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2015-2016学年高中数学 4.2.1直线与圆的位置关系课件 新人教A版必修2

第四章

圆与方程

§4.2 直线、圆的位置关系

4.2.1

直线与圆的位置关系

课前预习目标

课堂互动探究

课前预习目标
梳理知识 夯实基础

课前热身 直线与圆有三种位置关系: (1)直线与圆________,有两个公共点. (2)直线与圆________,有一个公共点. (3)直线与圆________,没有公共点.

自 我 校 对 (1)相交 (2)相切 (3)相离

名师讲解 1.判断直线与圆的位置关系的两种方法 (1)利用圆心到直线的距离d与半径r的大小判断: d<r?相交,d=r?相切,d>r?相离. (2)联立直线与圆的方程,转化为一元二次方程,利用判 别式“Δ”进行判断: Δ>0?相交,Δ=0?相切,Δ<0?相离.

2.有关直线与圆相交所得的弦长问题 一般地,求直线与圆相交所得的弦长,可结合垂径定理与 勾股定理(几何法)来处理;也可利用韦达定理(代数法)来处 理.

3.求圆的切线方程的常用方法 (1)若点P(x0,y0)在圆C上,过点P的切线只有一条.利用 1 圆的切线的性质,求出切线的斜率.k切=- k ,代入点斜式 CP 方程可得. 也可以利用结论:①若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2上,则过 该点的切线方程是x0x+y0y=r2.②若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y -b)2=r2上,则过该点的切线方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y- b)=r2.

(2)若点P(x0,y0)在圆C外,过点P的切线有两条.这时可 设切线方程为y-y0=k(x-x0),利用圆心C到切线的距离等于 半径求k.若k仅有一值,则另一切线斜率不存在,应填上.也可 用判别式Δ=0求k的值.

课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通

典例剖析



直线与圆的位置关系
直线x+y-3=0与圆x2+y2-4x+2y+3=0是相

【例1】

切、相离还是相交?

【解】

? ?x+y-3=0, 解法1:由? 2 2 ? ?x +y -4x+2y+3=0,

消去y,并整理可得x2-6x+9=0. Δ=(-6)2-4×9=0, ∴直线与圆相切.

解法2:将已知圆配方得 (x-2)2+(y+1)2=2, |2-1-3| ∴圆心(2,-1)到直线的距离d= 2 2 = 2. 1 +1 ∴d=r= 2,故直线与圆相切.

规律技巧

判断圆与直线的位置关系有以下两种方法:

(1)把圆C的圆心C(a,b)到直线l的距离d与圆的半径r作比 较,即圆C与直线l相离?d>r;圆C与直线l相切?d=r;圆C与 直线l相交?d<r. (2)用圆C和直线l的公共点的个数来判定,一般需通过解方 程组进行消元,然后用判别式来判断,这种方法计算量大一 点,但具有较普遍的意义.



切线问题

【例2】

已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点

M(x0,y0)的切线方程. 【分析】 只要求出切线的斜率即可.

【解】 如图所示,设切线的斜率为k,半径OM的斜率为 k1.

1 因为圆的切线垂直于过切点的半径,于是k=-k . 1

y0 x0 ∵k1=x ,∴k=-y . 0 0 x0 经过点M的切线方程是y-y0=-y (x-x0), 0
2 整理得x0x+y0y=x2 + y 0 0.因为点M(x0,y0)在圆上, 2 2 2 所以x0 +y2 = r ,所求切线方程是 x x + y y = r . 0 0 0

当点M在坐标轴上,可以验证上面方程同样适用.

规律技巧

解决直线与圆相切问题时,通常利用几何性质

“圆心到切线的距离等于半径”来解决.

【例3】 已知直线3x-y+4=0与6x-2y-1=0是圆的两 条平行切线,则此圆的面积为( 3π A. 5 81π C. 80 81π B. 40 81π D. 160 )

【解析】

设圆的半径为r,因为直线3x-y+4=0和6x-

2y-1=0是圆的两条平行切线,则两平行线间的距离d=2r= |8-?-1?| 9 = , 36+4 2 10 9 解得r= . 4 10 81π 故圆的面积为S=πr =160.
2

【答案】 D

规律技巧

解答本题的关键是求得圆的半径,而求得半径

要抓住两条平行线间的距离为圆的直径.在应用两平行线间的 距离公式时,一定要注意两条直线方程中关于x,y的系数必须 相同.



