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导数的应用(导数好题解析版)

导数的应用
教学目标 教学重点及相应策略 分类总结. 导数应用求解函数的单调区间,极值最值和恒成立问题. 教学难点及相应策略 熟悉掌握导数应用各类题型的出题方式,举一反三. 掌握典型例题的典型方法. 在掌握导数求导的前提下, 熟悉并掌握导数应用的题型, 典型例题与课本知 教学方法建议 识相结合,精讲精练.复习与总结同时进行,逐步掌握导数应用的方法. 课堂精讲例题 A类 选材程度及数量 B类 C类 ( 5 )道 ( 3 )道 ( 3 )道 ( 3 )道 ( 10 )道 ( 10 )道 ( 3 )道 搭配课堂训练题 ( 3 )道 课后作业 ( 10 )道 掌握导数应用的题型,总结归纳解题方法 导数应用求解函数的单调区间,极值最值和恒成立问题 .分析相关题型进行

知识梳理
1.函数的单调性:在某个区间(a,b)内,如果 f ?( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内 单调递增;如果 f ?( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内单调递减.如果 f ?( x) ? 0 ,那 么函数 y ? f ( x) 在这个区间上是常数函数. 注:函数 y ? f ( x) 在(a,b)内单调递增,则 f ?( x) ? 0 , f ?( x) ? 0 是 y ? f ( x) 在(a,b) 内单调递增的充分不必要条件. 2.函数的极值:曲线在极值点处切线的斜率为 0,并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为 正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正.

x f ( x0 ) 是极大(小)值的方法是: 一般地,当函数 y ? f ( x) 在点 0 处连续时,判断
(1)如果在 (2)如果在

x0 附近的左侧 f '( x) ? 0 ,右侧 f '( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极大值. x0 附近的左侧 f '( x) ? 0 ,右侧 f '( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极小值.

注:导数为 0 的点不一定是极值点

知识点一:导数与函数的单调性
方法归纳:
在某个区间(a,b)内,如果 f ?( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内单调递增;如果

f ?( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内单调递减.如果 f ?( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x)
在这个区间上是常数函数. 注:函数 y ? f ( x) 在(a,b)内单调递增,则 f ?( x) ? 0 , f ?( x) ? 0 是 y ? f ( x) 在(a,b) 内单调递增的充分不必要条件. 【例 1】 (B 类) (2011· 朝阳期末)已知函数 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? d 的图象过点 P(0, 2) , 且在点 M (?1, f (?1)) 处的切线方程为 6 x ? y ? 7 ? 0 . (Ⅰ)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的单调区间. 【解题思路】注意切点既在切线上,又原曲线上 . 函数 f ( x) 在区间 [a ,b ] 上递增可得:

f '( x) ? 0 ;函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上递减可得: f '( x) ? 0 .
【解析】 (Ⅰ)由 f ( x ) 的图象经过 P(0, 2) ,知 d ? 2 , 所以 f ( x) ? x ? bx ? cx ? 2 .
3 2

所以 f ?( x) ? 3x ? 2bx ? c .
2

由在 M (?1, f (?1)) 处的切线方程是 6 x ? y ? 7 ? 0 ,

(?1) ? 6 . 知 ?6 ? f (?1) ? 7 ? 0 ,即 f (?1) ? 1 , f ′
所以 ?

?3 ? 2b ? c ? 6, ?2b ? c ? 3, 即? 解得 b ? c ? ?3 . ??1 ? b ? c ? 2 ? 1. ?b ? c ? 0.
3 2

故所求的解析式是 f ( x) ? x ? 3x ? 3x ? 2 .
2 (Ⅱ)因为 f ?( x) ? 3x ? 6 x ? 3 ,

令 3x ? 6 x ? 3 ? 0 ,即 x ? 2 x ? 1 ? 0 ,
2 2

解得 x1 ? 1 ? 2 , x2 ? 1 ? 2 . 当 x ? 1? 2 或 x ? 1? 2 时, f '( x) ? 0 ,

当 1 ? 2 ? x ? 1 ? 2 时, f '( x) ? 0 , 故 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 3x ? 2 在 (??,1? 2] 内是增函数,在 [1 ? 2,1 ? 2] 内是减函数, 在 [1? 2, ??) 内是增函数. 【例 2】 (A 类)若 f ( x) ? ax3 ? x 在区间[-1,1]上单调递增,求 a 的取值范围. 【解题思路】利用函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上递增可得: f '( x) ? 0 ;函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上 递减可得: f '( x) ? 0 .得出恒成立的条件,再利用处理不等式恒成立的方法获解. 【解析】

f ?( x) ? 3ax2 ? 1 又 f ( x) 在区间[-1,1]上单调递增
1 在 x ? [-1,1]时恒成立. 3x 2

? f ?( x) ? 3ax2 ? 1 ? 0 在[-1,1]上恒成立 即 a ? ?
?a ? ? 1 3
故 a 的取值范围为 [ ? , ?? ]

1 3

【例 3】 (B 类)已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x ) ? (Ⅰ)求函数 F ( x ) 的单调区间;

a ( a ? 0) ,设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) . x

(Ⅱ)若以函数 y ? F ( x)( x ? (0,3]) 图像上任意一点 P( x0 , y0 ) 为切点的切线的斜率

k?

1 恒成立,求实数 a 的最小值; 2

【解题思路】注意函数的求导法则.注意对数函数定义域.在某点处的切线的斜率为该点的导 数值. 【解析】 (I) F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? ln x ?

a 1 a x?a ? x ? 0? , F ' ? x ? ? ? 2 ? 2 ? x ? 0? x x x x

∵ a ? 0 ,由 F ' ? x ? ? 0 ? x ? ? a, ??? ,∴ F ? x ? 在 ? a, ?? ? 上单调递增. 由 F ' ? x ? ? 0 ? x ? ? 0, a ? ,∴ F ? x ? 在 ? 0, a ? 上单调递减. ∴ F ? x ? 的单调递减区间为 ? 0, a ? ,单调递增区间为 ? a, ?? ? . (II) F ' ? x ? ?

x?a ? 0 ? x ? 3? , x2

k ? F ' ? x0 ? ?

x0 ? a ? 1 2 ? ? x0 ? 0 ? x ? 3? 恒成立 ? a ? ? ? x0 2 ? x0 ? 2 ?max
1 2 1 x0 ? x0 取得最大值 . 2 2

当 x0 ? 1 时, ?

∴a ?

1 1 ,∴amin= . 2 2

【课堂练习】 1. ( B 类) (山东省烟台市 2011 届高三上学期期末考试试题(数学文) ) 已知函数 曲线在点 M 处的切线恰好与直线 x ? 9 y ? 0 垂直. f ( x) ? ax3 ? bx2 的图像经过点 M (1, 4) , (Ⅰ)求实数 a , b 的值; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在区间 [m, m ? 1] 上单调递增,求 m 的取值范围. 【解题思路】两条直线垂直斜率互为负倒数.在区间 [m, m ? 1] 上单调递增,即 [m, m ? 1] 为函数的递增区间的子集. 【解析】 (Ⅰ) f ( x) ? ax ? bx 的图象经过点 M (1, 4)
3 2 2 ∵ f ?( x) ? 3ax ? 2bx ,∴ f ?(1) ? 3a ? 2b

∴a ?b ? 4

由已知条件知 f ?(1) ? ( ? ) ? ?1 即 3a ? 2b ? 9 ∴解 ?

1 9

?a ? 1 ? a?b ? 4 得: ? ?b ? 3 ?3a ? 2b ? 9
3 2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? x ? 3x , f ?( x) ? 3x ? 6 x 令 f ?( x) ? 3x ? 6 x ? 0 则 x ? ?2 或 x ? 0
2

∵函数 f ( x) 在区间 [m, m ? 1] 上单调递增 ∴ [m, m ? 1] ? (??, ?2] [0, ??) ∴ m ? 0 或 m ? 1 ? ?2 即 m ? 0 或 m ? ?3 2. (B 类)设函数 g ( x) ?

1 2 1 2 x ? ax ? bx (a, b ? R) ,在其图象上一点 P(x,y)处的切 3 2

线的斜率记为 f ( x ).

? 2和4, 求f ( x) 的表达式; (1)若方程 f ( x) ? 0有两个实根分别为
(2)若 g ( x)在区间 [?1,3]上是单调递减函数 , 求a ? b 的最小值.
2 2

【解题思路】注意一元二次方程韦达定理的应用条件.在区间[-1,3]上单调递减,即导函数在 相应区间上恒小于等于 0.再者注意目标函数的转化.

【解析】 (1)根据导数的几何意义知 f ( x) ? g ?( x) ? x 2 ? ax ? b 由已知-2、4 是方程 x 2 ? ax ? b ? 0 的两个实根 由韦达定理, ?

?? 2 ? 4 ? ?a ?a ? ?2 ?? , f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 8 ?? 2 ? 4 ? ?b ?b ? 8

(2) g ( x) 在区间[—1,3]上是单调递减函数,所以在[—1,3]区间上恒有

f ( x) ? g ?( x) ? x 2 ? ax ? b ? 0,即f ( x) ? x 2 ? ax ? b ? 0在[?1,3]恒成立 ? f (?1) ? 0 ?a ? b ? 1 这只需满足? 即可, 也即? ? f (3) ? 0 ?b ? 3a ? 9 ?a ? b ? 1 而a 2 ? b 2可视为平面区域 内的点到原点距离的平 方, ? ?b ? 3a ? 9
其中点(—2,3)距离原点最近, 所以当 ?

?a ? ?2 时, a 2 ? b 2 有最小值 13 ?b ? 3
1 2 x ? m ln x ? (m ? 1) x ,m ? R . 当 m ? 0 时, 讨论函数 f ( x) 2

3. (A 类) 已知函数 f ( x) ? 的单调性.

