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12.福建省厦门市2013届高三3月质量检查理科数学试题(word版)

厦门市 2013 届高三质量检查

数学(理科)试卷

第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分) 一. 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题所给的四个答案中有且只
有一个答案是正确的.
? ? ? ? 1.已知全集U ? R ,集合 A ? x x ? 3 , B ? x x ? 2 ? 0 ,则 A CU B 等于( )

A. (??,3]

B. (??,3)

C. [2, 3)

D. (?3, 2]

2. 双曲线 x2 ? y2 ? 1的渐近线方程为( ) 4

A.y ? ?2x

B.y ? ?4x

C.y ? ? 1 x 2

D.y ? ? 1 x 4

3. 某雷达测速区规定:凡车速大于或等于 80 km/h 的汽车视为“超速”,

并将受到处罚.如图是某路段的一个检测点对 200 辆汽车的车速进行检

测所得结果的频率分布直方图,则从图中可以看出被处罚的汽车大约有

()

A.20 辆 B.40 辆 C.60 辆 D.80 辆

4. “ ea ? eb ”是 log2 a ? log2 b ”的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

开始
i=0
输入正整数n

5.函数 f (x) ? x ? sin x (x ? R) ( )
A.是偶函数且为减函数 B. 是偶函数且为增函数

n为奇数?





n = 3n+1 n = n/2

C.是奇函数且为减函数 D. 是奇函数且为增函数

i=i+1


? y ? x,

6.若不等式组

? ?

y

?

0,

表示的平面区域为

M

,不等式

y

?

x2

表示的平面

n = 1?


??x ? 1

输出i

结束

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区域为 N ,现随机向区域 M 内投掷一粒豆子,则豆子落在区域 N 内的概率为( )

A. 1 6

B. 1 3

C. 1 2

2
D.
3

7.甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛采取五局三胜制,无论哪一方先胜三局则比赛结束,

假定甲每局比赛获胜的概率均为23,则甲以 3∶1 的比分获胜的概率为( )

A.

8 27

B.

64 81

C.

4 9

D.

8 9

8. 在右侧程序框图中,输入 n ? 5 ,按程序运行后输出的结果是( )

A.3

B.4

C.5

D.6

9.若函数 f (x) ? x3 ? 3x 在 (a, 6 ? a2 ) 上有最小值,则实数 a 的取值范围是( )

A. (? 5,1)

B.[? 5,1)

C. ??2,1?

D. (?2,1)

10. ?ABC 中, BC ? 2, A ? 45 , B 为锐角,点 O 是 ?ABC 外接圆的圆心,则 OA? BC 的
取值范围是( )

A. (?2, 2 2]

B. (?2 2, 2]

C. [?2 2, 2 2]

D. (?2, 2)

第Ⅱ卷 (非选择题 共 100 分) 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分。

11.若 (a ? i)2 为纯虚数( i 为虚数单位),则实数 a =

.

12.已知 sin(π ? x) ? 3 , 则 cos 2x =

.

2

5

13.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是等边三角形,俯视图

是半.圆.。现有一只蚂蚁从点 A 出发沿该几何体的侧面环绕一周回到

2

A 点,则蚂蚁所经过路程的最小值为________.

正视图

A

B

14.在含有 3 件次品的 10 件产品中,取出 n(n ? 10, n ? N *) 件产品,

记 ?n 表示取出的次品数,算得如下一组期望值 E?n :

俯视图

当 n=1 时,

E?1

?

0

?

C30C71 C110

?

1?

C31C70 C110

?3 10

;

当 n=2 时,

E?2

?

0

?

C30C72 C120

?

1?

C31C71 C120

?

2

?

C32C70 C120

? 6; 10

当 n=3 时,

E?3

?

0

?

C30C73 C130

?

1?

C31C72 C130

?

2

?

C32C71 C130

?

3?

C33C70 C130

?9; 10

……

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侧视图

观察以上结果,可以推测:若在含有 M 件次品的 N 件产品中,取出

n( n? N, n? N* )件产品,记 ξn 表示取出的次品数,则 Eξn =



15.某同学在研究函数 f (x) ? x2 ?1 ? x2 ? 6x ?10 的性质时,受到两点间距离公式的

启发,将 f (x) 变形为 f (x) ? (x ? 0)2 ? (0 ?1)2 ? (x ? 3)2 ? (0 ?1)2 ,则 f (x) 表示

| PA| ? | PB | (如图),下列关于函数 f (x) 的描述正确的是

.(填上所有正

确结论的序号)
① f (x) 的图象是中心对称图形;

② f (x) 的图象是轴对称图形;

y A(0,1)

③函数 f (x) 的值域为[ 13, ??) ;

OP
④方程 f [ f (x)] ? 1? 10 有两个解.

x B(3,-1)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤.