弦长问题

【例4】

直线l经过点P(5,5),且和圆C:x2+y2=25相

交,截得弦长为4 5,求l的方程. 【分析】 若直线l的斜率不存在,l:x=5与圆C相切,可

知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-5=k(x-5),再根据 弦长AB=4 5,得方程求k.

【解】

解法1:设直线l的方程为y-5=k(x-5)且与圆C

相交于A(x1,y1),B(x2,y2),
? ?y-5=k?x-5?, 由? 2 2 ? ?x +y =25,

消去y,

得(k2+1)x2+10k(1-k)x+25k(k-2)=0. ∴Δ=[10k(1-k)]2-4(k2+1)· 25k(k-2).(1)

10k?1-k? 25k?k-2? x1+x2=- 2 ,x1x2= 2 . k +1 k +1 由斜率公式,得y1-y2=k(x1-x2). ∴|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2 = ?1+k2??x1-x2?2 = ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2] =
2 2 100 k ? 1 - k ? 25k?k-2? 2 ?1+k ?[ -4· 2 ] 2 2 ?k +1? k +1

两边平方,整理得2k2-5k+2=0,

1 解得k=2,或k=2. 代入(1)知,Δ>0. 故直线l的方程为x-2y+5=0,或2x-y-5=0.

解法2:如图所示,OH是圆心到直线l的距离,OA是圆的 半径,AH是弦长AB的一半, 在Rt△AHO中,OA=5, 1 1 AH=2AB=2×4 5=2 5, ∴OH= OA2-AH2= 5. |5?1-k?| ∴ 2 = 5, k +1

1 解得k=2,或k=2. ∴直线l的方程为x-2y+5=0,或2x-y-5=0.

规律技巧

关于弦长问题,通常有两种方法,其一称为代

数法,即将直线方程代入圆的方程,消去一个变量y(或x),利 用韦达定理,代入两点间距离公式求解.其二称为几何法,即 半弦长、弦心距、半径组成直角三角形,利用直角三角形求 解.本例说明几何法比代数法简便.

随堂训练 1.已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直 线x+y=0上,则圆C的方程为( A.(x+1)2+(y-1)2=2 B.(x-1)2+(y+1)2=2 C.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2 )

解析 ∵圆心在直线x+y=0上知,排除C、D. 验证当圆心(1,-1)时,适合题意,故选B

答案

B

2.已知圆心在x轴上,半径为

2 的圆O位于y轴左侧,且

与直线x+y=0相切,则圆O的方程为________.
解析 |x| 设圆心O(x,0)(x<0),则 = 2,∴|x|=2, 2

∵x<0,∴x=-2.∴圆的方程为(x+2)2+y2=2.

答案

(x+2)2+y2=2

3.以点C(-4,3)为圆心的圆与直线2x+y-5=0相离,则 圆C的半径r的取值范围是 ______________________________________________________ __________________.

解析 圆心C(-4,3)到直线2x+y-5=0的距离 |2×?-4?+3-5| 10 d= = =2 5,∴0<r<2 5. 2 2 5 2 +1

答案 (0,2 5)

4.求满足下列条件的圆x2+y2=4的切线方程. (1)经过点P( 3,1); (2)经过点Q(3,0); (3)斜率为-1.

解 (1)∵( 3)2+12=4, ∴点P( 3,1)在圆上,故所求切线方程为 3x+y=4. (2)∵32+02>4,∴点Q在圆外. 设切线方程为y=k(x-3),即kx-y-3k=0. ∵直线与圆相切, ∴圆心到直线的距离等于半径. |-3k| 2 ∴ =2.∴k=± 5 5. 1+k2

2 ∴所求切线方程为y=± 5(x-3), 5 即2x± 5y-6=0. (3)设圆的切线方程为y=-x+b,代入圆的方程, 整理得2x2-2bx+b2-4=0. ∵直线与圆相切, ∴Δ=(-2b)2-4×2(b2-4)=0. 解得b=± 2 2. 所求切线方程为x+y± 2 2=0.

5.求经过点P(6,-4),且被定圆x2+y2=20截得弦长为 6 2的直线的方程.

解 如图所示,AB=6 2,OA=2 5,作OC⊥AB于C, 在Rt△OAC中,OC= 20-?3 2?2= 2. 设所求直线的斜率为k, 则直线的方程为y+4=k(x-6), 即kx-y-6k-4=0. ∵圆心到直线的距离为 2, |6k+4| ∴ 2= 2. 1+k

即17k2+24k+7=0. 7 ∴k1=-1,k2=- . 17 ∴所求直线方程为x+y-2=0,或7x+17y+26=0.


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