【解题思路】注意函数的定义域.在确定函数的定义域之后再对函数进行单调性的讨论 【解析】∵ f ?( x) ? x ?

m x 2 ? (m ? 1) x ? m ( x ? 1)( x ? m) ? (m ? 1) ? ? , x x x

∴(1)当 ?1 ? m ? 0 时,若 x ? ? 0, ?m?时, f ?( x) ? 0, f ( x) 为增函数;

x ? ? ?m,1?时, f ?( x) ? 0, f ( x) 为减函数; x ??1, ???时, f ?( x) ? 0, f ( x) 为增函数.
(2)当 m ? ?1 时, x ? ? 0,1?时, f ?( x) ? 0, f ( x) 为增函数;

x ??1, ?m?时, f ?( x) ? 0, f ( x) 为减函数; x ? ? ?m, ???时, f ?( x) ? 0, f ( x) 为增函数.

知识点二: 导数与函数的极值最值
方法归纳:

1.求函数的极值的步骤: (1)确定函数的定义域,求导数 f '( x) . (2)求方程 f '( x) ? 0 的根. (3)用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义域分成若干小开区间,并列成表格.检查

f '( x) 在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f ( x) 在这个根处取得极大值;如果
左负右正,那么 f ( x ) 在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么 f ( x ) 在这个根 处无极值. 2.求函数在 [a, b] 上最值的步骤: (1)求出 f ( x ) 在 ( a, b) 上的极值. (2)求出端点函数值 f (a), f (b) . (3)比较极值和端点值,确定最大值或最小值.

x ? x0 处取得极值是 f '( x0 ) ? 0 的充分不必要条件. 注:可导函数 y ? f ( x) 在
【例 4】 (A 类)若函数 f ( x) ? m cos x ?

1 ? sin 2 x 在 x ? 处取得极值,则 m ? 2 4

.

' 【解题思路】若在 x0 附近的左侧 f ( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,且 f ' ( x0 ) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是

f ( x) 的极大值;若在 x 0 附近的左侧 f ' ( x) ? 0 ,右侧 f ' ( x) ? 0 ,且 f ' ( x0) ?0 ,那么 f ( x0 )
是 f ( x ) 的极小值.
' 【解析】因为 f ( x ) 可导,且 f ( x) ? ?m sin x ? cos 2 x ,所以 f ( ) ? ? m sin
'

?

?
4

解得 m ? 0 .经验证当 m ? 0 时, 函数 f ( x) ?

1 ? sin 2 x 在 x ? 处取得极大值. 2 4

4

? cos

?
2

?0,

【注】 若 f ( x ) 是可导函数,注意 f ?( x0 ) ? 0 是 x0 为函数 f ( x ) 极值点的必要条件.要确定 极值点还需在 x 0 左右判断单调性. 【例 5】 (B 类) (2011 北京文 18)已知函数 (I)求

f ? x ? ? ? x ? k ? ex



f ? x?

的单调区间; (II)求

f ? x?

在区间

?0,1? 上的最小值.
f ? x?
在 (??, k ? 1) 上

【解题思路】注意求导的四则运算;注意分类讨论. 【解析】 (I) f ( x) ? ( x ? k ? 1)e ,令 f (x) ? 0 ? x ? k ?1 ;所以
/ x /

递减,在 (k ? 1, ??) 上递增;

(II)当 k ? 1 ? 0,即k ? 1 时,函数

f ? x?

在区间

?0,1? 上递增,所以 f ( x)min ? f (0) ? ?k ;
f ? x?
在区间

当 0 ? k ? 1 ? 1 即 1 ? k ? 2 时, 由 (I)知,函数 上递增,所以

?0, k ?1? 上递减,(k ?1,1]

f ( x)min ? f (k ?1) ? ?ek ?1 ;

当 k ? 1 ? 1,即k ? 2 时, 函数

f ? x?

在区间

?0,1? 上递减, f ( x)min ? f (1) ? (1 ? k )e . 所以

【例 6】 (B 类)设 x ? 1, x ? 2 是 f ? x ? ? a ln x ? bx ? x 函数的两个极值点. (1)试确定常数 a 和 b 的值; (2)试判断 x ? 1, x ? 2 是函数 【解析】 (1) f
'

f ? x?

的极大值点还是极小值点,并求相应极值.

? x? ?

a ? 2bx ? 1, x

? a ? 2b ? 1 ? 0 ' ? ? f ?1? ? 0 ? ? ?1 由已知得: ? ' f 2 ? 0 a ? 4b ? 1 ? 0 ? ? ? ? ? ?2
(2) x 变化时. f ?( x), f ( x) 的变化情况如表:
x

2 ? a?? ? ? 3 ?? ?b ? ? 1 ? 6 ?

(0,1) —

1 0 极小值
5

(1,2) +

2 0 极大值
4 2 ? ln 2

f, ? x?
f ? x?



f x f x 故在 x ? 1 处,函数 ? ? 取极小值 6 ;在 x ? 2 处,函数 ? ? 取得极大值 3 3
【课堂练习】

.

2 1 1 ( ,?? ) f ( x) ? ? x 3 ? x 2 ? 2ax 3 2 4.(A 类) (2011 江西理 19)设 .若 f ( x) 在 3 上存在单调
递增区间,求 a 的取值范围. 【解题思路】在某区间上存在单调区间等价于在该区间上有极值.

2 ( ,?? ) f ( x ) 【解析】 在 3 上存在单调递增区间, 2 (m, n) ? ( ,?? ) ' 3 即存在某个子区间 使得 f ( x) ? 0 .

1 1 f ' ( x ) ? ? x 2 ? x ? 2a ? ?( x ? ) 2 ? ? 2a 2 4 由 ,
2 2 [ ,?? ) f '( ) ? 0 f ' ( x) 在区间 3 3 上单调递减,则只需 即可. 2 2 1 f ' ( ) ? ? 2a ? 0 a?? 9, 3 9 由 解得 a??
所以,当

1 2 ( ,?? ) 9 时, f ( x) 在 3 上存在单调递增区间.

? 5.(B 类) (2011 陕西文 21)设 f ( x) ? ln x , g ( x) ? f ( x) ? f ( x) .
(1)求 g ( x) 的单调区间和最小值; (2)讨论 g ( x) 与

1 g( ) x 的大小关系;

【解题思路】 (1)先求出原函数 f ( x) ,再求得 g ( x) ,然后利用导数判断函数的单调性(单 调区间) ,并求出最小值; (2)作差法比较,构造一个新的函数,利用导数判断函数的单调 性,并由单调性判断函数的正负; (3)对任意 x >0 成立的恒成立问题转化为函数 g ( x) 的 最小值问题.

f ( x) ? ln x, g ( x) ? ln x ?
【解】 (1)由题设知

x ?1 1 g ?( x) ? 2 , x 令 g ?( x) ? 0 得 x =1, x ,∴

? 当 x ∈(0,1)时, g ( x ) <0, g ( x) 是减函数,故(0,1)是 g ( x) 的单调减区间. ? 当 x ∈(1,+∞)时, g ( x ) >0, g ( x) 是增函数,故(1,+∞)是 g ( x) 的单调递增区间,
因此, x =1 是 g ( x) 的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,所以 g ( x) 的最小值 为 g (1) ? 1.

1 1 1 ( x ? 1)2 ? g ( ) ? ? ln x ? x h( x) ? g ( x) ? g ( ) ? ln x ? x ? h ( x) ? ? x x ,则 x2 , (2) x ,设 1 g ( x) ? g ( ) x ,当 x ? (0,1) ? (1, ??) 时, h?( x) ? 0 , 当 x ? 1 时, h(1) ? 0 ,即
因此, h( x) 在 (0, ??) 内单调递减,当 0 ? x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 ,即

1 g ( x) ? g ( ). x

6.(C 类) (2011 全国Ⅱ文 20)已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ? (3 ? 6a) x ? 12a ? 4(a ? R)
3 2

(Ⅰ)证明:曲线 y ? f ( x)在x ? 0 的切线过点(2, 2); (Ⅱ)若

f ( x)在x ? x0处取得极小值,x0 ? (1,3) ,求 a 的取值范围. f '( x0 ) ? 0 .

【解题思路】在某点处取得极值可得

2 【解析】(Ⅰ) f ?( x) ? 3x ? 6ax ? (3 ? 6a) , f ?(0) ? 3 ? 6a ,又 f (0) ? 12a ? 4

曲 线 y ? f ( x)在 x? 0的切线 方程是: y ? (12a ? 4) ? (3 ? 6a) x , 在 上式中 令

x ? 2 ,得 y ? 2 .
所以曲线 y ? f ( x)在x ? 0 的切线过点(2, 2);
2 ? (Ⅱ)由 f ( x) ? 0 得 x ? 2ax ? 1 ? 2a ? 0 ,

(i)当 ? 2 ?1 ? a ? 2 ?1 时, f ( x) 没有极小值; (ii)当 a ?

2 ? 1或 a ? ? 2 ? 1 时,由 f ?( x) ? 0 得

x1 ? ?a ? a 2 ? 2a ? 1, x2 ? ?a ? a 2 ? 2a ? 1


x0 ? x2 .由题设知 1 ? ?a ? a2 ? 2a ?1 ? 3 ,当 a ? 2 ? 1时,不等式

1 ? ?a ? a2 ? 2a ?1 ? 3 无解;
5 ? a ? ? 2 ?1 当 a ? ? 2 ? 1 时,解不等式 1 ? ?a ? a ? 2a ?1 ? 3 得 2
2

?

5 ( ? , ? 2 ? 1) 综合(i)(ii)得 a 的取值范围是 2 .
【例 7】 (A 类) 当 x ? 0 时,求证 e ? 1 ? x
x

【解题思路】先移项,再证左边恒大于 0 【解析】设函数 f ( x) ? e ? (1 ? x)
x
x 0

f ?( x) ? ex ?1

x 当 x ? 0 时, e ? e ? 1 ,? f ?( x) ? e ?1 ? 0 故 f ( x ) 在 [0, ??) 递增,? 当 x ? 0 x 0 ? f ( x) ? 0 , 时, f ( x) ? f (0) ,又 f (0) ? e ? (1 ? 0) ? 0 , 即e ?( 故 e ? 1? x . 1 ?) x ? 0 ,
x

【注】若要证的不等式两边是两类不同的基本函数,往往构造函数,借助于函数的单调性来

证明 【例 8】 (C 类) (2010 辽宁文)已知函数 f ( x) ? (a ? 1)ln x ? ax2 ? 1. (Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)设 a ? ?2 ,证明:对任意 x1 , x2 ? (0, ??) , | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 4 | x1 ? x2 | . 【解题思路】利用导数考察函数的单调性,注意对数求导时定义域.第二问构造函数证明函 数的单调性 【解析】(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+ ? ), f ?( x) ?

a ?1 2ax 2 ? a ? 1 ? 2ax ? . x x

当 a≥0 时, f ?( x ) >0,故 f(x)在(0,+ ? )单调增加; 当 a≤-1 时, f ?( x ) <0, 故 f(x)在(0,+ ? )单调减少; 当-1<a<0 时,令 f ?( x ) =0,解得 x= ?

a ?1 .当 x∈(0, 2a ?