16.(本小题满分 13 分)

已知函数 f (x) ? 3 sin ? x ? 3 cos? x (? ? 0 )的周期为 4。

2

2

y

P

(Ⅰ)求 f (x) 的解析式;

O

(Ⅱ)将 f (x) 的图象沿 x 轴向右平移 2 个单位得到函数 g(x) 的图象, 3
P 、 Q 分别为函数 g(x) 图象的最高点和最低点(如图),求 ?OQP 的大小。
17.(本小题满分 13 分) 如图,PA,QC 都与正方形 ABCD 所在平面垂直,AB=PA=2QC=2,AC∩BD=O (Ⅰ)求证:OP⊥平面 QBD; (Ⅱ)求二面角 P-BQ-D 平面角的余弦值;
(Ⅲ)过点 C 与平面 PBQ 平行的平面交 PD 于点 E,求 PE 的值. ED
B
18.(本小题满分 13 分)

Q
P
A O

某城市 2002 年有人口 200 万,该年医疗费用投入 10 亿元。此后该城市每年新增人口

10 万,医疗费用投入每年新增 x 亿元。已知 2012 年该城市医疗费用人均投入 1000 元。

(Ⅰ)求 x 的值;

(Ⅱ)预计该城市从 2013 年起,每年人口增长率为 10%。为加大医疗改革力度,要求

第 3 页 共 15 页

x
Q D
C

将来 10 年医疗费用总.投.入.达到 690 亿元,若医疗费用人均投入每年新增 y 元,求 y 的值。

(参考数据:1.111 ? 2.85 )

19. (本小题满分 13 分)

已 知 函 数 f ( x)? x? al n x在 x ?1 处 的 切 线 l 与 直 线 x ? 2 y ? 0 垂 直 , 函 数
g( x)? f ( x)? 1 2x ? b.x 2
(Ⅰ)求实数 a 的值;

(Ⅱ)若函数 g(x) 存在单调递减区间,求实数 b 的取值范围;

(Ⅲ)设

x1,

x2 (x1

?

x2 ) 是函数

g(x)

的两个极值点,若 b

?

7 2

,求

g ( x1 )

?

g(x2 )

的最大

值.

20. (本小题满分 14 分)

已知椭圆 C1

:

x2 2

?

y2

?1.

(Ⅰ)我们知道圆具有性质:若 E 为圆 O: x2 ? y2 ? r2 (r ? 0) 的弦 AB 的中点,则直

线 AB 的斜率 kAB 与直线 OE 的斜率 kOE 的乘积 kAB ? kOE 为定值。类比圆的这个性

质,写出椭圆 C1 的类似性质,并加以证明;

(Ⅱ)如图(1),点 B 为 C1 在第一象限中的任意一点,过 B 作 C1 的切线 l , l 分别与

x 轴和 y 轴的正半轴交于 C,D 两点,求三角形 OCD 面积的最小值;

(Ⅲ)如图(2),过椭圆 C2

:

x2 8

?

y2 2

? 1 上任意一点 P 作 C1 的两条切线

PM



PN,

切点分别为 M,N.当点 P 在椭圆 C2 上运动时,是否存在定圆恒与直线 MN 相切? 若存在,求出圆的方程;若不存在,请说明理由.

y
D B
O

Cx

y P

M

N

O

x

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图(1)

图(2)

21.本题设有(1)(2)(3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分.如果 多做,则按所做的前两题计分. (1)(本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换

已知矩阵

A

?

??1

? ?

2

1??

3

? ?



B

?

?1

? ?

2

2?

3

? ?

.

(Ⅰ)求矩阵 A 的逆矩阵 A?1 ;

(Ⅱ)求直线 x ? y ?1 ? 0 在矩阵 A?1B 对应的线性变换作用下所得曲线的方程.

(2)(本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系

xOy

中,曲线

C

1

的参数方程是

?x

? ?

y

? ?

2 ? 2cos 2sin θ

θ,

(?

