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高中函数的权威


变量与函数 [变量和常量] 变量和常量] 在一个变化过程中,数值发生变化的量,我们称之为变量,而数值始终保持不 变的量,我们称之为常量。

[函数] 函数] 一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量 x 与 y ,并且对于 x 的每一个 确定的值, y 都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说 x 是自变量, y 是 x 的 函数。如果当 x = a 时 y = b ,那么 b 叫做当自变量的值为 a 时的函数值。

[自变量取值范围的确定方法 自变量取值范围的确定方法] 自变量取值范围的确定方法 1、 自变量的取值范围必须使解析式有意义。 当解析式为整式时,自变量的取值范围是全体实数;当解析式为分数形式 时,自变量的取值范围是使分母不为 0 的所有实数;当解析式中含有二次根式 时,自变量的取值范围是使被开方数大于等于 0 的所有实数。 2、自变量的取值范围必须使实际问题有意义。

[函数的图像] 函数的图像] 一般来说,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的 横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象.

[描点法画函数图形的一般步骤] 描点法画函数图形的一般步骤] 第一步:列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值) ; 第二步:描点(在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵
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坐标,描出表格中数值对应的各点) ; 第三步:连线(按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起 来) 。

[函数的表示方法] 函数的表示方法] 列表法:一目了然,使用起来方便,但列出的对应值是有限的,不易看出 自变量与函数之间的对应规律。 解析式法:简单明了,能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间 的相依关系,但有些实际问题中的函数关系,不能用解析式表示。 图象法:形象直观,但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

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正比例函数 一般地, 形如 y= kx (k 是常数, k≠0 )的函数, 叫做正比例函数 (proportional function) ,其中 k 叫做比例系数.也就是说,形如 y= kx+b, 且 b≠0 的函数是正比例函数。 [正比例函数图象和性质] 正比例函数图象和性质] 一般地,正比例函数 y=kx(k 是常数,k≠0)的图象是一条经过原点和 (1,k)的直线.我们称它为直线 y=kx. 当 k>0 时,直线 y=kx 经过三、一象限, 从左向右上升,即随 x 的增大 y 也增大;当 k<0 时, 直线 y=kx 经过二、四象 限,从左向右下降,即随 x 增大 y 反而减小. (1) (2) (3) (4) (5) 解析式:y=kx(k 是常数,k≠0) 解析式 必过点: 、 必过点 (0,0)(1,k) 走向: 走向:k>0 时,图像经过一、三象限;k<0 时, 图像经过二、四象限 增减性:k>0,y 随 x 的增大而增大;k<0,y 随 x 增大而减小 增减性 倾斜度:|k|越大,越接近 y 轴;|k|越小,越接近 x 轴 倾斜度

[正比例函数解析式的确定]——待定系数法 正比例函数解析式的确定]——待定系数法 1. 设出含有待定系数的函数解析式 y=kx(k ≠0) 2. 把已知条件(一个点的坐标)代入解析式,得到关于 k 的一元一次方程 3. 解方程,求出系数 k 4. 将 k 的值代回解析式

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一次函数 [一次函数] 一次函数] 一般地,形如 y=kx+b(k、b 是常数,k ≠ 0)函数,叫做一次函数. 当 b=0 时, y=kx+b 即 y=kx,所以正比例函数是一种特殊的一次函数.

[一次函数的图象及性质] 一次函数的图象及性质] 一次函数 y=kx+b 的图象是经过(0,b)和(- ,0)两点的一条直线,我 们称它为直线 y=kx+b,它可以看作由直线 y=kx 平移|b|个单位长度得到. 当 b>0 ( 时,向上平移;当 b<0 时,向下平移) (1)解析式:y=kx+b(k、b 是常数,k ≠ 0) 解析式 (2)必过点: 必过点 (0,b)和(- ,0) (3)走向: k>0,图象经过第一、三象限;k<0,图象经过第二、四象限 走向: b>0,图象经过第一、二象限;b<0,图象经过第三、四象限
?k > 0 ? 直线经过第一、二、三象限 ? ?b > 0 ?k > 0 ? 直线经过第一、三、四象限 ? ?b < 0 ?k < 0 ? 直线经过第一、二、四象限 ? ?b > 0 ?k < 0 ? 直线经过第二、三、四象限 ? ?b < 0
b k b k

(4)增减性: k>0,y 随 x 的增大而增大;k<0,y 随 x 增大而减小. 增减性 (5)倾斜度:|k|越大,图象越接近于 y 轴;|k|越小,图象越接近于 x 轴. 倾斜度 (6)图像的平移: 当 b>0 时,将直线 y=kx 的图象向上平移 b 个单位; 图像的平移 当 b<0 时,将直线 y=kx 的图象向下平移 b 个单位.
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的位置关系] [直线 y=k1x+b1 与 y=k2x+b2 的位置关系] (1)两直线平行:k1=k2 且 b1 ≠ b2 (2)两直线相交:k1 ≠ k2 (3)两直线重合:k1=k2 且 b1=b2

[确定一次函数解析式的方法] 确定一次函数解析式的方法] (1)根据已知条件写出含有待定系数的函数解析式; (2)将 x、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数解析式中得到以 待定系数为未知数的方程; (3)解方程得出未知系数的值; (4)将求出的待定系数代回所求的函数解析式中得出结果.