?

a ?1 )时, f ?( x ) >0; 2a

x∈( ?

a ?1 ,+ ? )时, f ?( x ) <0, 故 f(x)在(0, 2a

a ?1 a ?1 )单调增加,在( ? , 2a 2a

+ ? )单调减少. (Ⅱ)不妨假设 x1≥x2.由于 a≤-2,故 f(x)在(0,+ ? )单调减少. 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 x1 ? x2 等价于 即

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4x1 ? 4x2 ,

f ( x2 ) ? 4x2 ? f ( x1 ) ? 4x1

令 g ( x) ? f ( x) ? 4x ,则

g ?( x) ?

a ?1 2ax 2 ? 4 x ? a ? 1 ? 2ax +4= . x x

于是 g ?( x ) ≤

?4 x 2 ? 4 x ? 1 ?(2 x ? 1) 2 = ≤0. x x

从而 g ( x) 在(0,+ ? )单调减少,故

g ( x1 ) ? g ( x2 ) ,

故对任意 x1,x2∈(0,+ ? ) , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 x1 ? x2 . 【例 9】 (C 类)设函数 f ( x) ? ( x ? a) x, a ? R .
2

(Ⅰ)若 x ? 1 为函数 y ? f ( x) 的极值点,求实数 a ; (Ⅱ)求实数 a 的取值范围,使得对任意的 x ∈ (??, 2] ,恒有 f ( x) ≤4 成立. 【解析】(Ⅰ)

f ?( x) ? ( x ? a)(3x ? a)

f ?(1) ? (1 ? a)(3 ? a) ? 0

a ? 1 或 a ? 3 ,检验知符合题意
(Ⅱ) ( x ? a)2 x ? 4 在 x ∈ (??, 2] 时恒成立 当 x ? 0 时,显然恒成立 当0 ? x ? 2时 由 ( x ? a)2 x ? 4 得 a ? x ?

2 x

在 x ∈ (0, 2] 时恒成立

x?

2 2 在 x ∈ (0, 2] 时恒成立 ? a ? x? x x

令 g ( x) ? x ?

2 2 , h( x ) ? x ? , x ? (0, 2] , x x
在 (0, 2] 单调递增 ∴ g ( x)max ? g (2) ? 2 ? 2

g ( x) ? x ?

2 x

h?( x) ? 1 ?

1 x x

?

x x ?1 x x

0 ? x ? 1 时, h( x) 单调递减 , 1 ? x ? 2 时 h( x) 单调递增
∴ h( x) min ? h(1) ? 3 【课堂练习】 7. (C 类)已知函数 f ( x) ? 3.求 f(x)的单调区间; 4.证明: ln x < x ? 1 【解题思路】注意求导时的定义域;先移项,再证左边恒大于 0 【解析】 (1)函数 f(x)的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ? ∴2? 2 ? a ? 3

x ? 1 ? a ln x ( a ? R )

1 a x ? 2a x ? 1 ? ? 2 x ?1 x 2x x ?1

①当 a ? 0 时, f ?( x ) >0,f(x)在 (0, ??) 上递增
2 2 2 ②当 a ? 0 时,令 x ? 2a x ? 1 得 x ? 4a x ? 4a ? 0 解得:

x1 ? 2a 2 ? 2a a 2 ? 1, x2 ? 2a 2 ? 2a a 2 ? 1 ,因 x1 ? 0(舍去) , 故在 (0, 2a2 ? 2a a2 ? 1)
上 f ?( x ) <0,f(x)递减;在 (2a2 ? 2a a2 ?1, ??) 上, f ?( x ) >0,f(x)递增. (2)由(1)知 g ( x) ?

x ? 1 ? ln x 在 (0, 2 ? 2 2) 内递减,在 (2 ? 2 2, ??) 内递增.

[ g( x)]min ? g(2 ? 2 2) ? 1 ? 2 ? ln(2 ? 2 2)
故 x ? 1 ? ln x ? 1 ? 2 ? ln(2 ? 2 2) ,又因 2 ? 2 2 ? 5 ? e
2

故 1 ? 2 ? ln(2 ? 2 2) ? 1 ? 2 ? ln e2 ? 2 ?1 ? 0 ,得 x ? 1 ? ln x 8.(C 类) (全国Ⅰ卷理 20)已知函数 f ( x) ? ( x ? 1) ln x ? x ? 1 . (Ⅰ)若 xf '( x) ? x ? ax ? 1 ,求 a 的取值范围;
2

(Ⅱ)证明: ( x ? 1) f ( x) ? 0 . 【解题思路】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、 不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力,同时也考查了函 数与方程思想、化归与转化思想.

f ?( x) ?
【解析】 (Ⅰ)
2

x ?1 1 ? ln x ? 1 ? ln x ? x x,

x f?( x )? xl n ? x ,1

? 题设 xf ( x) ? x ? ax ? 1 等价于 ln x ? x ? a .
令 g ( x) ? ln x ? x ,则
'

g ?( x ) ?

1 ?1 x
'

1 , g ( x)>0 ;当 x≥1 时, g ( x)≤0 , x ? 1 是 g ( x) 的最大值点, 当 0<x<
g ( x)≤g (1) ? ?1 ,综上, a 的取值范围是 ? ?1, ??? .
(Ⅱ)有(Ⅰ)知, g ( x)≤g (1) ? ?1 即 ln x ? x ? 1≤0 .

1 时, f ( x) ? ( x ? 1) ln x ? x ? 1 ? x ln x ? (ln x ? x ? 1)≤0 ; 当 0<x<

当 x≥1 时, f ( x) ? ln x ? ( x ln x ? x ? 1)

? ln x ? x (ln x ?

1 ? 1) x

? ln x ? x (ln
所以 ( x ? 1) f ( x)≥0 9.(C 类)设函数 f ( x) ?

1 1 ? ? 1) ≥0 x x

1 3 x ? (1 ? a) x 2 ? 4ax ? 24a ,其中常数 a>1 3

(Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)若当 x≥0 时,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围. 【解题思路】本题考查导数与函数的综合运用能力,涉及利用导数讨论函数的单调性,第一 问关键是通过分析导函数,从而确定函数的单调性,第二问是利用导数及函数的最值,由恒 成立条件得出不等式恒成立条件从而求出的范围. 【解析】 (I) f ?( x) ? x 2 ? 2(1 ? a) x ? 4a ? ( x ? 2)(x ? 2a) 由 a ? 1 知,当 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在区间 (??,2) 是增函数; 当 2 ? x ? 2a 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在区间 (2,2a) 是减函数; 当 x ? 2a 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在区间 (2a,??) 是增函数. 综上,当 a ? 1 时, f ( x ) 在区间 (??,2) 和 (2a,??) 是增函数,在区间 (2,2a) 是减函数. (II)由(I)知,当 x ? 0 时, f ( x ) 在 x ? 2a 或 x ? 0 处取得最小值.

1 f (2a) ? (2a) 3 ? (1 ? a)( 2a) 2 ? 4a ? 2a ? 24 a 3 4 3 ? ? a ? 4a 2 ? 24 a f (0) ? 24a 3

由假设知

?a ? 1 ? ? f (2a) ? 0, ? f (0) ? 0, ?

?a ? 1, ? 4 ? 即 ?? a(a ? 3)(a ? 6) ? 0, 解得 1<a<6 ? 3 ? ?24a ? 0.

故 a 的取值范围是(1,6) 【例 11】 (C 类)( 两县城 A 和 B 相距 20km,现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧 上选择一点 C 建造垃圾处理厂, 其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关, 对城 A 和城 B 的总影响度为城 A 与城 B 的影响度之和,记 C 点到城 A 的距离为 x km,建在 C 处 的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y,统计调查表明:垃圾处理厂对城 A 的影响度与

所选地点到城 A 的距离的平方成反比,比例系数为 4;对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比, 比例系数为 k ,当垃圾处理厂建在 响度为 0.065. (1)将 y 表示成 x 的函数; (11)讨论(1)中函数的单调性,并判断弧 上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂 的中点时, 对城 A 和城 B 的总影

对城 A 和城 B 的总影响度最小?若存在,求出该点到城 A 的距离;若不存在,说明理由. 【解题思路】先把文字语言转化成数学式子,再利用导数求最值. 【解析】 解法一:(1)如图,由题意知 AC⊥BC, BC ? 400 ? x , y ?
2 2

4 k ? (0 ? x ? 20) 2 x 400 ? x 2
A

C x B

其中当 x ? 10 2 时,y=0.065,所以 k=9 所以 y 表示成 x 的函数为 y ? (2)

4 9 ? (0 ? x ? 20) 2 x 400 ? x 2

y?

4 9 ? 2 x 400 ? x 2

,

y' ? ?

8 9 ? (?2 x) 18 x4 ? 8(400 ? x2 ) 2 ? ? x3 (400 ? x2 )2 x3 (400 ? x 2 )2

, 令

y' ? 0 得

18x4 ? 8(400 ? x2 )2 , 所 以 x 2 ? 160 , 即 x ? 4 10 , 当 0 ? x ? 4 10 时 , 18x4 ? 8(400 ? x2 ) 2 , 即 y ' ? 0 所 以 函 数 为 单 调 减 函 数 , 当 4 6 ? x ? 20 时 , 18x4 ? 8(400 ? x2 )2 ,即 y ' ? 0 所以函数为单调增函数.所以当 x ? 4 10 时, 即当 C 点到城
A 的距离为 4 10 时, 函数 y ? 【课堂练习】 10.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米) ,其中容器的中间为圆柱形, 左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为

4 9 ? (0 ? x ? 20) 有最小值. 2 x 400 ? x 2

80? 立方米,且 l≥2 r .假设该容 3

器的建造费用仅与其表面积有关. 已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元, 半球形 部分每平方米建造费用为 c (c>3) 千元,设该容器的建造费用为 y 千元. (Ⅰ)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的 r .