为参数).

(Ⅰ)将 C 1 的方程化为普通方程;

(Ⅱ)以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 设曲线 C 2 的极坐标方程是
θ ? π (ρ ? R) , 3
求曲线 C 1 与 C 2 交点的极.坐.标..

(3)(本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲
已知正数 x , y , z 满足 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 6 .

(Ⅰ)求 x ? 2 y ? z 的最大值;

(Ⅱ)若不等式 a ?1 ? 2a ? x ? 2y ? z 对满足条件的 x , y , z 恒成立,求实数 a 的
取值范围.

厦门市 2013 届高三质量检查 数学(理科)评分标准
一.选择题; BCABD BACCA 10.分析 1:BC=2, ?A ? 450 ,所以 2R ? a ? R ? 2 ,如图建系, sin A B(?1, 0),C(1, 0) O(0,1) , 求 得 圆 O : (x ?1)2 ? y2 ? 2 , 设 A( x, y), 则
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y

A1

OA? BC ? 分析 2: OA? BC ?| OA | ? | BC | cos ? OA, BC ?? 4 cos ? OA, BC ? …

O

A





3

B

D :C x

OA? BC ? (OD ? DA) ? BC ? DA? BC ? ? 1 (AC ? AB) ? (AC ? AB) ? 1 (c2 ? b2)

2

2



b sin B

?

c sin C

?

2 sin 450







1 (c2 ? b ) ? 1 [(2 2 sin C) ? (2 2 sin B) ] = 1 (c2 ? b2 ) ? 4(sin2 C ? sin2 B) ? ... 2

2

2

2

二. 填空题: 11. ?1

12. ? 7 25

13.

2 ? 6 (或 2 2? 3 )

mn
14.

N

15.②③

15.分析:如图设 P(x1, 0), Q(x2 , 0) ,当

P,Q

关于 ( 3 , 0) 对称时,即 2

x1

? x2 2

?

3 2

y

f

( x1 )

?

f

(x2 ) ,所以

f(x)关于 x

?

3 2

对称.

A Q

OP

M

x

④设 f (x) ? t ,则 f (t) ? 1? 10 ,观察出 t1 ? 0 ,则 t2 ? 3 ,由③知无解.

B

三.解答题:

16.本题考查了三角函数和角公式的变换和三角函数图像周期、对称、平移等基本性质,考

查运用有关勾股定理、余弦定理求解三角形的能力,考查了运用数形结合的数学思想解

决问题的能力.满分 13 分.

解:(1) f (x) ? 3 sin ?x ? 3 cos?x

2

2

? 3(1 sin ?x ? 3 cos?x)

2

2

----------------------------------------------1 分

? 3(sin?x cos ? ? cos?x sin ? ) ? 3 sin(?x ? ? ) --------------------3 分

3

3

3

因为?=4,? ? o,所以?= 2? = ? 42

------------------------------------5 分

所以f (x) ? 3 sin(? x ? ? ) 23

------------------6 分

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(2)将 f (x) 的图像沿 x 轴向右平移 2 个单位得到函数 3
g(x) ? 3 sin ? x ---------------------------7 分 2
因为 P 、 Q 分别为该图像的最高点和最低点,

所以 P(1, 3),Q(3, ? 3) --------------------------------------------------------------------------9 分 所以 OP ? 2, PQ ? 4, ----------------------------------------------------------------------------10 分

OQ ? 12,?cos? ? OQ2 ? PQ2 ? OP2 ? 3 ---------------------------------------------12 分

2OQ ? QP

2

所以? ? ? ---------------------------------------------------------------------------------------13 分 6
法 2: 可以得?POx ? 60o ,?P ? 60o ,?QOx ? 30o 所以? =30o