[一次函数建模 一次函数建模] 一次函数建模 函数建模的关键是将实际问题数学化,从而解决最佳方案、最佳策略等问题. 建立一次函数模型解决实际问题,就是要从实际问题中抽象出两个变量,再寻 求出两个变量之间的关系,构建函数模型,从而利用数学知识解决实际问题. 正比例函数的图象和一次函数的图象在赋予实际意义时,其图象大多为线段 或射线. 这是因为在实际问题中,自变量的取值范围是有一定的限制条件的,即 自变量必须使实际问题有意义. 从图象中获取的信息一般是: (1)从函数图象的形状判定函数的类型; (2)从横、纵轴的实际意义理解图象上点的坐标的实际意义. 解决含有多个变量的问题时,可以分析这些变量的关系,选取其中某个变量 作为自变量,再根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数.
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反比例函数 知识梳理 知识点 l. 反比例函数的概念 重点:掌握反比例函数的概念 难点:理解反比例函数的概念

一般地, 如果两个变量 x、 之间的关系可以表示成 y = k 或 y=kx-1 y (k 为常数,
x
k ≠ 0) 的形式, 那么称

y 是 x 的反比例函数。 反比例函数的概念需注意以下几点:
2 不是反比 x2

(1)k 是常数,且 k 不为零; (2) k 中分母 x 的指数为 1,如 y =
x

例函数。 (3)自变量 x 的取值范围是 x ≠ 0 一切实数.(4)自变量 y 的取值范围是 y ≠ 0 一切实数。 知识点 2. 反比例函数的图象及性质 重点:掌握反比例函数的图象及性质 难点:反比例函数的图象及性质的运 用 反比例函数 y = k 的图象是双曲线, 它有两个分支, 这两个分支分别位于第一、
x

三象限或第二、四象限。它们关于原点对称、反比例函数的图象与 x 轴、y 轴都 没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远不与坐标轴相交。 画反比例函数的图象时要注意的问题: (1)画反比例函数图象的方法是描点法; (2)画反比例函数图象要注意自变量的取值范围是 x ≠ 0 ,因此不能把两个分支 连接起来。
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(3)由于在反比例函数中,x 和 y 的值都不能为 0,所以画出的双曲线的两个 分支要分别体现出无限的接近坐标轴,但永远不能达到 x 轴和 y 轴的变化趋势。 反比例函数的性质
y= k (k ≠ 0) 的变形形式为 xy = k (常数)所以: x

(1)其图象的位置是: 当 k > 0 时,x、y 同号,图象在第一、三象限; 当 k < 0 时,x、y 异号,图象在第二、四象限。 (2)若点(m,n)在反比例函数 y = k 的图象上,则点(-m,-n)也在此图象上,
x

故反比例函数的图象关于原点对称。 (3)当 k > 0 时,在每个象限内,y 随 x 的增大而减小; 当 k < 0 时,在每个象限内,y 随 x 的增大而增大; 反比例函数解析式的确定。 知识点 3. 反比例函数解析式的确定。 重点:掌握反比例函数解析式的确定 难点:由条件来确定反比例函数解析 式 (1)反比例函数关系式的确定方法:待定系数法,由于在反比例函数关系 式 y = k 中,只有一个待定系数 k,确定了 k 的值,也就确定了反比例函数,因此
x

只需给出一组 x、y 的对应值或图象上点的坐标,代入 y = k 中即可求出 k 的值,
x

从而确定反比例函数的关系式。 (2)用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是: ①设所求的反比例函数为: y = k ( k ≠ 0 ) ②根据已知条件,列出含 k 的方 ;
x
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程; ③解出待定系数 k 的值; ④把 k 值代入函数关系式 y = k 中。
x

知识点 4. 用反比例函数解决实际问题 反比例函数的应用须注意以下几点: ①反比例函数在现实世界中普遍存在,在应用反比例函数知识解决实际问题 时,要注意将实际问题转化为数学问题。 ②针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系。 ③列出函数关系式后,要注意自变量的取值范围。

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二次函数 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如 y = ax2 + bx + c ( a ,b ,c 是常数, a ≠ 0 )的函数, 叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数

a ≠ 0 ,而 b , 可以为零.二次函数的定义域是全体实数. c

2. 二次函数 y = ax2 + bx + c 的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量 x 的二次式, x 的最高次数是 2. ⑵
a , , 是常数, a 是二次项系数, b 是一次项系数, c 是常数项. b c

二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式: y = ax2 的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。

a 的符

开口方 顶点坐 对称 性质 向 标 轴
x > 0 时, y 随 x 的增大而增大; x < 0



a>0

向上

( 0 ,0 )

y轴

时, y 随 x 的增大而减小; x = 0 时,
y 有最小值 0 . x > 0 时, y 随 x 的增大而减小; x < 0

a<0

向下

( 0 ,0 )

y轴

时, y 随 x 的增大而增大; x = 0 时, 2.
y 有最大值 0 . y = ax 2 + c

的性质: 上加下减。

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a 的符

开口方 顶点坐 对称 性质 向 标 轴
x > 0 时, y 随 x 的增大而增大; x < 0



a>0

向上

( 0 ,c )

y轴

时, y 随 x 的增大而减小; x = 0 时,
y 有最小值 c . x > 0 时, y 随 x 的增大而减小; x < 0

a<0

向下

( 0 ,c )

y轴

时, y 随 x 的增大而增大; x = 0 时,
y 有最大值 c .

3.
y = a ( x ? h)
2

的性质: 左加右减。
a 的符

开口方 顶点坐 对称 性质 向 标 轴
x > h 时, y 随 x 的增大而增大; x < h



a>0

向上

( h ,0 )

X=h

时, y 随 x 的增大而减小; x = h 时,
y 有最小值 0 . x > h 时, y 随 x 的增大而减小; x < h

a<0

向下

( h ,0 )

X=h

时, y 随 x 的增大而增大; x = h 时,
y 有最大值 0 .