【解题思路】先把文字语言转化成数学式子,再利用导数求最值. 【解析】 (I)设容器的容积为 V, 由题意知 V ? ? r l ?
2

4 3 80? ? r , 又V ? , 3 3

4 V ? ? r3 80 4 4 20 3 故l ? ? 2 ? r ? ( 2 ? r) 2 ?r 3r 3 3 r
由于 l ? 2r 因此 0 ? r ? 2.
2

所以建造费用 y ? 2? rl ? 3 ? 4? r c ? 2? r ? 因此 y ? 4? (c ? 2)r ?
2

160? , 0 ? r ? 2. r 160? 8? (c ? 2) 3 20 (r ? ), 0 ? r ? 2. (II)由(I)得 y ' ? 8? (c ? 2)r ? 2 ? r r2 c?2
由于 c ? 3, 所以c ? 2 ? 0, 当r ?
3

4 20 ( 2 ? r ) ? 3 ? 4? r 2c, 3 r

20 20 ? 0时, r ? 3 . c?2 c?2
8? (c ? 2) (r ? m)(r 2 ? rm ? m 2 ). 2 r

令3

20 ? m, 则 m ? 0 c?2
9 时, 2

所以 y ' ?

(1)当 0 ? m ? 2即c ?

当r=m时,y?=0; 当r ?(0,m)时,y?<0; 当r ?(m,2)时,y?>0.
所以 r ? m 是函数 y 的极小值点,也是最小值点. (2)当 m ? 2 即 3 ? c ?

9 时, 2

当 r ? (0, 2)时, y ' ? 0, 函数单调递减, 所以 r=2 是函数 y 的最小值点, 综上所述,当 3 ? c ? 当c ?

9 时,建造费用最小时 r ? 2; 2

20 9 . 时,建造费用最小时 r ? 3 c?2 2

巩固练习
基础训练(A 类)

1.曲线 y ?

x 在点 (1, ?1) 处的切线方程为 x?2





( A ) y? x ? 2
【答案】 D 【解析】 y? ? 即 y ? ?2 x ? 1.

( B ) y ? ? 3x ? 2

(C ) y? 2 x ? 3

( D) y ? ?2 x ? 1

?2 x?2? x ?2 ? ?2 ,∴切线方程为 y ? 1 ? ?2( x ? 1) , ,k ? ? 2 2 (1 ? 2) 2 ( x ? 2) ( x ? 2)

y?
2. 曲线 (A)y=2x+1 【答案】A

x x ? 2 在点(-1,-1)处的切线方程为 (
(B)y=2x-1 (C) y=-2x-3

) (D)y=-2x-2

y? ?
【解析】

2 ( x ? 2) 2 ,所以 k ? y?
2

x ??1

?2

,故切线方程为 y ? 2 x ? 1 .

3.若曲线 y ? x ? ax ? b 在点 (0, b) 处的切线方程是 x ? y ? 1 ? 0 ,则 ( (A) a ? 1, b ? 1 (C) a ? 1, b ? ?1 【答案】A 【解析】本题考查了导数的几何意义即求曲线上一点处的切线斜率. ∵ (B) a ? ?1, b ? 1 (D) a ? ?1, b ? ?1 )

y? ? 2x ? a

x ?0

?a

,∴ a ? 1 , (0, b) 在切线 x ? y ? 1 ? 0 ,∴ b ? 1 .

4.函数f(x)=xlnx(x>0)的单调递增区间是 【答案】 ( , ??) 【解析】由 f ?( x) ? ln x ? 1 ? 0 可得 x ?

1 e

1 ,答案:. e

x2 ? a 5.若函数 f ( x) ? 在 x ? 1 处取极值,则 a ? x ?1
【答案】3

2 x( x ? 1) ? ( x ? a) 3? a 【解析】 f '( x) = ,f′(1)= =0 ? 2
2

( x ? 1)

4

a=3

6.设函数 f ( x) ? 6 x ? 3(a ? 2) x ? 2ax .
3 2

x ,x x x ? 1 ,求实数 a 的值; (1)若 f ( x ) 的两个极值点为 1 2 ,且 1 2
(2)是否存在实数 a ,使得 f ( x ) 是 (??, ??) 上的单调函数?若存在,求出 a 的值;若不存 在,说明理由.

? 【解析】 f ( x) ? 18x ? 6(a ? 2) x ? 2a
2

f ?( x1 ) ? f ?( x2 ) ? 0 ,从而 (1)由已知有
2

x1 x2 ?
2

2a ?1 18 ,所以 a ? 9 ;

(2)由 ? ? 36(a ? 2) ? 4 ?18 ? 2a ? 36(a ? 4) ? 0 , 所以不存在实数 a ,使得 f ( x) 是 R 上的单调函数. 7.设函数 【解析】

f ? x ? ? sin x ? cos x ? x ?1 , 0 ? x ? 2?

,求函数

f ? x?

的单调区间与极值.

解 : 由f ( x) ? sin x ? cos x ? x ? 1, 0 ? x ? 2? , 知f ?( x) ? 1 ? 2 sin( x ? ). 4 令f ?( x) ? 0,
从而 sin( x ?

?

?
4

)??

2 3? , 得x ? ? 或x ? , 当 x 变化时, f ?( x), f ( x) 变化情况如下表: 2 2

因此,由上表知f(x)的单调递增区间是(0,?)与(

3? 3? 3? 单调递增区间是(? , ),极小值为f( )= ,极大值为f(? )=? ? 2 2 2 2
8.设函数 f ( x) ? ln( x ? a) ? x ,
2

3? , 2?), 2

(I)若当 x ? ?1 时, f ( x ) 取得极值,求 a 的值,并讨论 f ( x ) 的单调性; (II)若 f ( x ) 存在极值,求 a 的取值范围,并证明所有极值之和大于 ln

e . 2

1 ? 2x , x?a 3 依题意有 f ?(?1) ? 0 ,故 a ? . 2
【解析】 (Ⅰ) f ?( x ) ? 从而 f ?( x) ?

2 x 2 ? 3 x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) ? . 3 3 x? x? 2 2

3 ? 3 ? f ( x) 的定义域为 ? ? , ? ∞? ,当 ? ? x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 ; 2 ? 2 ?
当 ?1 ? x ? ? 当x??

1 时, f ?( x) ? 0 ; 2

1 时, f ?( x) ? 0 . 2
? 3 ? 2 ? ? 1 ? ? 2 ? ? ? ? 1? ? 单调减少. 2?

从而, f ( x ) 分别在区间 ? ? , ? 1?, ? ∞? 单调增加,在区间 ? ?1 , ? ?? ,

? ∞) , f ?( x) ? (Ⅱ) f ( x ) 的定义域为 (?a,
2
2

2 x 2 ? 2ax ? 1 . x?a

方程 2 x ? 2ax ? 1 ? 0 的判别式 ? ? 4a ? 8 . (ⅰ)若 ? ? 0 ,即 ? 2 ? a ? (ⅱ)若 ? ? 0 ,则 a ?

2 ,在 f ( x) 的定义域内 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 的极值.

2或a ? ? 2 .

( 2 x ? 1) 2 若 a ? 2 , x ? (? 2 . ,∞ ? ) , f ?( x) ? x? 2
当x??

? ? 2? ? 2 2 ? ? ? , ? ∞? 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? ? ? 2, ? ? ? ? ? ? 时, f ( x) ? 0 , 2 ? ? 2 2 ? ?

所以 f ( x ) 无极值. 若 a ? ? 2 , x ? ( 2,∞ ? ) , f ?( x) ? (ⅲ)若 ? ? 0 ,即 a ?

( 2 x ? 1)2 ? 0 , f ( x) 也无极值. x? 2

2 或 a ? ? 2 , 则 2 x 2 ? 2a x? 1 ? 0 有两个不同的实根

x1 ?

?a ? a 2 ? 2 ?a ? a 2 ? 2 , x2 ? . 2 2

当 a ? ? 2 时, x1 ? ?a,x2 ? ?a ,从而 f ?( x ) 在的定义域内没有零点,故 f ( x ) 无极值.

当a ?

2 时, x1 ? ?a , x2 ? ?a , f ?( x ) 在 f ( x) 的定义域内有两个不同的零点,由根值

判别方法知 f ( x ) 在 x ? x1,x ? x2 取得极值. 综上, f ( x ) 存在极值时, a 的取值范围为 ( 2,∞ ? ).

f ( x) 的极值之和为

1 e f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ln( x1 ? a) ? x12 ? ln( x2 ? a) ? x2 2 ? ln ? a 2 ? 1 ? 1 ? ln 2 ? ln . 2 2
9.设函数 f ( x) ? ax 2 ? b ln x ,其中 ab ? 0 . 证明:当 ab ? 0 时,函数 f ( x ) 没有极值点;当 ab ? 0 时,函数 f ( x ) 有且只有一个极 值点,并求出极值.

? ?) . 【解析】因为 f ( x) ? ax 2 ? b ln x,ab ? 0 ,所以 f ( x ) 的定义域为 (0,

b 2ax 2 ? b f ?( x ) ? 2ax ? ? . x x
? ?) 上单调递增; 当 ab ? 0 时,如果 a ? 0,b ? 0,f ?( x) ? 0,f ( x) 在 (0, ? ?) 上单调递减. 如果 a ? 0,b ? 0,f ?( x) ? 0,f ( x) 在 (0,
所以当 ab ? 0 ,函数 f ( x ) 没有极值点. 当 ab ? 0 时,

? b ?? b ? 2a ? x ? ? ?? x ? ? ? 2a ?? 2a ? ? f ?( x) ? x
令 f ?( x) ? 0 , 得 x1 ? ? ?

b b ? (0, ? ?) (舍去) , x2 ? ? ? (0, ??), , 2a 2a

当 a ? 0,b ? 0 时, f ?( x),f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x

? b 0 , ? ? ? 2a ?