法 3:利用数量积公式 cos? ? QP ? QO ? (?2, 2 3) ? (?3, 3) ? 3 , 所以? =30o

QP ? QO

4 ?12 ? 9 ? 3 2

17. 本题主要考查空间直线与平面垂直的判断、线面平行及二面角的判断及计算、空间向 量应用的基本方法, 考查空间想象、计算、推理论证等能力.满分 13 分.
解:(Ⅰ)连接 OQ,由题知 PA∥QC,∴P、A、Q、C 共面 BD⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=A,
∴BD⊥平面 PACQ, ∴BD⊥OP. --------------------------------------1 分
由题中数据得 PA=2,AO=OC= 2 ,OP= 6 ,QC=1,OQ= 3
∴△ PAO∽ △ OCQ,∴∠POA=∠OQC, 又∵∠POA+∠OPA=90°∴∠POA+∠COQ=90°∴OP⊥OQ ( 或 计 算 PQ=3 , 由 勾 股 定 理 得 出 ∠POQ=90°, OP⊥OQ ) ------------------3 分 ∵OP⊥BD, OP⊥OQ,BD∩OQ=O,∴OP⊥平面 QBD--------------------------4 分 (Ⅱ)如图,以 A 为原点,分别以 AB,AD,AP 所在直线为 X,Y,Z 轴建立直角坐标系, ∴各点坐标分别为 A(0,0,0) ,B(2,0,0) ,C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),Q(2,2,1),O(1,1,0)------------------5 分
∴ BP =(-2,0,2), BQ =(0,2,1),设平面 PBQ 的法向量 n ? (x, y, z)



?? ? ??

n ? BP ? ?2x ? n ? BQ ? 2 y ?

2z ? 0 z?0

,得

? x?z ??2y ? ?z



不妨设 y ? ?1 ,

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∴ n ? (2,?1,2) --------------------------------------------------------------------------------------------------
6分

由(Ⅰ)知平面 BDQ 的法向量 OP ? (?1,?1,2) ,
---------------------------------------------------------------------------7 分

cos ? OP , n >= OP ? n ? ?2 ?1? 4 ? 6 ,

OP ? n

6?3 6

∴二面角 P-BQ-D 平面角的余弦值为

6 .-------------------------------------------------------------------------------------9 分 6

(Ⅲ)设 PE ? ?ED ,∴ PD ? PE ? ED ? (1? ?)ED ? ?0, 2, ?2? , ED ? 1 ?0,2, ?2?
1? ?

CE

?

CD

?

DE

?

? ??

?2, ?2 1? ?

,2 1? ?

? ??



-------------------------------------------------------------------------------------------11 分

∵CE∥平面 PBQ,∴ CE 与平面 PBQ 的法向量 n ? (2,?1,2) 垂直。

n ? CE ? ?4 ? 2 ? 4 ? 2 ? 4? ? 0 ,------------------------------------------------12 分 1?? 1?? 1??
∴? ? 1. 2

∴ PE ? 1 --------------------------------------------------------------------------------------------13 分 ED 2 (方法二)在平面 PAD 中,分别过 D 点、P 点作直线 PA、AD 的平行线相交于点 M, 连结 MC 交直线 DQ 与点 N,在平面 PQD 中过点 N 作直线 NE∥PQ 交 PQ 于点 E,
----------------------------11 分 由题可知 CN∥PB,NE∥PQ,CN∩NE=N
∴平面 CNE∥平面 PBQ,∴CE∥平面 PBQ----------------------------------12 分

∵CQ=1,MD=PA=2,∴ QN ? 1 ND 2

∵NE∥PQ, PE ? 1 -------------------------------------------------13 分 ED 2

18.本题主要考查学生审题阅读、理解分析的能力,考查等差等比数列 的基本知识,考查数学建模及其应用与计算的能力,考查运用数学知识分析问题和

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解决实际问题问题的能力.满分 13 分. 解:(Ⅰ)依题意,从 2002 年起,该城市的人口数组成一个等差数列,
到 2012 年 , n ?11 , 该 城 市 的 人 口 数 为 200 ? (11?1) ?10 ? 300 万 人 ,

--------------------------------2 分

故 2012 年医疗费用投入为 300?104 ?1000 ? 3?109 元,即为 30 亿元,
由 于 从 2002 年 到 2012 年 医 疗 费 用 投 入 也 组 成 一 个 等 差 数 列 , ------------------------------------------4 分

所以10 ? (11?1)x ? 30 ,解得 x ? 2 ,---------------------------------------------5 分

(Ⅱ)依题意,从 2013 年起(记 2013 年为第一年),

该城市的人口数组成一个等比数列{an} ,

其中 a1 ? 300? (1?10%) ? 300?1.1,公比 q ?1.1 ,

an ? 300 ?1.1n ----------------------------------------6 分

医疗费用人均投入组成一个等差数列 {bn } ,

其中 b1 ? 1000 ? y ,公差为 y , bn ? 1000 ? ny ;----------------------------7 分
于是,从 2013 年起,将来 10 医疗费用总投入为:

S10 ? a1b1 ? a2b2 ? ? a10b10 ,--------------------------------------------8 分

S10 ? 300(1000 ? y) ?1.1? 300(1000 ? 2 y) ?1.12 ? ? 300(1000 ?10 y) ?1.110


1.1S10 ? 300(1000 ? y) ?1.12 ? 300(1000 ? 2 y) ?1.13 ? ? 300(1000 ?10 y) ?1.111


相减得:?0.1S10 ? 300[1100 ?1.1y ?1.12 y ? ?1.110 y ? (1000 ?10 y) ?1.111] ,

?0.1S10

?

300[1100 ? 1.1?1.111 1 ? 1.1

y

? (1000 ?10 y) ?1.111] ?

?300(11y ?1750)



所以 Sn ? 3000(11y ?1750) (万元),--------------------------------------------12 分 由题设, 3000(11y ?1750) ? 6900000 ,解得 y ? 50 。---------------------13 分

19. 本题主要考查函数的导数的几何意义,导数知识的应用等基础知识,函数的单调性、 考查运算求解能力、推理论证能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、数学建 模应用解决问题、分类与整合思想。满分 13 分.
解:(Ⅰ)∵ f (x) ? x ? a ln x , f ?(x) ? 1? a .-------------------------------1 分 x
∵ l 与直线 x ? 2 y ? 0 垂直,∴ k ? y? x?1 ? 1? a ? 2 ,
第 9 页 共 15 页

∴ a ?1.---------------------------------3 分









g(x) ? ln x ? 1 x2 ? (b ?1)x



2



g?(x)

?

1

?

x

? (b

?1)

?

x2

? (b

?1)x

?1 .---------------------------4



x

x

由题知 g?(x) ? 0 在 (0, ??) 上有解,

∵ x ? 0 ,----------------------------------------------------------------5 分 设 u(x) ? x2 ? (b ?1)x ?1,则 u(0) ?1 ? 0 ∴只须

?b ? ?

?1 2

?

0

------------------------------7 分

??? ? (b ?1)2 ? 4 ? 0

? ???bb??31或 b ? ?1 ? b ? 3 ,故 b 的取值范围为

(3, ??) .-------------------------------------------------8 分

( Ⅲ ) ∵ g?(x) ? 1 ? x ? (b ?1) ? x2 ? (b ?1)x ?1 , ∴ 令 g?(x) ? 0 , 得 :

x

x

x2 ? ( b ?1 )x ? 1? 0

∴ x1 ? x2 ? b ?1, x1x2 ? 1,



1:∵

g ( x1 )

?

g ( x2

)

?

[ln

x1

?

1 2

x12

?

(b

?1)x1]

?

[ln

x2

?

1 2

x22

?

(b

? 1) x2

]

?

ln

x1 x2

?

1 2

( x12

?

x22 ) ? (b

? 1)( x1

?

x2 )

?

ln

x1 x2

?

1 2

( x12

?

x22 )

?

( x1

?

x2 )(x1

?

x2 )

? ln

x1 x2

?

1 2

(

x12

?

x22 )

?

ln

x1 x2

?

1 ( x12 ? x22 ) 2 x1x2

?

ln

x1 x2

?

1 ( x1 2 x2

?

x2 ) x1

---

-------------------------10 分

∵0

?

x1

?

x2

,∴设 t

?

x1 x2

(0 ? t ? 1) ,令

h(t) ? ln t ? 1 (t ? 1),(0 ? t ?1) -------------------------11 分 2t

则 h?(t)

?1? t

1 (1? 2

1 t2

)

?

?

(t

?1)2 2t 2

?

0 ,∴ h(t)

在 (0,1)

上单调递减.----------2



又∵ b

?

7 ,∴ (b ?1)2 2

?

25 4

,即 (x1

?

x2 )2

?

(x1 ? x2 )2 x1 x2

?t

?1?2? t

25 4

第 10 页 共 15 页

∵ 0 ? t ?1,∴ 4t2 ?17t ? 4 ? 0 ,∴ 0 ? t ? 1 ,h(t) ? h(1) ? 15 ? 2ln 2 ,故所求最小

4

48

值为 15 ? 2ln 2 --13 分 8

法 2:同上得

g(x1 )

?

g(x2 )

?

