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2014年高一数学必修3、必修4考试题

2015 年高一数学必修 3、必修 4 检测题
一、选择题:(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1. tan 390 ? (
0

) B.

A. ? 3

3

C.

3 3

D. ?

3 3


2. 若向量 a =(1,1), b =(2,5), c =(3,x)满足条件(8 a - b )· c =30,则 x=(

A.6 B.5 C.4 D.3 3. 某校现有高一学生 210 人,高二学生 270 人,高三学生 300 人,用分层抽样的方法从这 三个年级的学生中随机抽取 n 名学生进行问卷调查, 如果已知从高一学生中抽取的人数为 7,那么从高三学生中抽取的人数应为 ( ) A. 10 B 9 C. 8 D 7 4. 已知函数 f ? x ? ? sin(? x ?

?
3

), (? ? 0) 的最小正周期为 ? ,则该函数的图象(
B.关于直线 x ?



( , 0) A.关于点 对称 3 0) C. 关于点( , 对称 4

?

?
4

对称

?

D. 关于直线 x ?

?
3

对称

5. 下图是 2010 年我市举行的名师评选活动中, 七位评委为某位教师打出的分数的茎叶统计 图,去掉一个最高分和一个最低分,所剩数据的平均数和方差分别为( ) A、84,4.84 B、84, 1.6 C、85,1.6 D、85,4

6. 如图,已知 A(4 , 0) 、 B (0 , 4) ,从点 P (2 , 0) 射出的光 线经直线 AB 反向后再射到直线 OB 上,最后经直线 OB 反 射后又回到 P 点,则光线所经过的路程是 ( ) A. 2 10 C. 3 3 B. 6 M D. 2 5 N

9. 在两个袋内,分别写着装有 1,2,3,4,5,6 六个数字的 6 张卡片,今从每个袋中各取一张卡 片,则两数之和等于 9 的概率为( C ) A.

1 3

B.

1 6

C.

1 9

D.

1 12
) 2 10

4 π 10. 若 cosα =- ,α 是第三象限的角,则 sin(α + )=( 5 4 7 2 A. - 10 B. 7 2 10 C. - 2 10 D.

1

11. 执行如图所示的算法,则输出的结果是(



A.1

4 B. 3

5 C. 4

D.2

12. 8. 已 知 函 数 f ( x) 满 足 f ( x) ? f ( ? ? x), 且 当 x ? ( ?

? ?

, )时 , 2 2

f ( x) ? x? s i n x,则(
A. f (1) ? f (2) ? f (3) C. f (3) ? f (2) ? f (1)

) B. f (2) ? f (3) ? f (1) D. f (3) ? f (1) ? f (2)

二、填空题: (本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9. 已知 ? 为第三象限的角, sin ? ? ? ,则 tan 2? ? 10. 执行右图所示的程序框图,若输入 x ? 10 ,则输出 y 的 值为 11. 函数 f ( x) ? sin(2 x ? __________________
2 2 12. 圆: x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 2 的距离的最大值是__________________

3 5

?
4

) ? 2 2 sin 2 x 的最小正周期是

13. 已知 V ABC 和点 M 满足 MA ? MB ? MC ? 0 . 若存在 实 数

uuu r

uuu r

uuu r

uu u r uuu r uuur 成 A 立M , 则 B ? A C m m 使 得 A ?

m =__________________
14.关于函数 f ( x) ? 4sin(2 x ? (1) y ? f ( x ?

?
3

)( x ? R) ,有下列命题:

4? ) 为偶函数 3

(2)要得到函数 g( x) ? ?4sin 2 x 的图像,只需将 f ( x ) 的图像向右平移 (3) y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? ?

?
12

? 个单位 3

对称

( 4 ) y ? f ( x) 在 [0, 2? ] 内的增区间为 [0, __________________.

5? 11? ]和 [ , 2? ] ,其中正确的命题序号为 12 12

2

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤。 ) 17.从一箱产品中随机地抽取一件产品,设事件 A= “抽到的一等品” ,事件 B= “抽到的二等品” , 事件 C=“抽到的三等品”, 0.7PA , 0.1PB , 0.05PC ,求下列事件 的概率: ⑴ 事件 D=“抽到的是一等品或二等品” ; ⑵ 事件 E=“抽到的是二等品或三等品” 15、 (12 分)设函数 f ( x) ? 3sin(? x ? 期. (1)求 f ? x ? 的解析式; (2)已知 f ( ? ?

?
4

) , ?>0 , x ? ? ??, ??? ,且以

2? 为最小正周 3

2 3

?
12

)?

12 ,求 sin ? 的值. 5

16. (13 分)为了了解高一学生的体能状况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试, 将所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图) ,图中从左到右各小长方形的面积之比为 2:4:17:15:9:3,第二小组频数为 12. (1)求第二小组的频率; (2)求样本容量; (3)若次数在 110 以上为达标,试估计全体高一学生的达标率为多少?

17.(14 分)设向量 a ? (4cos ? ,sin ? ), b ? (sin ? , 4cos ? ), c ? (cos ? , ?4sin ? ) (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(? ? ? ) 的值; (2)求 | b ? c | 的最大值; (3)若 tan ? tan ? ? 16 ,求证: a ∥ b .
3

18. (13 分)直线 y ? 2 x ? m 和圆 x 2 ? y 2 ? 1交于 A 、B 两点,以为 Ox 始边, OA 、OB 为 终边的角分别为 ? 、 ? ,求 sin(? ? ? ) 的值

x ? ) ? cos 2 x ? 1. 4 2 ? 2? ] 上是增函数,求 ? 的取值范围; (1)设 ? >0 为常数,若 y ? f (?x)在区间[? , 2 3 ? 2? 1 }, B ? {x | [ f ( x)]2 ? mf ( x) ? m 2 ? m ? 1 ? 0}, 若 A ? B 恒 (2) 设集合 A ? {x | ? x ? 6 3 2 成立,求实数 m 的取值范围
20. (14 分)已知函数 f ( x) ? 4sin x sin (
2

?

