,即 ln x ? 根据(Ⅱ)的结论,当 x ? 1 时, ln x ? . x ?1 x ?1 k ?2 k ?2 1 ? 令x? ,则有 ln , k ?1 k ? 1 2k ? 3 1 1 1 1 ? 则有 ln(k ? 2) ? ? ? ? ? ,即 n ? k ? 1 时命题也成立.………11 分 3 5 2k ? 1 2k ? 3
因此,由数学归纳法可知不等式成立. (法三)如图,根据定积分的定义, 得 ………………………12 分 y

k

n 1 1 1 1 ?1 ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? dx . 1 2x ? 1 5 7 2n ? 1 n 1 1 n 1 ?? dx ? ? d (2 x ? 1) 1 2x ? 1 2 1 2x ? 1 1 1 n o 123456 … ? ln( 2 x ? 1) 1 ? [ln( 2n ? 1) ? ln 3] , 2 2 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ( ?? ? )? ?? dx ? ? ? ?? ? 3 5 7 2n ? 1 3 5 2n ? 1 3 1 2 x ? 1

n-1 n x

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?

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1 1 ? [ln( 2n ? 1) ? ln 3] . ………………………………12 分 3 2 1 1 2 ? 3ln 3 1 ? ? [ln(2n ? 1) ? ln 3] ? ln(n ? 1) ? ? [ln(2n ? 1) ? ln(n 2 ? 2n ? 1)] , 3 2 6 2
又? 2 ? 3 ? 3 ln 3 , ln(2n ? 1) ? ln(n2 ? 2n ? 1) ,……12 分

1 1 ? ? [ln( 2n ? 1) ? ln 3] ? ln( n ? 1) . 3 2 1 1 1 ? ? ??? ? ln( n ? 1) . 3 5 2n ? 1

…………………………………12 分

请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分, 做答时请写清题号。 (22)【解析】 (Ⅰ)证明:连结 OP,OM . 因为 AP 与 ? O 相切于点 P ,所以 OP ? AP . 因为 M 是 ? O 的弦 BC 的中点,所以 OM ? BC . 于是 ?OPA ? ?OMA ? 180° . 由圆心 O 在 ?PAC 的内部,可知四边形 APOM 的对角互 补, , 所以 A P,O,M 四点共圆.-----------------5 分 , (Ⅱ)解:由(Ⅰ)得 A P,O,M 四点共圆,所以

P

A B

O
M

?OAM ? ?OPM . 由(Ⅰ)得 OP ? AP . 由圆心 O 在 ?PAC 的内部,可知 ?OPM ? ?APM ? 90° . 所以 ?OAM ? ?APM ? 90° .------------------10 分
(23)解:(1)C1:(x+4)2+(y-3)2=1,C2:

C

x2 y2 ? ? 1. 64 9

C1 为圆心是(-4,3),半径是 1 的圆. C2 为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长半轴长是 8,短半轴长是 3 的椭圆.-----------5 分 (2)当 ? ?

?

2

时,P(-4,4),Q(8cosθ,3sinθ),故 M(-2+4cosθ, 2 ?

3 sin ? ). 2

C3 为直线 x-2y-7=0,M 到 C3 的距离 d ?

5 | 4 cos? ? 3 sin ? ? 13 | . 5

从而当 cos ? ?

4 3 8 5 , sin ? ? ? 时,d 取得最小值 ----------------------------10 分 5 5 5

(24) 【解析】 (1)当 a ? ?3 时, f ( x) ? 3 ? x ? 3 ? x ? 2 ? 3

x?2 x?3 ? ? 2? x?3 ? 或? ? 或? ? ?? ?3 ? x ? 2 ? x ? 3 ?3 ? x ? x ? 2 ? 3 ?x ? 3 ? x ? 2 ? 3
? x ? 1 或 x ? 4 -------------------5 分
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(2)原命题 ? f ( x) ? x ? 4 在 [1, 2] 上恒成立

? x ? a ? 2 ? x ? 4 ? x 在 [1, 2] 上恒成立
? ?2 ? x ? a ? 2 ? x 在 [1, 2] 上恒成立

? ?3 ? a ? 0 ---------------------10 分

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