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综合 解一元二次方程—换元法


2.2.5《解一元二次方程—换元法》典例解析与同步训练 【知识要点】
1、解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化, 这叫换元法. 换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将 问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得 容易处理. 2、我们常用的是整体换元法,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母 来代替它从而简化问题, 当然有时候要通过变形才能发现. 把一些形式复杂的方程通过换元 的方法变成一元二次方程,从而达到降次的目的.

【典例解析】
例 1.用适当方法解下列方程: 2 (1)2x ﹣5x﹣3=0 2 (2)16(x+5) ﹣9=0 2 2 2 (3) (x +x) +(x +x)=6. 例题分析:本题考查了一元二次方程的几种解法:①公式法;②直接开平方法;③换元法 (1)用公式法解一元二次方程,先找 a,b,c;再求△;再代入公式求解即可; (2)用直接开平方法解一元二次方程,先将方程化为(x+5) =
2 2

,直接开方即可;

(3)设 t=x +x,将原方程转化为一元二次方程,求解即可. 2 2 解: (1)∵a=2,b=﹣5,c=﹣3,△=b ﹣4ac=(﹣5) ﹣4×2×(﹣3)=25+24=49, ∴x= ∴x1=3,x2=﹣ ; (2)整理得, (x+5) = 开方得,x+5=± , 即 x1=﹣4 ,x2=﹣5 , (3)设 t=x +x,将原方程转化为 t +t=6, 因式分解得, (t﹣2) (t+3)=0, 解得 t1=2,t2=﹣3. 2 2 ∴x +x=2 或 x +x=﹣3(△<0,无解) , ∴原方程的解为 x1=1,x2=﹣2.
2 2 2

=

=





例 2.解方程: (1) (x+3) (x﹣1)=5 (2) .

例题分析:本题主要考查了解一元二次方程的方法和解分式方程.解一元二次方程时,要注 意选择合适的解题方法,这样才会达到事半功倍的效果.还要注意换元思想的应用. (1)先去括号,将方程化为一般式,然后再运用二次三项式的因式分解法进行求解. (2)先设 x ﹣x=y,采用换元法,然后解方程即可. 2 解: (1)x +2x﹣8=0, (x+4) (x﹣2)=0 ∴x1=﹣4,x2=2. 2 (2)设 x ﹣x=y ∴原方程化为 y﹣ =1 ∴y ﹣2=y 2 ∴y ﹣y﹣2=0 ∴(y+1) (y﹣2)=0 ∴y1=﹣1,y2=2 2 2 ∴x ﹣x=﹣1 或 x ﹣x=2 2 解 x ﹣x=﹣1 知:此方程无实数根. 2 解 x ﹣x=2 知 x1=2,x2=﹣1; ∴原方程的解为:x1=2,x2=﹣1. 例 3.解下列方程: 2 (1)2x +5x﹣3=0 2 2 (2) (3﹣x) +x =9 2 (3)2(x﹣3) =x(x﹣3) 2 (4) (x﹣1) ﹣5(x﹣1)+6=0 例题分析:本题考查了解一元二次方程的方法,当把方程通过移项把等式的右边化为 0 后, 方程的左边能因式分解时, 一般情况下是把左边的式子因式分解, 再利用积为 0 的式子的特 点解出方程的根.因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法,要会灵活运用. (1)方程左边可以利用十字相乘法进行因式分解,因此应用因式分解法解答. 2 (2)先移项,然后把 x ﹣9 因式分解为(x+3) (x﹣3) ,然后再提取公因式,因式分解即可. (3)先移项,然后用提取公因式法对左边进行因式分解即可. 2 2 2 (4)把(x﹣1)看作是一个整体,然后套用公式 a ±2ab+b =(a±b) ,进行进一步分解, 故用因式分解法解答. 解: (1)因式分解,得(2x﹣1) (x+3)=0, 所以 2x﹣1=0 或 x+3=0, 解得,x= 或 x=﹣3; (2)移项得, (3﹣x) +x ﹣9=0, 变形得,(x﹣3)2+(x+3)(x﹣3)=0, 因式分解,得(x﹣3)[(x﹣3)+(x+3)]=0, 解得,x=3 或 x=0; (3)移项得,2(x﹣3)2﹣x(x﹣3)=0,
2 2 2 2