4.

y = a ( x ? h) + k
2

的性质:

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a 的符

开口方 顶点坐 对称 性质 向 标 轴
x > h 时, y 随 x 的增大而增大; x < h



a>0

向上

( h ,k )

X=h

时, y 随 x 的增大而减小; x = h 时,
y 有最小值 k . x > h 时, y 随 x 的增大而减小; x < h

a<0

向下

( h ,k )

X=h

时, y 随 x 的增大而增大; x = h 时,
y 有最大值 k .

三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y = a ( x ? h )2 + k ,确定其顶点坐标
( h ,k ) ;

⑵ 保持抛物线 y = ax2 的形状不变,将其顶点平移到 ( h ,k ) 处,具体平移方法 如下:
y=ax2 向向(k>0)【或向或(k<0)】平平|k|几个个 y=ax 2+k

向向(h>0)【或或(h<0)】 平平|k|几个个

向向(h>0)【或或(h<0)】 平平 |k|几个个 向向(k>0)【或或(k<0)】 平平|k|几个个

向向(h>0)【或或(h<0)】 平平|k|几个个

y=a(x-h)2

向向(k>0)【或或(k<0)】平平|k|几个个

y=a(x-h)2+k

2. 平移规律 在原有函数的基础上“ h 值正右移,负左移; k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减” . 方法二:
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⑴ y = ax 2 + bx + c 沿 y 轴平移:向上(下)平移 m 个单位, y = ax 2 + bx + c 变成
y = ax 2 + bx + c + m (或 y = ax 2 + bx + c ? m )

⑵ y = ax 2 + bx + c 沿轴平移:向左(右)平移 m 个单位, y = ax 2 + bx + c 变成
y = a ( x + m) 2 + b( x + m) + c (或 y = a ( x ? m) 2 + b( x ? m) + c )

四、二次函数 y = a ( x ? h )2 + k 与 y = ax2 + bx + c 的比较 从解析式上看, y = a ( x ? h )2 + k 与 y = ax2 + bx + c 是两种不同的表达形式,后者通过 配方可以得到前者,即 y = a ? x + ?
? b ? 4ac ? b 2 ? + 2a ? 4a
2

,其中 h = ?

b 4ac ? b 2 , = k 2a 4a



五、二次函数 y = ax 2 + bx + c 图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数 y = ax 2 + bx + c 化为顶点式 y = a( x ? h)2 + k ,确 定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画 图.一般我们选取的五点为:顶点、与 y 轴的交点 ( 0 ,c ) 、以及 ( 0 ,c ) 关于对称 轴对称的点 ( 2h ,c ) 、与 x 轴的交点 ( x1 ,0 ) , ( x2 ,0 ) (若与 x 轴没有交点,则取两 组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与 x 轴的交点,与 y 轴 的交点. 六、二次函数 y = ax2 + bx + c 的性质 1. 当 a > 0 时,抛物线开口向上,对称轴为 x = ? 当x<?
b 2a b 2a

,顶点坐标为 ? ? ?

b 4ac ? b 2 ? , ?. 4a ? ? 2a b 2a

时, 随 x 的增大而减小; x > ? y 当
2

b 2a

时, 随 x 的增大而增大; x = ? y 当

时, y 有最小值 4ac ? b .
4a

2. 当 a < 0 时, 抛物线开口向下, 对称轴为 x = ?
x<? b 2a

b 2a

, 顶点坐标为 ? ? ?

b 4ac ? b 2 ? , 当 ?. 4a ? ? 2a b 2a

时, y 随 x 的增大而增大;当 x > ?
4ac ? b 2 4a

b 2a

时, y 随 x 的增大而减小;当 x = ?

时,

y 有最大值


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七、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式: y = ax 2 + bx + c ( a , b , c 为常数, a ≠ 0 ) ; 2. 顶点式: y = a( x ? h)2 + k ( a , h , k 为常数, a ≠ 0 ) ; 3. 两根式: y = a( x ? x1 )( x ? x2 ) ( a ≠ 0 , x1 , x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标). 注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次 函数都可以写成交点式,只有抛物线与 x 轴有交点,即 b2 ? 4ac ≥ 0 时,抛物 线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互 化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数 a 二次函数 y = ax2 + bx + c 中, a 作为二次项系数,显然 a ≠ 0 . ⑴ 当 a > 0 时,抛物线开口向上, a 的值越大,开口越小,反之 a 的值越小, 开口越大; ⑵ 当 a < 0 时,抛物线开口向下, a 的值越小,开口越小,反之 a 的值越大, 开口越大. 总结起来, a 决定了抛物线开口的大小和方向, a 的正负决定开口方向, a 的大小决定开口的大小. 2. 一次项系数 b 在二次项系数 a 确定的前提下, b 决定了抛物线的对称轴. ⑴ 在 a > 0 的前提下, 当 b > 0 时, ? 当 b = 0 时, ? 当 b < 0 时, ?
b < 0 ,即抛物线的对称轴在 y 轴左侧; 2a b = 0 ,即抛物线的对称轴就是 y 轴; 2a b > 0 ,即抛物线对称轴在 y 轴的右侧. 2a

⑵ 在 a < 0 的前提下,结论刚好与上述相反,即 当 b > 0 时, ? 当 b = 0 时, ?
b > 0 ,即抛物线的对称轴在 y 轴右侧; 2a b = 0 ,即抛物线的对称轴就是 y 轴; 2a

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当 b < 0 时, ?

b < 0 ,即抛物线对称轴在 y 轴的左侧. 2a

总结起来,在 a 确定的前提下, b 决定了抛物线对称轴的位置.
ab 的符号的判定:对称轴 x = ?

b 在 y 轴左边则 ab > 0 ,在 y 轴的右侧则 2a

ab < 0 ,概括的说就是“左同右异”

总结: 3. 常数项 c ⑴ 当 c > 0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方,即抛物线与 y 轴交点的纵坐 标为正; ⑵ 当 c = 0 时,抛物线与 y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与 y 轴交点的纵 坐标为 0 ; ⑶ 当 c < 0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方,即抛物线与 y 轴交点的纵坐 标为负. 总结起来, c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置. 总之,只要 a ,b ,c 都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的. 二次函数解析式的确定: 根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求 二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一 般来说,有如下几种情况: 1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式; 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式; 3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式; 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.