1?b 2

( x1

?

x2 )

?

ln

x1 x2

? b ?1 2

( x1

?

x2

)2

?

4

?

ln

x22

?

b

?1 2

(b ?1)2 ? 4 ? 2 ln x2

? b ?1 (b ?1)2 ? 4 ? 2ln (b ?1) ? (b ?1)2 ? 4

2

2

? b ?1 (b ?1)2 ? 4 ? 2ln[(b ?1) ? (b ?1)2 ? 4] ? 2 ln 2 ------------10 分 2

h(t) ? t 2

令 t ? b ?1(t ? 5) ,则 2
t2 ? 4 ? 2 ln(t ? t2 ? 4) ? 2 ln 2 ----------------------------------------11 分

h?(t) ? 1 t2 ? 4 ? t2 ? 2 ? t2 ≥0--------------------12 分

2

2 t2 ?4 t2 ?4 t2 ?4

h(t) 在 (5 , ??) 上 为 增 函 数 . 当 t ? 5 时 , h(t) ? 15 ? 2ln 2. 故 所 求 最 小 值 为

2

2

8

15 ? 2ln 2 ---------------------13 分 8

20.本题主要考查直线、圆、椭圆等基础知识,考查类比推理论证能力、运算求解能力,考

查一般到特殊的思想方法、函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。考查数

学综合分析问题的能力以及创新能力。满分 14 分.

解:(Ⅰ)若

A,B

为椭圆 C1

:

x2 2

?

y2

? 1 上相异的两点, E(x0 ,

y0 )



A,B

中点,当直线

y

AB 的斜率 kAB 与直线 OP 的斜率 kOP 的乘积 kOP ? kAB 必为定值;------------1 分 D



1:设

A(

x1

,

y1

),

B(

x2

,

y2

)

,则

? ?? ? ? ??

x12 2 x22 2

? ?

y12 y22

? 1? ?(1) ? 1? ?(2)

B

O

Cx

(2)-(1)得:

( x2

?

x1 )( 2

x2

?

x1 )

?

(

y2

?

y1)(

y2

?

y1 )

?

0

,-----------2



仅考虑斜率存在的情况? :

第 11 页 共 15 页

x0

?

2 y0

? kAB

?

0

?

kOE

? kAB

?

?

1 2

----------------------------------------4





2:设

AB:

y

?

kx ? b 与椭圆 C1

:

x2 2

?

y2

? 1联立得:

(1? 2k 2 )x2 ? 4kbx ? 2b2 ? 2 ? 0

x1

?

x2

?

? 4kb 1? 2k 2

,-------------------------------------------------------2 分

所以

x0

?

2kb ?1? 2k 2

?

y0

b ? 1? 2k2

?

kOE

?

y0 x0

?

?1 2k

?

kOE

? kAB

?

?1 2

----------4



(Ⅱ)(ⅰ)当点 A 无限趋近于点 B 时,割线 AB 的斜率就等于椭圆上的 B 的切线的斜

率k ,

即k

kOB

? ?1 ,k 2

? ? x2 2 y2

所以点 B 处的切线 QB: y ?

y2

?

? x2 2 y2

(x ?

x2 )

?

x2 2

x?

y2 y

? 1 ----------------6 分

令 x ? 0,

yD

?

1 y2

,令 y

? 0, xC

?

2 x2

,所以 S?OCD

?

2 x2 y2

-----------------8 分

又点

B

在椭圆的第一象限上,所以

x2

?

0,

y2

?

0,

x2 2 2

?

y22

?1

?1 ?

x22 2

?

y22

?

2

x22 2

y22

?

2x2 y2

? S?OCD

?

2 x2 y2

?

2? 2

2 ,当且仅当

x2 2 2

?

y22

?

x2

?

2 y2 ? 1

所以当 B(1, 2 ) 时,三角形 OCD 的面积的最小值为 2 -------10 分(没写等号成立 2

扣 1 分)

(ⅱ)设

P(m, n)

,由(ⅰ)知点 M (x3,

y3 )

处的切线为:

x3 2

x

?

y3 y

?1



PM

过点

P( m,

n), 所 以

x3 2

m?

y3n

?1

,又可理解为点

M (x3, y3)

在直线

x m ? yn ? 1上 2

同理点 N (x4, y4 ) 在直线

xm? 2

yn ? 1上,所以直线

MN

的方程为: m x ? ny ?1 2

--------------------------12 分

第 12 页 共 15 页

所以原点 O 到直线 MN 的距离 d ?