? ? ? ?

?

b 2a

? ? b ? , ? ? ? ? ? ? 2a ? ?

f ?( x ) f ( x)
从上表可看出,

?


0 极小值

?


函数 f ( x ) 有且只有一个极小值点,极小值为 f ? ? ?

? ?

b ? b? ? b ?? ? ? ?1 ? ln ? ? ? ? . ? ? 2a ? 2? ? 2a ? ?

当 a ? 0,b ? 0 时, f ?( x),f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
f ?( x ) f ( x)
从上表可看出,

? b ? ? 0, ? 2 a ?
?


? ? ? ?
0

?

b 2a

? ? b ? , ? ? ? ? ? ? 2a ? ?

?


极大值

函数 f ( x ) 有且只有一个极大值点,极大值为 f ? ? ?

? ?

b ? b? ? b ?? ? ? 1 ? ln ? ? ? ?? . ? 2a ? 2 ? 2a ? ? ? ?

综上所述, 当 ab ? 0 时,函数 f ( x ) 没有极值点; 当 ab ? 0 时, 若 a ? 0,b ? 0 时,函数 f ( x ) 有且只有一个极小值点,极小值为 ?

b? ? b ?? 1 ? ln ? ? ?? . ? 2? ? 2a ?? b? ? b ?? 1 ? ln ? ? ?? . ? 2? ? 2a ??

若 a ? 0,b ? 0 时,函数 f ( x ) 有且只有一个极大值点,极大值为 ? 10.设函数 f(x)=x2+b ln(x+1),其中 b≠0. (Ⅰ)当 b>

1 时,判断函数 f(x)在定义域上的单调性; 2

(Ⅱ)求函数 f(x)的极值点; (Ⅲ)证明对任意的正整数 n,不等式 ln( ( ? 1) ?
2

1 n

1 1 ? 3 )都成立. 2 n n

【解析】(I) 函数 f ( x) ? x ? b ln( x ? 1) 的定义域为 ? ?1, ?? ? .

f '( x) ? 2 x ?

b 2 x2 ? 2 x ? b ? , x ?1 x ?1
1? ? 1 ? ? , ?? ? 上递增,在 ? ?1, ? ? 上递减, 2? ? 2 ? ?

令 g ( x) ? 2 x2 ? 2 x ? b ,则 g ( x) 在 ? ?

1 1 g ( x) min ? g (? ) ? ? ? b . 2 2 1 1 当 b ? 时, g ( x) min ? ? ? b ? 0 , 2 2

g ( x) ? 2 x2 ? 2 x ? b ? 0 在 ? ?1, ?? ? 上恒成立.

? f ' ( x) ? 0,
即当 b ?

1 时,函数 f ( x ) 在定义域 ? ?1, ?? ? 上单调递增. 2

(II)分以下几种情形讨论:

1 时函数 f ( x ) 无极值点. 2 1 2( x ? ) 2 1 2 , (2)当 b ? 时, f '( x) ? x ?1 2
(1)由(I)知当 b ?

1? ? ? x ? ? ?1, ? ? 时, f ' ( x) ? 0, 2? ? ? 1 ? x ? ? ? , ?? ? 时, f ' ( x) ? 0, ? 2 ?
?b ? 1 时,函数 f ( x ) 在 ? ?1, ?? ? 上无极值点. 2

(3)当 b ?

?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b 1 ' 时,解 f ( x) ? 0 得两个不同解 x1 ? , x2 ? . 2 2 2 ?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b ? ?1 , x2 ? ? ?1 , 2 2

当 b ? 0 时, x1 ?

? x1 ? ? ?1, ??? , x2 ? ? ?1, ??? ,
此时 f ( x ) 在 ? ?1, ?? ? 上有唯一的极小值点 x2 ? 当0 ? b ?

?1 ? 1 ? 2b . 2

1 时, x1 , x2 ? ? ?1, ??? , 2

f ' ( x) 在 ? ?1, x1 ? , ? x2 , ??? 都大于 0, f ' ( x) 在 ( x1 , x2 ) 上小于 0 ,
此时 f ( x ) 有一个极大值点 x1 ?

?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b 和一个极小值点 x2 ? . 2 2 ?1 ? 1 ? 2b ; 2

综上可知, b ? 0 时, f ( x ) 在 ? ?1, ?? ? 上有唯一的极小值点 x2 ?

0?b?

1 ?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b 时, f ( x ) 有一个极大值点 x1 ? 和一个极小值点 x2 ? ; 2 2 2

b?

1 时,函数 f ( x ) 在 ? ?1, ?? ? 上无极值点. 2
2

(III) 当 b ? ?1 时, f ( x) ? x ? ln( x ? 1). 令 h( x) ? x3 ? f ( x) ? x3 ? x2 ? ln( x ? 1), 则

h' ( x) ?

3x3 ? ( x ? 1) 2 在 ? 0, ?? ? 上恒正, x ?1

? h( x) 在 ?0, ?? ? 上单调递增,当 x ? ? 0, ?? ? 时,恒有 h( x) ? h(0) ? 0 .
即当 x ? ? 0, ?? ? 时,有 x3 ? x2 ? ln( x ? 1) ? 0, ln( x ? 1) ? x2 ? x3 , 对任意正整数 n ,取 x ?

1 1 1 1 得 ln( ? 1) ? 2 ? 3 n n n . n

提高训练(B 类)
1.曲线 y ? e A. 【答案】D 【解析】 ? y? ? (e 2 )? ? 为 y?e ?
2

1 x 2

在点 (4,e ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 B. 4e
2

2





9 2 e 2

C. 2e

2

D. e

2

1

x

x 1 1 1 e 2 , 曲线在点 (4,e2 ) 处的切线斜率为 e 2 ,因此切线方程 2 2

1 2 e ( x ? 4), 则切线与坐标轴交点为 A(2,0), B(0, ?e2 ), 所以: 2

S?AOB ?
2.设函数 f ( x) ?

1 | ?e 2 | ?2 ? e 2 . 2
( )

1 x ? ln x( x ? 0), 则 y ? f ( x) 3

1 e 1 B 在区间 ( ,1), (1, e) 内均无零点. e 1 C 在区间 ( ,1) 内有零点,在区间 (1, e) 内无零点. e 1 D 在区间 ( ,1) 内无零点,在区间 (1, e) 内有零点. e
A 在区间 ( ,1), (1, e) 内均有零点. 【答案】D 【解析】由题得 f ( x) ?
'

1 1 x?3 ? ? ,令 f ' ( x) ? 0 得 x ? 3 ;令 f ' ( x) ? 0 得 0 ? x ? 3 ; 3 x 3x

f ' ( x) ? 0 得 x ? 3 ,故知函数 f ( x ) 在区间 (0,3) 上为减函数,在区间 ( 3,? ?) 为增函数,
在点 x ? 3 处有极小值 1 ? ln 3 ? 0 ;又 f (1) ? 故选择 D. 3. 若曲线 f ( x) ? ax2 ? ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是 【答案】 ? ??,0 ? .

1 e 1 1 , f ?e ? ? ? 1 ? 0, f ( ) ? ?1? 0, 3 3 e 3e

1 .因为存在垂直于 y 轴的切线, x 1 ? 故此时斜率为 0 ,问题转化为 x ? 0 范围内导函数 f ? x ? ? 2ax ? 存在零点. x 1 解法 1 (图像法)再将之转化为 g ? x ? ? ?2ax 与 h ? x ? ? 存在交点.当 a ? 0 不符合题意, x
【解析】由题意该函数的定义域 x ? 0 ,由 f
?

? x ? ? 2ax ?

当 a ? 0 时,如图 1,数形结合可得显然没有交点,当 a ? 0 如图 2,此时正好有一个交点, 故有 a ? 0 应填 ? ??,0 ? 或是 ?a | a ? 0? .

解法 2 (分离变量法)上述问题也可等价于方程 2ax ?

1 ? 0 在 ? 0, ?? ? 内有解,显然可得 x

a??

1 ? ? ??, 0 ? 2x2

4.已知定义在正实数集上的函数 f ( x) ?

1 2 x ? 2ax, g ( x) ? 3a 2 ln x ? b ,其中 a ? 0 .设两曲 2

线 y ? f ( x), y ? g ( x) 有公共点,且在公共点处的切线相同. (1)若 a ? 1 ,求 b 的值; (2)用 a 表示 b ,并求 b 的最大值. 【解析】 (1)设 y ? f ( x ) 与 y ? g ( x)( x ? 0) 在公共点 ( x0 , y0 ) 处的切线相同

f '( x ) ? x ? 2, g '( x ) ?

3 x

?1 2 x0 ? 2 x0 ? 3ln x0 ? b ? ?2 由题意知 f ( x0 ) ? g ( x0 ), f '( x0 ) ? g '( x0 ) ,∴ ? ? x0 ? 2 ? 3 x0 ? ?
由 x0 ? 2 ?

3 得, x0 ? 1 ,或 x0 ? ?3 (舍去) x0

则有 b ?

5 2

(2)设 y ? f ( x ) 与 y ? g ( x)( x ? 0) 在公共点 ( x0 , y0 ) 处的切线相同

f '( x) ? x ? 2a, g '( x) ?

3a 2 x

?1 2 x0 ? 2ax0 ? 3a 2 ln x0 ? b ? ?2 由题意知 f ( x0 ) ? g ( x0 ), f '( x0 ) ? g '( x0 ) ,∴ ? 2 ? x0 ? 2a ? 3a ? x0 ?
由 x0 ? 2a ? 即有 b ?