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九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于 x 轴对称
y = ax 2 + bx + c 关于 x 轴对称后,得到的解析式是 y = ? ax 2 ? bx ? c ;
y = a ( x ? h) + k
2

关于 x 轴对称后,得到的解析式是 y = ?a ( x ? h )2 ? k ;

2. 关于 y 轴对称
y = ax 2 + bx + c 关于 y 轴对称后,得到的解析式是 y = ax 2 ? bx + c ; y = a ( x ? h) + k
2

关于 y 轴对称后,得到的解析式是 y = a ( x + h )2 + k ;

3. 关于原点对称
y = ax 2 + bx + c 关于原点对称后,得到的解析式是 y = ? ax 2 + bx ? c ; y = a ( x ? h) + k
2

关于原点对称后,得到的解析式是 y = ?a ( x + h )2 ? k ;

4. 关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转 180°)
y = ax 2 + bx + c 关于顶点对称后,得到的解析式是 y = ? ax 2 ? bx + c ?

b2 ; 2a

y = a ( x ? h) + k
2

关于顶点对称后,得到的解析式是 y = ?a ( x ? h )2 + k .

5. 关于点 ( m ,n ) 对称
y = a ( x ? h) + k
2

关于点 ( m ,n ) 对称后,得到的解析式是 y = ?a ( x + h ? 2m )2 + 2n ? k

根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生 变化,因此 a 永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或 方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知 的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方 向,然后再写出其对称抛物线的表达式.

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十、二次函数与一元二次方程: 1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与 x 轴交点情况): 一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 是二次函数 y = ax 2 + bx + c 当函数值 y = 0 时的特殊情况. 图象与 x 轴的交点个数: ① 当 ? = b2 ? 4ac > 0 时,图象与 x 轴交于两点 A ( x1 ,0 ) ,B ( x2 ,0 ) ( x1 ≠ x2 ) ,其中的 x1 ,x2 是一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 的两根.这两点间的距离
AB = x2 ? x1 = b 2 ? 4ac a

.

② 当 ? = 0 时,图象与 x 轴只有一个交点; ③ 当 ? < 0 时,图象与 x 轴没有交点.
1' 2'

当 a > 0 时,图象落在 x 轴的上方,无论 x 为任何实数,都有 y > 0 ; 当 a < 0 时,图象落在 x 轴的下方,无论 x 为任何实数,都有 y < 0 .

2. 抛物线 y = ax 2 + bx + c 的图象与 y 轴一定相交,交点坐标为 (0 , c) ; 3. 二次函数常用解题方法总结: ⑴ 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程; ⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶 点式; ⑶ 根据图象的位置判断二次函数 y = ax 2 + bx + c 中 a , b , c 的符号,或由二次函 数中 a , b , c 的符号判断图象的位置,要数形结合; ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的 点坐标,或已知与 x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.

?>0

抛物线与 x 轴 二次三项式的值 一元二次方程有两个不相 18 有两个交点 可正、 可零、 可负 等实根

?=0

抛物线与 x 轴 二次三项式的值 一元二次方程有两个相等 只 有 一 个 交 为非负 点 的实数根

⑸ 与 二 次 函 数

?<0

抛物线与 x 轴 二次三项式的值 一元二次方程无实数根. 无交点 恒为正

有关的还有二次三项式,二次三项式 ax 2 + bx + c(a ≠ 0) 本身就是所含字母 x 的二次 函数;下面以 a > 0 时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的 内在联系:

图像参考:

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y=2 x2 y=x2

x2 y= 2
x2 y= 2

y= -x2

y=-2x2

y=2 x2+2
y=3 (x+4)2 y=3 x2 y=3 (x-2)2

y=2 x2

y=2 x2-4

y=2 x2

y=2(x-4)2

y=2(x-4)2-3

y=-2(x+3)2 y=-2x2 y=-2(x-3)2

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十一、函数的应用

?刹车距离 二次函数应用 ?何时获得最大利润 ? ?最大面积是多少 ?

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幂函数 1.函数 y = x α ( α ∈ R )叫做幂函数 幂函数,其中 x 是自变量,a 是常数(这里我们只讨 幂函数 论 a 是有理数的情况) . 幂函数 y = x α (a 是有理数)的定义域: (1) 当 a 为正整数时, (2) 当 a 为零或负整数时,x∈R,x≠0; 为零或负整数时,x∈R,x≠0; (3)当 a 为正分数 或负分数 ? (是互质的正整数, q > 1 )时,xa 的意 义分别是 q x p 或 q 数 x 的集合. 2.幂的四种运算法则:
a m ·a n = a m+ n , (a m ) n = a mn , (ab) m = a m ·b m a m ÷ a n = a m?n ( a ≠ 0,m、n 为正整数, m > n ) 1 xp
p q p q

, 幂函数的定义域分别是使 q x p 或 q

1 xp

有意义的实

3.幂函数的图象

4.幂函数的性质:y=xa (a 为有理数) (1) 当 a>0 时: ①图象都通过(0,0)(1,1)点; 图象都通过( (1 、 是增函数. 是增函数. (2) 当 a<0 时: ①图象都过(1,1)点; 图象都过( ②在第一象限内是减函数; 在第一象限内是减函数; ②在第一象限内

轴无限地接近, ③在第一象限内,图象向上与 y 轴无限地接近,向右与 x 在第一象限内, 轴无限地接近. 轴无限地接近. 作图时先分类、简化,再根据函数的性质、容易定的点、奇偶性、区域单调性、 以及移位特点等来定型。

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指数函数和对数函数 一.基础知识 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果 x n = a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根, 其中 n >1,且 n ∈ N *. 负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 = 0 。 当 n 是奇数时, n a n = a ,当 n 是偶数时, n a n =| a |= ? 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定:
a
a
m n
?