参考答案
一、选择题:(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 选项 1 C 2 C 3 A 4 A 5 C 6 A 7 C 8 D

二、填空题: (本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9.

24 5 ; 10.7 4

11.

?

12. 2 ? 1

13.

3

14. (2)(3)

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 17.(1)P(D)=0.8 (2)P(E)=0.15 15. (12 分)解: (1)由题意 T ?

2? 3

?? ?

? f ( x) ? 3sin(3 x ? ) 4 2? ? ? ? ? 12 f( ? ) ? 3sin(2? ? ? ) ? 3sin(2? ? ) ? 3cos 2? ? (2) 3 12 4 4 2 5

?

2? ?3 T

4

? cos 2? ?

4 5

cos 2? ? 1 ? 2sin 2 ? ?

4 5

? sin ? ? ?

10 10

16. (13 分)解:(1) 由于每个长方形的面积即为本组的频率,设第二小组的频率为 4 f ,则

2 f ? 4 f ? 17 f ? 15 f ? 9 f ? 3 f ? 1 解得 f ?

1 50

? 第二小组的频率为 4 ?

1 2 ? 50 25 12 2 ? ,? n ? 150 (2)设样本容量为 n , 则 n 25
(3) 由 (1) 和 直 方 图 可 知 , 次 数 在 110 以 上 的 频 率 为

17 f ? 15 f ? 9 f ? 3 f ? 44 f ? 44 ?
17. (14 分) .解: 18. (13 分)解: 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

22 ? 0.88 25 由此估计全体高一学生的达标率为 88 %

联立直线与圆的方程得 5x ? 4mx ? m ? 1 ? 0
2 2

4m ? x1 ? x2 ? ? ? ? 5 则? 2 ?x ? x ? m ?1 1 2 ? 5 ?

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? x1 y2 ? x2 y1 y1 ? 2x1 ? m, y2 ? 2x2 ? m 代入上式可得:

5

sin(? ? ? ) ? x1 (2 x2 ? m) ? x2 (2 x1 ? m) ? m( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? ?

4 5

?a ? 2 b ? 2 ? ?2?0 ? ?a ? 0 ? 2 2 19. (14 分)解:(1)设圆心 C ( a, b) ,则 ? ,解得 ? b?2 ?b ? 0 ? ?1 ? a?2 ?
则圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? r 2 ,将点 P 的坐标代入得 r ? 2 ,故圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 2
2

?CM ? 2 2 ,又两半径之和为 2 2 ,? 圆 M 与圆 C 外切.
(2) ①设 l1 、 l 2 被圆 C 所截得弦的中点分别为 E , F ,弦长分别为 d1 , d 2 ,因为四边形

OEPF 是矩形,所以 OE 2 ? OF 2 ? OP2 ? 2 ,即

? ? d1 ?2 ? ? ? d 2 ?2 ? 2? ? ? 2 ? ? ? ? ? 2 ,化简得 d12 ? d22 ? 8 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2? ? ? ? 2? ?
从而 d1 ? d 2 ? 综上:
2 2 ? d12 ? d 2 ? 4, ( d1 ? d 2 时取等号,此时直线 PA,PB 必有一条斜率不存在)

l1 、 l 2 被圆 C 所截得弦长之和的最大值为 4

另解:若直线 PA 与 PB 中有一条直线的斜率不存在, 则 PA=PB=2,此时 PA+PB=4. 若直线 PA 与 PB 斜率都存在,且互为负倒数,故可设 PA : y ? 1 ? k ( x ? 1) ,即

kx ? y ? 1 ? k ? 0 ,( k ? 0 ) 点 C 到 PA 的距离为

k ?1 1? k 2

,同理可得点 C 到 PB 的距离



k ?1 1? k 2

,? PA ? PB ? 2( 2 ?

(1 ? k )2 (1 ? k )2 ? 2 ? ) k 2 ?1 k 2 ?1

? ( PA ? PB)2 ? 4(2 ? 2 1 ?

2 ) <16,? PA ? PB ? 4 ) k ?1
2

综上: l1 、 l 2 被圆 C 所截得弦长之和的最大值为 4

6

1 ? cos( ? x) 2 20. (14 分) 解:⑴ f ( x) ? 4sin x ? ? cos 2 x ? 1 2

?

? 2sin x(1 ? sin x) ? 2sin 2 x ? 2sin x.
f (? x) ? 2sin ? x在[? ?[ ? ?

? 2?
2 , 3

] 是增函数,

? 2?
2 , 3

] ? [?

2? ? 3 ? ,? ? ? (0, ] 3 2? 4 1 2 2 (2) [ f ( x)] ? mf ( x) ? m ? m ? 1 2
= sin x ? 2m sin x ? m ? m ? 1 ? 0
2 2

? ? , ] 2? 2?

因为 x ? [

? 2?
6
2

,

3

] ,设 sin x ? t ,则 t ?[
2

1 ,1] 2

上式化为 t ? 2mt ? m ? m ? 1 ? 0 由题意,上式在 t ?[
2

1 ,1]上恒成立. 2
2

记 f (t ) ? t ? 2mt ? m ? m ?1 , 这是一条开口向上抛物线,

7

1 ? m? ? ? 2 则? ? f (1) ? 0 ? ? 2
?1 ? ? m ?1 或 ?2 ? ?? ? 0
或?

?m ? 1 ? f (1) ? 0
3 或m ? 1 . 2

解得: m ? ?

8


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