3a 2 得, x0 ? a ,或 x0 ? ?3a (舍去) x0

1 2 5 a ? 2a 2 ? 3a 2 ln a ? a 2 ? 3a 2 ln a 2 2 5 2 2 令 h(t ) ? t ? 3t ln t (t ? 0) ,则 h '(t ) ? 2t (1 ? 3ln t ) ,于是 2
当 2t (1 ? 3ln t ) ? 0 ,即 0 ? t ? e 时, h '(t ) ? 0 ; 当 2t (1 ? 3ln t ) ? 0 ,即 t ? e 时, h '(t ) ? 0 故 h (t ) 在 (0, ??) 的最大值为 h(e 3 ) ?
1
1 3 1 3

3 2 3 2 e 3 ,故 b 的最大值为 e 3 2 2
3 2

5.(山东济南 2011 届高三二模数学(文) )已知函数 f ( x) ? mx ? 2nx ? 12 x 的减区间是

(?2, 2) .
⑴试求 m、n 的值; ⑵求过点 A(1, ? 11) 且与曲线 y ? f ( x) 相切的切线方程; ⑶过点 A(1,t)是否存在与曲线 y ? f ( x) 相切的 3 条切线,若存在求实数 t 的取值范围; 若不存在,请说明理由. 【解析】⑴ 由题意知: f ?( x) ? 3mx2 ? 4nx ? 12 ? 0 的解集为 (?2, 2) , 所以,-2 和 2 为方程 3mx2 ? 4nx ? 12 ? 0 的根, 由韦达定理知
3

0??

4n ?12 ,即 m=1,n=0. , ?4? 3m 3m
2 3

⑵ ∵ f ( x) ? x ? 12 x ,∴ f ?( x) ? 3x ?12 ,∵ f (1) ? 1 ? 12 ?1 ? ?11 当 A 为切点时,切线的斜率 k ? f ?(1) ? 3 ? 12 ? ?9 , ∴切线为 y ? 11 ? ?9( x ? 1) ,即 9 x ? y ? 2 ? 0 ;
2 当 A 不为切点时,设切点为 P( x0 , f ( x0 )) ,这时切线的斜率是 k ? f ?( x0 ) ? 3x0 ?12 ,
2 3 切线方程为 y ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) ,即 y ? 3( x0 ? 4) x ? 2 x0 3 2 2 3 ? 3x0 ? 1 ? 0, ( x0 ?1)2 (2 x0 ? 1) ? 0 , 因为过点 A (1, -11) ,?11 ? 3( x0 , ∴ 2 x0 ? 4) ? 2x0

1 1 47 ), ,而 x0 ? 1 为 A 点,即另一个切点为 P (? , 2 2 8 1 1 45 ∴ k ? f ?(? ) ? 3 ? ? 12 ? ? , 2 4 4 45 ( x ? 1) ,即 45x ? 4 y ? 1 ? 0 切线方程为 y ? 11 ? ? 4
∴ x0 ? 1 或 x0 ? ? 所以,过点 A(1, ? 11) 的切线为 9 x ? y ? 2 ? 0 或 45 x ? 4 y ? 1 ? 0 . ⑶ 存在满足条件的三条切线. 设点 P( x0 , f ( x0 )) 是曲线 f ( x) ? x ? 12 x 的切点,
3

则在 P 点处的切线的方程为

y ? f( 0 x ) ? ?f ( 0x ) ( ? x

0

2 3 x ) y ? 3( x0 ? 4) x ? 2 x0 即

2 3 3 2 ? 4) ? 2 x0 ? ?2 x0 ? 3x0 ? 12 , 因为其过点 A(1,t) ,所以, t ? 3( x0

由于有三条切线,所以方程应有 3 个实根,

设 g ( x) ? 2 x3 ? 3x 2 ? t ? 12 ,只要使曲线有 3 个零点即可. 设 g ?( x) ? 6 x 2 ? 6 x =0, ∴ x ? 0或x ? 1 分别为 g ( x) 的极值点, 当 x ? (??,0)和(1, ??) 时 g ?( x) ? 0 , g ( x ) 在 (??,0) 和 (1, ??) 上单增, 当 x ? (0,1) 时 g ?( x) ? 0 , g ( x ) 在 (0,1) 上单减, 所以, x ? 0 为极大值点, x ? 1 为极小值点.

? g (0) ? 0 ?t ? 12 ? 0 所以要使曲线与 x 轴有 3 个交 点,当且仅当 ? 即? , ? g (1) ? 0 ?t ? 11 ? 0
解得 ?12 ? t ? ?11 . 6.已知函数 f ? x ? ? ?x ? ax ? bx ? c 图像上的点 P ?1, ?2? 处的切线方程为 y ? ?3x ? 1 .
3 2

(1)若函数 f ? x ? 在 x ? ?2 时有极值,求 f ? x ? 的表达式 (2)函数 f ? x ? 在区间 ? ?2,0? 上单调递增,求实数 b 的取值范围 【解析】 f
'

? x ? ? ?3x2 ? 2ax ? b ,

因为函数 f ? x ? 在 x ? 1 处的切线斜率为-3, 所以 f ?1? ? ?3 ? 2a ? b ? ?3 ,即 2a ? b ? 0 ,
'

又 f ?1? ? ?1 ? a ? b ? c ? ?2 得 a ? b ? c ? ?1 . (1)函数 f ? x ? 在 x ? ?2 时有极值,所以 f ' ? ?2? ? ?12 ? 4a ? b ? 0 , 解得 a ? ?2, b ? 4, c ? ?3 , 所以 f ? x ? ? ?x ? 2x ? 4x ? 3 .
3 2

(2)因为函数 f ? x ? 在区间 ? ?2,0? 上单调递增,所以导函数 f 在区间 ? ?2,0? 上的值恒大于或等于零, 则?

'

? x ? ? ?3x2 ? bx ? b

? ? f ' ? ?2 ? ? ?12 ? 2b ? b ? 0, 得 b ? 4 ,所以实数 b 的取值范围为 ? 4, ?? ? f ' 0 ? b ? 0, ? ? ? ?
2 x ?1

7.设函数 f ( x) ? x e

? ax3 ? bx2 ,已知 x ? ?2 和 x ? 1 为 f ( x) 的极值点.

(Ⅰ)求 a 和 b 的值; (Ⅱ)讨论 f ( x ) 的单调性;

(Ⅲ)设 g ( x ) ?

2 3 x ? x 2 ,试比较 f ( x) 与 g ( x) 的大小. 3

【解析】 (Ⅰ)因为 f ?( x) ? ex?1 (2 x ? x2 ) ? 3ax2 ? 2bx ? xex?1 ( x ? 2) ? x(3ax ? 2b) , 又 x ? ?2 和 x ? 1 为 f ( x ) 的极值点,所以 f ?(?2) ? f ?(1) ? 0 ,

因此 ?

??6a ? 2b ? 0, ?3 ? 3a ? 2b ? 0,

解方程组得 a ? ? , b ? ?1 .

1 3

(Ⅱ)因为 a ? ? , b ? ?1 ,所以 f ?( x) ? x( x ? 2)(e x?1 ?1) , 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? ?2 , x2 ? 0 , x3 ? 1 .

1 3

? 2) 因为 当 x ? (??, 0) 当 x ? (?2,
所以

(0, 1) 时, f ?( x) ? 0 ;

(1, ? ?) 时, f ?( x) ? 0 .

f ( x) 在 (?2, 1) 上是单调递减的. 0) 和 (1, ? ?) 上是单调递增的;在 (??, ? 2) 和 (0,
2 x ?1

(Ⅲ)由(Ⅰ)可知 f ( x) ? x e

1 ? x3 ? x 2 , 3

故 f ( x) ? g ( x) ? x2e x?1 ? x3 ? x2 (e x?1 ? x) , 令 h( x) ? e
x ?1

? x ,则 h?( x) ? e x?1 ?1 .

令 h?( x) ? 0 ,得 x ? 1 ,因为 x ? ? ??, 1? 时, h?( x) ≤ 0 , 所以 h( x) 在 x ? ? ??, 1? 上单调递减.故 x ? ? ??, 1? 时, h( x) ≥ h(1) ? 0 ; 因为 x ? ?1 , ? ? ? 时, h?( x) ≥ 0 ,所以 h( x) 在 x ??1, ? ? ? 上单调递增. 故 x ? ?1 , ? ? ? 时, h( x) ≥ h(1) ? 0 .

? ?) ,恒有 h( x) ≥ 0 ,又 x 所以对任意 x ? (??, ? ?) ,恒有 f ( x) ≥ g ( x) . 故对任意 x ? (??,
8.已知函数 f ( x) ? ( x ? 3x ? ax ? b)e
3 2 ?x

2

≥ 0 ,因此 f ( x) ? g ( x) ≥ 0 ,

(Ⅰ)如果 a ? b ? ?3 ,求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 f ( x ) 在 (??, ? ), (2, ? ) 单调增加,在 (? , 2), ( ? , ??) 单调减少,证明

? ? ? <6.

【解析】 (Ⅰ)当 a ? b ? ?3 时, f ( x) ? ( x3 ? 3x2 ? 3x ? 3)e? x ,故

f '( x) ? ?( x3 ? 3x2 ? 3x ? 3)e? x ? (3x2 ? 6x ? 3)e? x
? ?e? x ( x?3 ? 9 x)
x ? ?x( x ?3 ) (x ? 3?e )

当 x ? ?3或 0 ? x ? 3时,f '( x) ? 0; 当 ?3 ? x ? 0或x ? 3时,f '( x) ? 0. 从而 f ( x)在(??, ?3),(0,3)单调增加,在(? 3, 单调减少. 0),(3, ? ?) (Ⅱ) f '( x) ? ?( x3 ? 3x2 ? ax ? b)e? x ? (3x2 ? 6x ? a)e? x ? ?e? x [ x3 ? (a ? 6) x ? b ? a]. 由条件得: f '(2) ? 0,即23 ? 2(a ? 6) ? b ? a ? 0, 故b ? 4 ? a, 从而

f '( x) ? ?e? x [ x3 ? (a ? 6) x ? 4 ? 2a].
因为 f '(? ) ? f '( ? ) ? 0, 所以

x3 ? (a ? 6) x ? 4 ? 2a ? ( x ? 2)( x ? ? )( x ? ? ) ? ( x ? 2)( x2 ? (? ? ? ) x ? ?? ).
将右边展开,与左边比较系数得, ? ? ? ? ?2, ?? ? a ? 2. 故

? ? ? ? ( ? ? ? ) 2 ? 4?? ? 12 ? 4a .
又 (? ? 2)(? ? 2) ? 0,即?? ? 2(? ? ? ) ? 4 ? 0. 由此可得 a ? ?6. 于是 ? ? ? ? 6. 9.设函数 f ( x) ? ax ?