? a ( a ≥ 0) ? ? a ( a < 0)

= n a m (a > 0, m, n ∈ N * , n > 1)
m n

=

1 a
m n

=

1
n

a

m

(a > 0, m, n ∈ N * , n > 1)

0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 r r r+s (a > 0, r , s ∈ R ) ; (1) a · a = a
r s rs (2) (a ) = a r r s

(a > 0, r , s ∈ R ) ;

(3) (ab) = a a (a > 0, r , s ∈ R ) . (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数 y = a x (a > 0, 且a ≠ 1) 叫做指 数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和 1. 2、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1
6 6 5 5 4 4

3

3

2

2

1

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调 递增 非奇非偶函 数 函数图象都 过定点 (0, 1)
23

定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调 递减 非奇非偶函 数 函数图象都 过定点 (0, 1)

注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: ( 1 ) 在 [a , b] 上 , f ( x ) = a x (a > 0且a ≠ 1) 值 域 是 [f (a ), f (b)] 或 [f (b), f (a )] ; (2)若 x ≠ 0 ,则 f ( x ) ≠ 1 ; f ( x ) 取遍所有正数当且仅当 x ∈ R ; (3)对于指数函数 f ( x ) = a x (a > 0且a ≠ 1) ,总有 f (1) = a ; 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果 a x = N (a > 0, a ≠ 1) ,那么数 x 叫做 以 a 为底 N 的对数, 记作: = log a N a — 底数, — 真数, a N x ( N log . .. — 对数式) 说明:○ 注意底数的限制 a > 0 ,且 a ≠ 1 ; 1 x 2 ○ a = N ? log a N = x ; 3 ○ 注意对数的书写格式. log a N 两个重要对数: 1 ○ 常用对数:以 10 为底的对数 lg N ; 2 ○ 自然对数:以无理数 e = 2.71828? 为底的对数的对数 ln N . 指数式与对数式的互化 幂值 真数

a b = N ? log a N = b

底数 指数 对数 (二)对数的运算性质 如果 a > 0 ,且 a ≠ 1 , M > 0 , N > 0 ,那么: 1 ○ log a ( M · N ) = log a M + log a N ;
M 2 ○ log a = log a M - log a N ; N 3 ○ log a M n = n log a M
log a b = log c b log c a

(n ∈ R) .

注意:换底公式 ( a > 0 ,且 a ≠ 1 ; c > 0 ,且 c ≠ 1 ; b > 0 ) .
1 . log b a

利用换底公式推导下面的结论 (1) log a b n = n log a b ; (2) log a b =
m

m

(二)对数函数 1、对数函数的概念:函数 y = log a x(a > 0 ,且 a ≠ 1) 叫做对数函
24

数,其中 x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞) . 注意:○ 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义, 1 注意辨别。如: y = 2 log 2 x , y = log x 都不是对数函数,而只
5

5

能称其为对数型函数. 2 ○ 对数函数对底数的限制: (a > 0 ,且 a ≠ 1) .

2、对数函数的性质: a>1
3 2.5 2 1.5

0<a<1
3 2.5 2 1.5

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

- 0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

- 1.5

-1.5

-2

-2

- 2.5

-2.5

定义域 x >0 值域为 R 在 R 上递 增 函数图象 都过定点 (1,0)

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递减 函数图象都过 定点(1,0)

25

三角函数 考试内容: 考试内容: 角的概念的推广.弧度制. 任意角的三角函数.单位圆中的三角函数线.同角三角函数的基本关系式.正弦、 余弦的诱导公式. 两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切. 正弦函数、余弦函数的图像和性质.周期函数.函数 y=Asin(ωx+φ)的图像.正 切函数的图像和性质.已知三角函数值求角. 正弦定理.余弦定理.斜三角形解法. 考试要求: 考试要求: (1)理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算. (2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义;了解余切、正割、余割的定义; 掌握同角三角函数的基本关系式;掌握正弦、余弦的诱导公式;了解周期函数 与最小正周期的意义. (3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式;掌握二倍角的正弦、余弦、 正切公式. (4)能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明. (5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,会用“五点法”画正 弦函数、余弦函数和函数 y=Asin(ωx+φ)的简图,理解 A.ω、φ的物理意义. (6)会由已知三角函数值求角,并会用符号 arcsinx\arc-cosx\arctanx 表示. (7)掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形. (8) “同角三角函数基本关系式:sin2α+cos2α=1,sinα/cosα=tanα,tanα?cos α=1” .
26

§04. 三角函数 知识要点 1. ①与 α (0°≤ α <360°)终边相同的角的集合(角 α 与角 β 的终边重合) :