因式分解得,(x﹣3)[2(x﹣3)﹣x]=0, 解得 x=3 或 x=6; (4)化简得: (x﹣1﹣2) (x﹣1﹣3)=0 即(x﹣3) (x﹣4)=0 解得 x=3 或 x=4. 例 4.阅读下面材料:解答问题 为解方程(x ﹣1) ﹣5(x ﹣1)+4=0,我们可以将(x ﹣1)看作一个整体,然后设 x ﹣ 2 2 2 1=y,那么原方程可化为 y ﹣5y+4=0,解得 y1=1,y2=4.当 y=1 时,x ﹣1=1,∴x =2,∴ 2 2 x=± ; 当 y=4 时, x ﹣1=4, ∴x =5, ∴x=± , 故原方程的解为 x1= , x2=﹣ , x3= , x4=﹣ . 2 2 2 上述解题方法叫做换元法;请利用换元法解方程. (x ﹣x) ﹣4(x ﹣x)﹣12=0. 例题分析:此题考查了学生学以致用的能力,解题的关键是掌握换元思想. 先把 x ﹣x 看作一个整体,设 x ﹣x=y,代入得到新方程 y ﹣4y﹣12=0,利用求根公式可以 求解. 2 2 解:设 x ﹣x=y,那么原方程可化为 y ﹣4y﹣12=0(2 分) 解得 y1=6,y2=﹣2(4 分) 2 2 当 y=6 时,x ﹣x=6 即 x ﹣x﹣6=0 ∴x1=3,x2=﹣2(6 分) 2 2 当 y=﹣2 时,x ﹣x=﹣2 即 x ﹣x+2=0 2 ∵△=(﹣1) ﹣4×1×2<0 ∴方程无实数解(8 分) ∴原方程的解为:x1=3,x2=﹣2. (9 分) 例 5.阅读下面的材料,回答问题: 4 2 解方程 x ﹣5x +4=0,这是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的解法通常是: 2 4 2 2 设 x =y,那么 x =y ,于是原方程可变为 y ﹣5y+4=0 ①,解得 y1=1,y2=4. 2 当 y=1 时,x =1,∴x=±1; 2 当 y=4 时,x =4,∴x=±2; ∴原方程有四个根:x1=1,x2=﹣1,x3=2,x4=﹣2. (1)在由原方程得到方程①的过程中,利用 换元 法达到 降次 的目的,体现了数学 的转化思想. (2)解方程(x +x) ﹣4(x +x)﹣12=0. 例题分析:应用换元法,把关于 x 的方程转化为关于 y 的方程,这样书写简便且形象直观, 并且把方程化繁为简化难为易,解起来更方便. (1)本题主要是利用换元法降次来达到把一元四次方程转化为一元二次方程,来求解,然 后再解这个一元二次方程. (2)利用题中给出的方法先把 x +x 当成一个整体 y 来计算,求出 y 的值,再解一元二次方 程. 解: (1)换元,降次 2 2 (2)设 x +x=y,原方程可化为 y ﹣4y﹣12=0, 解得 y1=6,y2=﹣2. 2 由 x +x=6,得 x1=﹣3,x2=2. 2 2 由 x +x=﹣2,得方程 x +x+2=0, 2 b ﹣4ac=1﹣4×2=﹣7<0,此时方程无解. 所以原方程的解为 x1=﹣3,x2=2.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

【同步训练】
一.选择题(共 10 小题) 2 1.解方程(x﹣1) ﹣5(x﹣1)+4=0 时,我们可以将 x﹣1 看成一个整体,设 x﹣1=y,则 2 原方程可化为 y ﹣5y+4=0,解得 y1=1,y2=4.当 y=1 时,即 x﹣1=1,解得 x=2;当 y=4 时, 即 x﹣1=4,解得 x=5,所以原方程的解为:x1=2,x2=5.则利用这种方法求得方程 (2x+5) 2 ﹣4(2x+5)+3=0 的解为( ) A.x1=1,x2=3 B.x1=﹣2,x2=3 C.x1=﹣3,x2=﹣1 D.x1=﹣1,x2=﹣2 2 2 2 2 2.用换元法解方程(x +x) +(x +x)=6 时,如果设 x +x=y,那么原方程可变形为( ) 2 2 2 2 A.y +y﹣6=0 B.y ﹣y﹣6=0 C.y ﹣y+6=0 D.y +y+6=0 2 2 2 2 3.用换元法解方程(x +x) +2(x +x)﹣1=0,若设 y=x +x,则原方程可变形为( ) 2 2 2 2 A.y +2y+1=0 B.y ﹣2y+1=0 C.y +2y﹣1=0 D.y ﹣2y﹣1=0 4.已知实数 x 满足 x +
2