1 ( a, b ? Z ) , 曲线 y ? f ( x ) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 y ? 3 . x?b

(Ⅰ)求 y ? f ( x ) 的解析式: (Ⅱ)证明:函数 y ? f ( x ) 的图像是一个中心对称图形,并求其对称中心; (Ⅲ)证明:曲线 y ? f ( x ) 上任一点的切线与直线 x ? 1 和直线 y ? x 所围三角形的面 积为定值,并求出此定值.

1 ? 2a ? ? 3, ? 1 2?b ? 解析: (Ⅰ) f ?( x) ? a ? ,于是 ? ( x ? b) 2 ?a ? 1 2 ? 0. ? ? (2 ? b)

?a ? 1, 解得 ? ?b ? ?1,

9 ? 1 a?? , f ( x) ? x ? ? ? 4 a , b ? Z x ?1 . 或? 因为 ,所以 8 ?b ? ? . ? 3 ?
1 都是奇函数, x

(II)证明:已知函数 y1 ? x, y2 ? 所以函数 g ( x ) ? x ?

1 也是奇函数,其图像是以原点为中心的中心对称图形. x 1 ?1. 而函数 f ( x ) ? x ? 1 ? x ?1
可知, 函数 g ( x) 的图像按向量 a= (1,1) 平移, 即得到函数 f ( x ) 的图象, 故函数 y ? f ( x ) 的图像是以点 (1,1) 为中心的中心对称图形. (III)证明:在曲线上任一点 ( x0 , x0 ?

1 ). x0 ? 1

由 f ( x0 ) ? 1 ?
'

1 知,过此点的切线方程为 ( x0 ? 1)2

x0 2 ? x0 ? 1 1 y? ? [1 ? ]( x ? x0 ) . x0 ? 1 ( x0 ? 1)2
令 x ?1得 y ?

x0 ? 1 x ?1 ). ,切线与直线 x ? 1 交点为 (1, 0 x0 ? 1 x0 ? 1

令 y ? x 得 y ? 2 x0 ? 1 ,切线与直线 y ? x 交点为 (2 x0 ?1, 2 x0 ?1) . 直线 x ? 1 与直线 y ? x 的交点为(1,1).

从而所围三角形的面积为

1 x0 ? 1 1 2 ? 1 2 x0 ? 1 ? 1 ? | 2 x0 ? 2 |? 2 . 2 x0 ? 1 2 x0 ? 1

所以, 所围三角形的面积为定值 2.

综合迁移(C 类)
1.已知函数 f ( x) ?

1 ? a ln( x ? 1), 其中 n ? N * , a 为常数. n ( 1 ? x)

(I)当 n ? 2 时,求函数 f ( x ) 的极值; (II)当 a ? 1 时,证明:对任意的正整数 n ,当 x ? 2 时,有 f ( x) ? x ? 1. 【解析】 (Ⅰ)解:由已知得函数 f ( x ) 的定义域为 ?x | x ? 1 ?, 当 n ? 2 时, f ( x) ?

1 2 ? a(1 ? x)2 ? ? a ln( x ? 1) ,所以 . f ( x ) ? (1 ? x) 2 (1 ? x)3

(1)当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 得 x1 ? 1 ?

2 2 ? 1 , x2 ? 1 ? ? 1, a a

此时 f ?( x) ?

?a( x ? x1 )( x ? x2 ) . (1 ? x)3

当 x ? (1 ,x1 ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减; 当 x ? ( x1, ? ?) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增. (2)当 a ≤ 0 时, f ?( x) ? 0 恒成立,所以 f ( x ) 无极值. 综上所述, n ? 2 时, 当 a ? 0 时, f ( x ) 在 x ? 1 ? 当 a ≤ 0 时, f ( x ) 无极值. (Ⅱ)当 a ? 1 时, f ( x) ?

? 2 ? a? 2? 2 ? 1 ? ln 处取得极小值,极小值为 f ?1 ? ? ? ?. ? ? 2? a a a ? ? ?

1 ? ln( x ? 1) . (1 ? x) n
1 ≤1 , (1 ? x) n

当 x ≥ 2 时,对任意的正整数 n ,恒有 故只需证明 1 ? ln( x ?1) ≤ x ?1 . 令 则

h( x)? x? 1 ? ( 1? l n x( ? 1 ) ?) x ?
h?( x) ? 1 ? 1 x?2 ? , x ?1 x ?1

? 2 xl n ? ( x ?1 ), , ? ?? , ?2

当 x ≥ 2 时, h?( x) ≥ 0 ,故 h( x) 在 ?2, ? ?? 上单调递增, 因此 当 x ≥ 2 时, h( x) ≥ h(2) ? 0 ,即 1 ? ln( x ?1) ≤ x ?1 成立. 故 当 x ≥ 2 时,有 . f ( x)≤ x ? 1

1 ? ln( x ? 1) ≤ x ? 1 . (1 ? x)n



2.已知函数 f ( x) ? ln x ?

a , g ( x) ? f ( x) ? ax ? 6 ln x ,其中 a ?R. x

(Ⅰ)讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)若 g ( x) 在其定义域内为增函数,求正实数 a 的取值范围; 【解析】 (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (0,??) ,且 f ' ( x) ?

x?a , x2

①当 a ? 0 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 在 (0,??) 上单调递增; ②当 a ? 0 时,由 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? ?a ;由 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? ?a ; 故 f ( x) 在 (0,?a) 上单调递减,在 (?a,??) 上单调递增. (Ⅱ) g ( x) ? ax ?

a ? 5 ln x , g ( x) 的定义域为 (0,??) x

g ' ( x) ? a ?

a 5 ax2 ? 5 x ? a ? ? x2 x x2

因为 g ( x) 在其定义域内为增函数,所以 ?x ? (0,??) , g ' ( x) ? 0

? ax2 ? 5x ? a ? 0 ? a( x 2 ? 1) ? 5x ? a ?


5x ? 5x ? ?a?? 2 ? x ?1 ? x ? 1? max
2

5x 5 5 ? ? ,当且仅当 x ? 1 时取等号, x ?1 x ? 1 2 x 5 所以 a ? 2 k 3.设 f ( x ) ? kx ? ? 2 ln x. x
2

(1)若 f ?(2) ? 0 ,求过点(2, f ( 2) )的直线方程; (2)若 f ( x ) 在其定义域内为单调增函数,求 k 的取值范围.

【解析】 (1)由 f ( x ) ? kx ?

k ? 2 ln x 得 x

f ?( x) ? k ?
f ?(2) ?

k 2 kx 2 ? 2 x ? k ? ? x2 x x2

4k ? 4 ? k 4 ? 0?k ? , 4 5 4 6 4 ∵ f (2) ? ? 2 ? 5 ? 2 ln 2 ? ? 2 ln 2 5 5 2 6 6 过点(2, f ( 2) )的直线方程为 y ? ? 2 ln 2 ? 0( x ? 1) ,即 y ? ? 2 ln 2 5 5
(2)由 f ?( x) ? k ?

k 2 kx 2 ? 2 x ? k ? ? x2 x x2

令 h( x) ? kx 2 ? 2 x ? k , 要使f ( x) 在其定义域(0,+ ? )上单调递增. 只需 h( x)在(0,??)内满足 : h( x) ? 0 恒成立 由 h( x) ? 0得kx ? 2 x ? k ? 0即k ?
2

2x ? x ?1
2

2 1 x? x

在x ? (0,?? ) 上恒成立

∵ x ? 0 ,∴ x ?

1 ? 2 ,∴ x

2 1 x? x

? 1,∴ k ? 1

综上 k 的取值范围为 k ? 1. 4.(山东省淄博一中 2012 届高三上学期阶段检测(一)数学(文)试题 19.) 已知函数 f ( x) ?

1 3 1 x ? (m ? 3) x 2 ? (m ? 6) x ,x∈R. (其中 m 为常数) 3 2

(I)当 m=4 时,求函数的极值点和极值; (II)若函数 y ? f ( x) 在区间(0,+∞)上有两个极值点,求实数 m 的取值范围. 【解析】函数的定义域为 R (Ⅰ)当 m=4 时,f(x)= x3-x2+10x, f ' ( x ) =x2-7x+10,令 f ' ( x) ? 0 , 解 得 x ? 5 或 x ? 2 .令 f ' ( x) ? 0 , 解得 2 ? x ? 5 , 列表

x

(??,2)

2

(2,5)

5

(5,??)

f ' ( x)

?


0



0

?


f ( x)

26 3

25 6

所以函数的极大值点是 x ? 2 ,极大值是

26 25 ;函数的极小值点是 x ? 5 ,极小值是 . 3 6

(Ⅱ) f ' ( x ) =x2-(m+3)x+m+6,要使函数 y ? f ( x) 在(0,+∞)有两 个极值点,

?? ? (m ? 3) 2 ? 4(m ? 6) ? 0 ? 则? ,解得 m>3. m?3? 0 ? m?6?0 ?
5.(山东省潍坊市三县 2012 届高三 10 月联合考试数学(文)试题 22. ) 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? x ? 2 .
3 2

(Ⅰ)若 a ? ?1 ,令函数 g ( x) ? 2 x ? f ( x) ,求函数 g ( x) 在 (?1, 2) 上的极大值、极小值; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在 (? , ??) 上恒为单调递增函数,求实数 a 的取值范围. 【解析】(Ⅰ) g ( x) ? 2 x ? ( x3 ? x2 ? x ? 2) ? ? x3 ? x2 ? x ? 2 ,所以 g ?( x) ? ?3x ? 2 x ? 1
2

1 3

由 g ?( x) ? 0 得 x ? ? 或 x ? 1

1 3

x
g ?( x) g ( x)

1 ( ?1, ? ) 3

?

1 3

1 (? ,1) 3

1

(1, 2)

?