{β | β = k × 360

+α, k ∈ Z

} {β | β = k ×180 , k ∈ Z }
+ 90 , k ∈ Z ,k ∈Z
4 cosx

y
2 sinx 1 cosx cosx 4

3 sinx

②终边在 x 轴上的角的集合:

x

③终边在 y 轴上的角的集合: {β | β = k ×180

}

cosx 1 sinx 2 sinx 3

④终边在坐标轴上的角的集合: {β | β = k × 90 ⑤终边在 y=x 轴上的角的集合: {β | β = k ×180

} } }

SIN\COS三角函数值大小关系图

+ 45 , k ∈ Z

1、 2、 3、 4表示第一、二、三、 四象限一半所在区域

⑥终边在 y = ? x 轴上的角的集合: {β | β = k ×180

? 45 , k ∈ Z

⑦若角 α 与角 β 的终边关于 x 轴对称,则角 α 与角 β 的关系: α = 360 ⑧若角 α 与角 β 的终边关于 y 轴对称,则角 α 与角 β 的关系: α = 360 ⑨若角 α 与角 β 的终边在一条直线上,则角 α 与角 β 的关系: α = 180 ⑩角 α 与角 β 的终边互相垂直,则角 α 与角 β 的关系: α = 360
k + β ± 90

k?β k + 180 ? β k+β

2. 角度与弧度的互换关系:360°=2 π 180°= π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式: 0.01745(rad) 3、弧长公式: l =| α | ?r . 扇形面积公式: s扇形 = lr = |α | ? r 2
y a的 的 的
P(x,y) ( r

1rad= 180 °≈57.30°=57°18ˊ.
π

1°=

π
180



1 2

1 2

4、三角函数:设 α 是一个任意角,在 α 的终边 原点的)一点 P(x,y)P 与原点的距离为 r,
x cos α = r

上任取 (异于 则
sin α = y; r



y tan α = x



x cot α = y



r sec α = x

;.

o

x
csc α =

r. y

5、三角函数在各象限的符号: (一全二正弦,

三切四余弦)

27

y

y

+ + o x 正 余 、余 正

- + o - + x
余 余 、正 正

y

y P T

- + o x + 正 正 、余 正
O

M

Ax

6、三角函数线 正弦线:MP; 线: AT. 余弦线:OM; 正
16. 几几几几几几 : (1)
y

(2)

y



|sinx|>|cosx| sinx>cosx
O x |cosx|>|sinx| O |cosx|>|sinx| x

cosx>sinx

7. 三角函数的定义域: 三角函数
f (x) = sinx f (x) = cosx f (x) = tanx f (x) = cotx f (x) = secx f (x) = cscx

|sinx|>|cosx| π (3) 若 o<x< ,则sinx<x<tanx 2

定义域
{x | x ∈ R} {x | x ∈ R}
1 ? ? ? x | x ∈ R且x ≠ kπ + π , k ∈ Z ? 2 ? ? {x | x ∈ R且x ≠ kπ , k ∈ Z } 1 ? ? ? x | x ∈ R且x ≠ kπ + π , k ∈ Z ? 2 ? ? {x | x ∈ R且x ≠ kπ , k ∈ Z }
cos α = cot α sin α

8、同角三角函数的基本关系式: sin α
tan α ? cot α = 1 csc α ? sin α = 1
2 2
2 2

cos α

= tan α

sec α ? cos α = 1

sin α + cos α = 1 sec α ? tan α = 1 csc 2 α ? cot 2 α = 1

9、诱导公式:
把 kπ ± α的三角函数化为α的三角函数,概括为: 2

“奇变偶不变,符号看象限”

28

三角函数的公式: (一)基本关系

公 公式组三 公式组一 公式组一
sinx·cscx=1 cosx·secx=1 tanx·cotx=1 tanx=
sin x cos x







sin2x+cos2x=1 1+tan x =sec x 1+cot2x=csc2x
2 2

sin(2kπ + x) = sin x cos(2kπ + x) = cos x tan(2kπ + x) = tan x cot(2kπ + x) = cot x

sin(? x) = ? sin x cos(? x) = cos x tan(? x) = ? tan x cot(? x ) = ? cot x

cos x x= sin x

公式组四
sin(π + x) = ? sin x cos(π + x) = ? cos x tan(π + x) = tan x cot(π + x) = cot x

公式组五
sin(2π ? x) = ? sin x cos(2π ? x) = cos x tan(2π ? x) = ? tan x cot(2π ? x) = ? cot x sin(π ? x) = sin x cos(π ? x) = ? cos x tan(π ? x) = ? tan x cot(π ? x) = ? cot x

公式组六

(二)角与角之间的互换 公式组一
cos(α + β ) = cos α cos β ? sin α sin β cos(α ? β ) = cos α cos β + sin α sin β sin(α + β ) = sin α cos β + cos α sin β sin(α ? β ) = sin α cos β ? cos α sin β tan(α + β ) = tan(α ? β ) = tan α + tan β 1 ? tan α tan β tan α ? tan β 1 + tan α tan β
tan
sin 2α = 2 sin α cos α

公式组二
cos 2α = cos 2 α ? sin 2 α = 2 cos 2 α ? 1 = 1 ? 2 sin 2 α

tan 2α =
sin

2 tan α 1 ? tan 2 α
1 ? cos α 2 =± 1 + cos α 2

α
2



cos

α
2

α
2



1 ? cos α sin α 1 ? cos α = = 1 + cos α 1 + cos α sin α

公式组三 式组五

1 公式组四 [sin (α + β ) + sin (α ? β )] 2 1 cos α sin β = [sin (α + β ) ? sin (α ? β )] 2 1 cos α cos β = [cos(α + β ) + cos(α ? β )] 2 1 29 sin α sin β = ? [cos(α + β ) ? cos(α ? β )] 2 sin α cos β =



sin α =

2 tan 1 + tan

α
2
2

α
2

cos α =

1 ? tan 2 1 + tan
2

α α
2 2
sin α + sin β = 2 sin

tan α =

2 tan

α
2

1 ? tan 2
sin 15 = cos 75 =

α
2

α ?β cos 2 2 α+β α?β sin α ? sin β = 2 cos sin 2 2 α+β α?β cos α + cos β = 2 cos cos 2 2 α+β α?β cos α ? cos β = ?2 sin sin 2 2