=0,那么 x+ 的值是(



A.1 或﹣2 B.﹣1 或 2 C.1 D.﹣2 2 2 2 2 5.方程(x ﹣3) ﹣5(3﹣x )+2=0,如果设 x ﹣3=y,那么原方程可变形为( 2 2 2 2 A.y ﹣5y+2=0 B.y +5y﹣2=0 C.y ﹣5y﹣2=0 D.y +5y+2=0 2 2 6.若实数 x,y 满足 x ﹣2xy+y +x﹣y﹣6=0,则 x﹣y 的值是( ) A.﹣2 或 3 B.2 或﹣3 C.﹣1 或 6 D.1 或﹣6 2 2 2 2 2 2 7.已知(x +y +1) (x +y +3)=8,则 x +y 的值为( ) A.﹣5 或 1 B.1 C .5 D.5 或﹣1 2 8.如果(x+2y) +3(x+2y)﹣4=0,那么 x+2y 的值为( ) A.1 B.﹣4 C.1 或﹣4 D.﹣1 或 3 9.正整数 x,y 满足(2x﹣5) (2y﹣5)=25,则 x+y 的值是( ) A.10 B.18 C.26 D.10 或 18 10.若(a +b ) (a +b ﹣2)=8,则 a +b =( ) A.﹣2 B.4 C.4 或﹣2 D.﹣4 或 2 二.填空题(共 5 小题) 11.已知,关于 x 的方程 x +
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2



=1,那么 x+ +1 的值为 _________ .

12.解方程(x ﹣5) ﹣x +3=0 时,令 x ﹣5=y,则原方程变为 _________ . 2 2 13.若 a ﹣2ab+b +2(a﹣b)+1=0,则 a﹣b= _________ . 2 2 2 2 14.用换元法解方程: (x ﹣x) ﹣5(x ﹣x)+6=0,如果设 x ﹣x=y,那么原方程变为 _________ . 2 2 2 2 15.在解方程(x ﹣1) ﹣2x ﹣1=0 时,通过换元并整理得方程 y ﹣2y﹣3=0,则 y= _________ . 三.解答题(共 4 小题) 2 2 2 16.解方程: (x ﹣2x) +(x ﹣2x)﹣2=0

17.如果 a 为不等于±2 的整数,证明方程 x +ax+1=0 没有有理根.

4

18.对于有理数 x,用[x]表示不大于 x 的最大整数,请解方程 19.用适当方法解下列方程 (1) (2y﹣1) =
2



(2)x﹣

=5x(

﹣x)

(3) (x﹣3) +(x+4) ﹣(x﹣5) =17x+24

2

2

2

(4) (2x+1) +3(2x+1)﹣4=0

2

参考答案
一.选择题(共 10 小题) 2 1.解: (2x+5) ﹣4(2x+5)+3=0, 设 y=2x+5, 方程可以变为 y ﹣4y+3=0, ∴y1=1,y2=3, 当 y=1 时,即 2x+5=1,解得 x=﹣2; 当 y=3 时,即 2x+5=3,解得 x=﹣1, 所以原方程的解为:x1=﹣2,x2=﹣1. 故选 D. 2 2.解:把 x +x 整体代换为 y, 2 y +y=6, 2 即 y +y﹣6=0. 故选 A. 3.解:设 y=x +x,得 y +2y﹣1=0.故选 C.
2 2 2

4.解:∵x2+ ∴

=0

∴[(x+ )+2][(x+ )﹣1]=0 ∴x+ =1 或﹣2. ∵x+ =1 无解, ∴x+ =﹣2. 故选 D. 2 5.解:∵x ﹣3=y 2 ∴3﹣x =﹣y 2 所以 y +5y+2=0. 故选 D. 6.解:设 x﹣y=m,则原方程可化为: 2 m +m﹣6=0, 解得 x1=2,x2=﹣3; 故选 B 2 2 2 2 2 7.解:原方程变形得, (x +y ) +4(x +y )﹣5=0, 2 2 2 2 (x +y +5) (x +y ﹣1)=0, 2 2 又∵x +y 的值是非负数, 2 2 ∴x +y 的值为只能是 1.