0
? 1 3 59 27

?


0
?1

?


所以函数 g ( x) 在 x ? ? 处取得极小值 ?
2

59 ;在 x ? 1 处取得极大值 ?1 27

(Ⅱ) 因为 f ?( x) ? 3x ? 2ax ? 1 的对称轴为 x ? ? ( 1 )若 ?

a 3

a 1 1 ? ? 即 a ? 1 时,要使函数 f ( x) 在 (? , ??) 上恒为单调递增函数,则有 3 3 3

? ? 4a 2 ? 12 ? 0 ,解得: ? 3 ? a ? 3 ,所以 ? 3 ? a ? 1 ;
( 2 )若 ?

a 1 1 ? ? 即 a ? 1 时,要使函数 f ( x) 在 (? , ??) 上恒为单调递增函数,则有 3 3 3

1 1 1 f (? ) ? 3 ? (? ) 2 ? 2a ? (? ) ? 1 ? 0 ,解得: a ? 2 ,所以 1 ? a ? 2 ; 3 3 3

综上,实数 a 的取值范围为 ? 3 ? a ? 2 6.已知函数 f ( x) ? ax3 ? cx ? d (a ? 0) 是 R 上的奇函数,当 x ? 1 时 f ( x ) 取得极值 ?2 . (1)求 f ( x ) 的单调区间和极大值; (2)证明对任意 x1 , x2 ? (?1,1), 不等式 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 4 恒成立. 【 解 析 】( 1 ) 由 奇 函 数 定 义 , 有

f (? x) ? ? f ( x), x ? R .



?ax3 ? cx ? d ? ?ax3 ? cx ? d ,? d ? 0. 因此, f ( x) ? ax3 ? cx, f '( x) ? 3ax2 ? c.
由条件 f (1) ? ?2 为 f ( x ) 的极值,必有 f '(1) ? 0,



?a ? c ? ?2 ? ?3a ? c ? 0

,解得 a ? 1, c ? ?3.

因此 f ( x) ? x3 ? 3x, f '( x) ? 3x2 ? 3 ? 3( x ? 1)( x ?1),

f '(?1) ? f '(1) ? 0.

当 x ? (??, ?1) 时, f '( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在单调区间 (??, ?1) 上是增函数. 当 x ? (?1,1) 时, f '( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在单调区间 (?1,1) 上是减函数. 当 x ? (1, ??) 时, f '( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在单调区间 (1, ??) 上是增函数. 所以, f ( x ) 在 x ? ?1 处取得极大值,极大值为 f (?1) ? 2. (2)由(1)知, f ( x) ? x3 ? 3x( x ?[?1,1]) 是减函数,且

f ( x) 在 [ ?1,1] 上的最大值为 M ? f (?1) ? 2, 最小值为 m ? f (1) ? ?2.
所以,对任意 x1 , x2 ? (?1,1), 恒有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? M ? m ? 2 ? (?2) ? 4. 7 (2011· 烟台一月调研)已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx 2 的图象经过点 M (1, 4) ,曲线在点 M 处的 切线恰好与直线 x ? 9 y ? 0 垂直. (1)求实数 a , b 的值. (2)若函数 f ( x) 在区间 [m, m ? 1] 上单调递增,求 m 的取值范围. 【解析】 (1) f ( x) ? ax3 ? bx 2 的图象经过点 M (1, 4).
a?b?4

f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ,则 f ?(1) ? 3a ? 2b

1 由条件 f ?(1) ? (? ) ? ?1 即 3a ? 2b ? 9 9
解得 a ? 1, b ? 3 (2) f ( x) ? x3 ? 3x2 , f ?( x) ? 3x2 ? 6 x , 令 f ?( x) ? 3x2 ? 6 x ? 0 得 x ? 0 或 x ? ?2 函数 f ( x) 在区间 [m, m ? 1] 上单调递增, 则 [m, m ? 1] ? (??, ?2] [0, ??)

? m ? 0 或 m ? 1 ? ?2
即 m ? 0 或 m ? ?3 8.(2011· 丰台期末)已知函数 f ( x) ? e ( x ? ax ? 1) .
x 2

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线与 x 轴平行,求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的极值. 【解析】 (Ⅰ) f ?( x) ? ex ( x2 ? ax ? 1 ? 2x ? a) ? e x [ x2 ? (a ? 2) x ? a ? 1] . 因为曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线与 x 轴平行,
2 所以 f ?(2) ? 0 ,即 f ?(2) ? e [4 ? 2(a ? 2) ? a ? 1] ? 0

所以 a ? ?3 .
x (Ⅱ) f ?( x) ? e ( x ? a ? 1)( x ? 1) . 令 f ?( x) ? 0 ,则 x ? ? a ? 1 或 x ? ?1 .
x 2 ①当 a ? 1 ? 1 ,即 a ? 0 时, f ?( x) ? e ( x ? 1) ? 0 ,

? ?) 上为增函数,函数无极值点; 函数 y ? f ( x) 在 (??,
②当 ?(a ? 1) ? ?1 ,即 a ? 0 时.

x
f ?( x )
f ( x)

(??, ? a ? 1)
+ ↗

?a ? 1
0 极大值

(?a ? 1, ? 1)

? a ?1

?1
0 极小值

(?1, ? ?)
+ ↗

所以 当 x ? ? a ? 1 时,函数有极大值是 e

(a ? 2) ,当 x ? ?1 时,函数有极小值



2?a ; e

③当 ?(a ? 1) ? ?1,即 a ? 0 时.

x
f ?( x )
f ( x)

(??, ? 1)
+ ↗

?1
0 极大值

(?1, ? a ? 1)


?a ? 1
0 极小值

(?a ? 1, ? ?)
+ ↗

所以 当 x ? ?1 时,函数有极大值是

2?a ,当 x ? ? a ? 1 时,函数有极小值是 e

e?a?1 (a ? 2) .
综上所述,当 a ? 0 时函数无极值; 当 a ? 0 时,当 x ? ? a ? 1 时,函数有极大值是 e? a?1 (a ? 2) ,当 x ? ?1 时,函数有极小值是

2?a 2?a ;当 a ? 0 时,当 x ? ?1 时,函数有极大值是 ,当 x ? ? a ? 1 时,函数有极 e e
小值 e? a?1 (a ? 2). . 9. (2011· 温州十校期末联考) (本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? ( x2 ? 3x ? 3) ? e x ,其定义 域为 ? ?2, t ? ( t ? ?2 ),设 f (?2) ? m, f (t ) ? n . (1)试确定 t 的取值范围,使得函数 f ( x) 在 ? ?2, t ? 上为单调函数; (2)试判断 m, n 的大小并说明理由. 【解析】 (1)

f ?( x) ? ( x2 ? x)e x

令 f ?( x) ? 0 ,则 x ? 1 或 x ? 0 ,

? f ( x) 在 (??, 0],[1, ??) 上单调递增,在 [0,1] 上单调递减

??2 ? t ? 0
①若 ?2 ? t ? 0 ,则 f ( x ) 在 [ ?2, t ] 上单调递增,? f (t ) ? f (?2) , 即n ? m ②若 0 ? t ? 1 ,则 f ( x ) 在 [?2, 0] 上单调递增,在 [0, t ] 上单调递减 又 f (?2) ?

13 , f (1) ? e ,? f (t ) ? f (1) ? f (?2) ,即 n ? m e2

③若 t ? 1 ,则 f ( x ) 在 (??, 0],[1, t ] 上单调递增,在 [0,1] 上单调递减

? f (t ) ? f (1) ? f (?2) ,即 n ? m ,综上, n ? m .
?2? ?2? 10.(2011· 杭州一检)已知函数 f ( x) 满足 f ( x) ? x 3 ? f ' ? ? x 2 ? x ? C (其中 f ' ? ? 为 f ( x) 在 ?3? ?3?
点x?

2 处的导数, C 为常数) . 3

?2? (1)求 f ' ? ? 的值; ?3?
(2)求函数 f ( x) 的单调区间; (3)设函数 g ( x) ? [ f ( x) ? x ] ? e ,若函数 g ( x) 在 x ? [?3,2] 上单调,求实数 C 的取
3 x

值范围.

?2? 【解析】 (1)由 f ( x) ? x 3 ? f ' ? ? x 2 ? x ? C ,得 f ' ( x) ? 3x 2 ? 2 f ?3?
取x?

?2? '? ? x ? 1. ?3?

2 ? 2? ? 2? ,得 f ' ? ? ? 3 ? ? ? ? 2 f 3 ? 3? ? 3?

2

?2? ?2? '? ? ? ? ? ?1 , ?3? ?3?

?2? 解之,得 f ' ? ? ? ?1 , ?3?
(2)因为 f ( x) ? x3 ? x 2 ? x ? C .

1? ? 从而 f ' ( x) ? 3x 2 ? 2 x ? 1 ? 3? x ? ??x ? 1? ,列表如下: 3? ?

x
f ' ( x) f ( x)

1 (?? , ? ) 3
+ ↗

?
0

1 3

1 (? , 1) 3
- ↘

1 0 有极小值

(1 , ? ?)
+ ↗

有极大值

∴ f ( x) 的单调递增区间是 (?? , ? ) 和 (1 , ? ? ) ;

1 3

1 f ( x) 的单调递减区间是 (? , 1) . 3
(3)函数 g ( x) ? ( f ( x) ? x ) ? e ? (? x ? x ? C) ? e ,
3 x 2 x

有g (x) ? (?2x ? 1)e ? (? x ? x ? C)e =(–x2– 3 x+C–1)ex,
/ x 2 x

当函数在区间 x ? [?3,2] 上为单调递增时, 等价于 h (x) = –x2– 3 x+C–1?0 在 x ? [?3,2] 上恒成立, 只要 h(2)?0,解得 c ?11, 当函数在区间 x ? [?3,2] 上为单调递减时, 等价于 h (x) = –x2– 3 x+C–1?0 在 x ? [?3,2] 上恒成立, 即 ? = 9 ? 4(c ? 1) ? 0 ,解得 c ? – 所以 c 的取值范围是 c ?11 或 c ? –

5 , 4

5 . 4


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