α+β

1 cos( π ? α ) = sin α 2 1 sin( π ? α ) = cos α 2 1 tan( π ? α ) = cot α 2 1 cos( π + α ) = ? sin α 2 1 tan( π + α ) = ? cot α 2 1 sin( π + α ) = cos α 2

6? 2 sin 75 = cos 15 = 4

,

6 + 2 , tan 15 = cot 75 = 2 ? 3 , tan 75 = cot 15 = 2 + 3 . 4

10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:
y = sin x y = cos x

y = tan x

y = cot x

y = A sin (ωx + ? )

(A、 ω >0) 定 义 域 值域 周 期 性
30

R

R

1 ? ? ? x | x ∈ R且x ≠ k π + π , k ∈ Z ? 2 ? ?

{x | x ∈ R且x ≠ kπ , k ∈ Z }

R

[?1,+1]

[?1,+1]

R
π

R
π

[? A, A]






ω

奇 偶 性 数

奇 函 数

偶 函

奇函数

奇函数

当 ? ≠ 0, 非奇非 偶 当 ? = 0, 奇函数

[?

π
2

+ 2kπ ,

[(2k ? 1)π , ; ? ? π + kπ , π + kπ ? ? ? 2 2kπ ] ? 2 ?

(kπ , (k + 1)π ) 上为减

π
2

+ 2kπ ]

上 为 增 上 为 增 函 数 函数( k ∈ Z ) 数 (k∈Z )

上为增 函
[2kπ ,

? ? 2kπ ? ? ? ? 2kπ ? ?

? ? ( A), ? ω ? ? 1 + π ?? ? 2 (? A)? ω ? ? 2 ??

π

函 数 ; (2k + 1)π ]
[

上为增函数;
? ? 2kπ ? ? ? ? 2kπ ? ? ? ? ( A), ? ω ? ? 3 + π ?? ? 2 (? A)? ω ? + 2 ??

π

2 3π + 2kπ ] 2

+ 2kπ ,

上为减 函数

π

单 调 上 为 减 (k∈Z ) 性 函 数

上为减函数 (k∈Z ) (k∈Z ) 注意:① y = ? sin x 与 y = sin x 的单调性正好相反; y = ? cos x 与 y = cos x 的单调性也同样


相反.一般地,若 y =

f (x ) 在 [a, b] 上递增(减) ,则 y = ? f (x) 在 [a, b] 上递减(增).

y

② y = sin x 与 y = cos x 的周期是 π . ③ y = sin(ωx + ? ) 或 y = cos(ωx + ? ) ( ω ≠ 0 )的周期 T = 2π .
ω
y = tan x 2
O

x

的周期为 2 π ( T = π

ω

? T = 2π

,如图,翻折无效).
2

④ y = sin(ωx + ? ) 的对称轴方程是 x = kπ + π ( k ∈ Z ) ,对称中心( kπ ,0 ) y = cos(ωx + ? ) 的 ; 对称轴方程是 x = kπ( k ∈ Z ) 对称中心 kπ + 1 π ,0 ) y = tan(ωx + ? ) 的对称中心 kπ ,0 ) , ( ; ( .
2

2

y = cos 2 x ?? ? → y = ? cos( ?2 x ) = ? cos 2 x ?
原点对称

⑤当 tan α · tan β = 1, α + β = kπ + π (k ∈ Z ) ; tan α · tan β = ?1, α ? β = kπ + π (k ∈ Z ) .
2 2

⑥ y = cos x 与 y = sin ? x + π ?
?

? + 2kπ ? 是同一函数,而 y = (ωx + ? ) 是偶函数,则 2 ?

1 y = (ωx + ? ) = sin(ωx + kπ + π ) = ± cos(ωx) . 2
31

⑦函数 y = tan x 在 R 上为增函数.(×) [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个 定义域, y = tan x 为增函数,同样也是错误的]. ⑧定义域关于原点对称是 f (x) 具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条 件:一是定义域关于原点对称(奇偶都要) ,二是满足奇偶性条件,偶函数:
f ( ? x ) = f ( x) ,奇函数: f (? x ) = ? f ( x ) )

奇偶性的单调性:奇同偶反. 例如: y = tan x 是奇函数, y = tan( x + 1 π ) 是非奇非偶.
3

(定义域不关于原点对称) 奇函数特有性质:若 0 ∈ x 的定义域,则 f (x) 一定有 f (0) = 0 .( 0 ? x 的定义域,则无 此性质)


⑨ y = sin x 不是周期函数; y = sin x 为周期函数( T = π ) ;
x

y



y

1/2 x

y = cos x

是周期函数(如图) y = cos x 为周期函数( T = π ) ; ;
y=cos|x|图象

1 y = cos 2 x + 2

的周期为 π (如图) ,并非所有周期函数都有最小正周期,例如:

y=|cos2x+1/2|图象

y = f ( x) = 5 = f ( x + k ), k ∈ R .

⑩ y = a cos α + b sin β =

a 2 +b 2 sin(α + ? ) + cos ? =

b a



a 2 +b 2 ≥ y

.