故选 B. 8.解:∵x、y 为正整数,∴ 解得,x=5,y=5,或 x=3,y=15, ∴x+y=10 或 18. 故选 D. 10.解:设 a +b =x,则有: x(x﹣2)=8 2 即 x ﹣2x﹣8=0, 解得 x1=﹣2,x2=4; 2 2 ∵a +b ≥0, 2 2 故 a +b =x2=4; 故选 B 二.填空题(共 5 小题) 11.解:原方程可化为 x +( ) +2x? +2(x+ )+1=2+2x? (x+ +1) =4 x+ +1=±2. 12.解:∵x ﹣5=y, 2 ∴x =5+y, 2 2 2 2 2 ∴(x ﹣5) ﹣x +3=y ﹣y﹣5+3=y ﹣y﹣2=0, 2 故本题的答案是 y ﹣y﹣2=0. 2 13.解:设 t=a﹣b,则原方程可化为:t +2t+1=0, 2 整理得: (t+1) =0, 解得:t=﹣1. ∴a﹣b=﹣1. 2 2 14.解:根据题意 x ﹣x=y,把原方程中的 x ﹣x 换成 y, 2 所以原方程变化为:y ﹣5y+6=0 2 2 2 15.解:方程整理,得(x ﹣1) ﹣2(x ﹣1)﹣3=0 2 故 y=x ﹣1 三.解答题(共 4 小题) 2 16.解:设 y=x ﹣2x 2 原方程可变为:y +y﹣2=0 2 解方程得 y=﹣2 或 1 所以 x ﹣2x=﹣2 或 1. 2 当 x ﹣2x=﹣2 时,△<0,没实数根, 2 当 x ﹣2x=1 时,解得 x=1± . ∴原方程的根是 x1=1+ ,x2=1﹣ . 17.证明:若 a=2 或者﹣2,方程有有理根, 当=2 时,有理根 x=﹣1;等于﹣2 时,有理根 x=1.这个根据配方法得来. 4 4 2 2 2 2 x ±2x+1=0, 即 x ﹣x +x ±2x+1=x (x+1) (x﹣1) + (x±1) =0, 此等式有公因式, 可得 x=±1. 而由题意知:a≠±2,即 x≠±1.
2 2 2 2 2 2







则有 a=﹣

=﹣x ﹣ ,其中 x≠±1.
3 3

3

a 为整数,而 a=﹣x ﹣ ,若 x 为整数且 x≠±1,那么 x 为整数, 为小数,整数与小数之和 或者差,皆为小数,故 x 不能是整数. 若 x 为分数,那么设 x= ,其中 c、b 互质且为整数,b≠0.
3

那么﹣x ﹣ =

﹣ =﹣

.由此代数式知:

因为 c、b 互质,故此代数式

的值不为整数. 故当 x 为整数或者分数时,a 为整数均不能成立. 故当 a 为整数时,方程没有有理根. 18.解:因为方程左边的第 1、3 项都是整数, 所以 3y 是整数.

注意到



代入方程,得到



. 所以 是整数,3y 是 10 的倍数.

令 3y=10k,k 是整数,

代入得 其中,对于有理数 x,x=x﹣[x].



所以有





当 k 取不同整数时, k 1﹣k﹣

的情况如下表:

≤﹣2 =﹣1 =0=1 =2 =3>3 =1 =0<﹣1 <﹣1 =﹣ = = 和 y=10.

k 的可能值是﹣1 和 3,相应的 代入验算得到 或 y=10.

故答案:

或 y=10.
2

19.解: (1)方程原式两边同乘以 2 得(2y﹣1) = , ∴2y﹣1=± y= ± ; ) (5x+1)=0, ,

(2)移项、提取公因式得(x﹣ 解得 x1= ,x2=﹣ ;

(3)去括号、移项、合并同类项得(x+3) (x﹣8)=0, 解得 x1=﹣3,x2=8; 2 (4)解方程(2x+1) +3(2x+1)﹣4=0 可以用换元法和配方法, 2 设 2x+1 为 y,得 y +3y﹣4=0, 利用配方法得(y+ ) =4+ , y+ =± , 得 y=1 或﹣4, 设 2x+1 为 y, 则 x1=0,x2=﹣ .
2


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