1

? 2 ,----------13 分 P y

m2 ? n2

2

4

M

N

所以直线 MN 始终与圆 x2 ? y2 ? 1 相切. ------------------------14 分

O

x

2

21. (1)选修 4-2:矩阵与变换 本小题主要考查逆矩阵、矩阵的乘法等基础知识,考查书写表达能力、运算求解能力。 满分 7 分

解 :( Ⅰ )

11 ? det A ? ? 1 ? 0

,?

矩阵

A



23

逆. ---------------------------------------------------------------------1 分



A?1 ?

-------------------------------------------------------------------------------------------3 分

??3 ?1?? ??? ? 2 1 ???

(Ⅱ)

A ?1 B

=

??3 ?1?? ??? ? 2 1 ???

??1 2??

? ?

2

3

? ?

=

??1 3??

? ??

0

1???

---------------------------------------------------------------------------4 分

设直线 x ? y ?1 ? 0 上任意一点 P(x, y) 在矩阵 A?1B 对应的线性变换作用下得到

P'(x', y') ,



??1 3 ?? ??? 0 1???

?? x ?? ?? ?? y ??

=

?? x? ?? ??

?? y???

----------------------------------------------------------------------------------------------------5 分





?x? ? x ? 3y

? ?

y?

?

y







?x

? ?

y

? ?

x? ? y?

3

y?

------------------------------------------------------------------------------6



代 入 x ? y ?1 ? 0 得 x? ? 2y? ?1 ? 0 即 x ? 2y ?1 ? 0 为 所 求 的 曲 线 方 程 。

-------------------------------------7 分 (2)选修 4-4:坐标系与参数方程

本小题主要考查圆的参数方程、直线的极坐标方程、直线与圆的位置关系、极直互化

第 13 页 共 15 页

等基础知识,考查运算求解能力,数形结合思想。满分 7 分

解 :( Ⅰ ) C 1 的 普 通 方 程 为 :

(x ? 2)2 ? y 2 ? 4 ---------------------------------------------------------------------------3 分

(Ⅱ)法一:如图,设圆心为 A,?原点 O 在圆上,
y
设 C 1 与 C 2 相交于 O、B,取线段 OB 中点 C,

?直线 OB 倾斜角为 ? ,OA=2,-----------------------------------------------4 分

B

3

C

?OC=1 从而 OB=2,-------------------------------------------------------------5 分

O A

x

?O、B 的极坐标分别为 O(0,0),B(2, ? ).------------------------------------7 分 3

法二:C 2 的直角坐标方程为: y ? 3x --------------------------------------4 分 代 入 圆 的 普 通 方 程 后 , 得 (x ? 2)2 ? ( 3x)2 ? 4 , 即 : x(x ?1) ? 0 , 得 :

x1 ? 0, x2 ? 1 ? O、B

的直角坐标分别为

O(0,0), B(1, 3). ---------------------------------------------------------------------5 分

从而 O、B 的极坐标分别为
O(0,0),B(2, ? ).---------------------------------------------------------------------7 分 3
(3)选修 4-5:不等式选讲 本小题主要考查柯西不等式、绝对值的意义、绝对值不等式、恒成立问题等基础知识, 考查运算求解能力,分类讨论思想。满分 7 分
解 :( Ⅰ ) 由 柯 西 不 等 式 , (x2 ? y2 ? z2 )(12 ? 22 ? 12 ) ? (x ? 2 y ? z)2

----------------------------------------------1 分
即有 (x ? 2 y ? z)2 ? 36 , 又 x 、 y 、 z 是正数,? x ? 2y ? z ? 6 即 x ? 2y ? z 的最大值为 6,
-------------------------------------2 分

当 且 仅 当 x ? y ? z , 即 当 x ? z ? 1, y ? 2 时 取 得 最 大 值 。 121
-------------------------------------------------3 分

( Ⅱ ) 由 题 意 及 ( Ⅰ ) 得 , a ?1 ? 2a ? (x ? 2y ? z)max ? 6
------------------------------------------------------4 分 即: ---------------------------------------------------------------------6 分

第 14 页 共 15 页

解得: a 无解 或 a??7 3
------------------------------------------7 分

综上,实数 a 的取值范围为 a??7 3

第 15 页 共 15 页


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