11、三角函数图象的作法: 1) 、几何法: 2) 、描点法及其特例——五点作图法(正、余弦曲线) ,三点二线作图法 (正、余切曲线). 3) 、利用图象变换作三角函数图象. 三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等. 函数 y=Asin(ωx+φ)的振幅|A|,周期 T = 2π ,频率 f = 1 = | ω | ,相位 ω x + ? ;
|ω |

T



初相 ? (即当 x=0 时的相位)(当 A>0,ω>0 时以上公式可去绝对值符号) . , 由 y=sinx 的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长(当|A|>1)或缩
32

短(当 0<|A|<1)到原来的|A|倍,得到 y=Asinx 的图象,叫做振幅变换 振幅变换或叫沿 振幅变换 y 轴的伸缩变换. (用 y/A 替换 y) 由 y=sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变,横坐标伸长(0<|ω|<1)或 缩短(|ω|>1)到原来的 | 1 | 倍,得到 y=sinω x 的图象,叫做周期变换 周期变换或叫做 周期变换
ω

沿 x 轴的伸缩变换.(用ωx 替换 x) 由 y=sinx 的图象上所有的点向左 (当 φ>0) 或向右 (当 φ<0) 平行移动| φ|个单位,得到 y=sin(x+φ)的图象,叫做相位变换 相位变换或叫做沿 x 轴方向的平 相位变换 移.(用 x+φ 替换 x) 由 y=sinx 的图象上所有的点向上(当 b>0)或向下(当 b<0)平行移动| b|个单位,得到 y=sinx+b 的图象叫做沿 y 轴方向的平移. (用 y+(-b)替换 y) 由 y=sinx 的图象利用图象变换作函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0) (x∈R)的图象,要特别注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原 图象延 x 轴量伸缩量的区别。 4、反三角函数: 反三角函数: 函数 y=sinx, ? x ∈ ?? π , ? ? 的反函数叫做反正弦函数 反正弦函数,记作 y=arcsinx,它的定义域 π 反正弦函数 ? ?
? ? ? 2 2 ?? ? ??
? ?

是[-1,1] ,值域是 ?- π , ? . π
2 2? ?

函数 y=cosx, [0, ] 的反应函数叫做反余弦函数 记作 y=arccosx, (x∈ π ) 反余弦函数, 反余弦函数 它的定义域是[-1,1] ,值域是[0,π] . 函数 y=tanx,? x ∈ ? ? π , ? ? 的反函数叫做反正切函数 反正切函数,记作 y=arctanx,它的定 反正切函数 π ? ? ??
? ? ? ? 2 2 ??

义域是(-∞,+∞) ,值域是 ? ? π , ? . π ? ?
? 2 2?

函数 y=ctgx, [x∈(0,π) ]的反函数叫做反余切函数 反余切函数,记作 y=arcctgx, 反余切函数 . 它的定义域是(-∞,+∞) ,值域是(0,π)

33

竞赛知识要点 一、反三角函数. 反三角函数 1. 反三角函数:⑴反正弦函数 y = arcsin x 是奇函数,故 arcsin( ? x) = ? arcsin x , x ∈ [? 1,1] (一定要注明定义域,若 x ∈ (? ∞,+∞) ,没有 x 与 y 一一对应,故 y = sin x 无反函数) 注: sin(arcsin x) = x , x ∈ [? 1,1], arcsin x ∈ ?? π , π ? . ? ?
? 2 2?

⑵反余弦函数 y = arccos x 非奇非偶,但有 arccos(? x) + arccos( x) = π + 2kπ , x ∈ [? 1,1]. 注:① cos(arccos x) = x , x ∈ [? 1,1], arccos x ∈ [0, π ] . ② y = cos x 是偶函数, y = arccos x 非奇非偶,而 y = sin x 和 y = arcsin x 为奇函数. ⑶反正切函数: y = arctan x ,定义域 (?∞,+∞ ) ,值域( ? π , π ) y = arctan x 是奇函数, ,
2 2
arctan( ? x ) = ? arctan x , x ∈ ( ?∞,+∞ ) .

注: tan(arctan x) = x , x ∈ (?∞,+∞) . ⑷反余切函数: y = arc cot x ,定义域 (?∞,+∞) ,值域( ? π , π ) y = arc cot x 是非奇非 ,
2 2

偶.
arc cot( ? x ) + arc cot( x ) = π + 2 kπ

, x ∈ (?∞,+∞) .

注:① cot( arc cot x) = x , x ∈ (?∞,+∞) . ② y = arcsin x 与 y = arcsin(1 ? x) 互为奇函数, y = arctan x 同理为奇而 y = arccos x 与 y = arc cot x 非 奇非偶但满足 arccos(? x) + arccos x = π + 2kπ , x ∈ [?1,1]arc cot x + arc cot(? x) = π + 2kπ , x ∈ [?1,1] .

⑵ 正弦、余弦、正切、余切函数的解集:
a 的取值范围

解集

a 的取值范围

解集

① sin x = a 的解集
a

② cos x = a 的解集
?
a

>1 =1

>1

?

a

{x | x = 2kπ + arcsin a, k ∈ Z }
34

a

=1

{x | x = 2kπ + arccos a, k ∈ Z }

a

<1

{x | x = kπ + (? 1)

k

arcsin a , k ∈ Z

}

a

<1

{x | x = kπ ± arccos a, k ∈ Z }

的解集: ③ tan x = a 的解集: {x | x = kπ + arctan a, k ∈ Z } 二、三角恒等式. 三角恒等式 组一
cos α cos 2α cos 4α ... cos 2 n α = sin 2 n +1α 2 n +1 sin α

的解集: ③ cot x = a 的解集: {x | x = kπ + arc cot a, k ∈ Z }
sin 2 α ? sin 2 β = sin (α + β ) sin (α ? β ) = cos 2 β ? cos 2 α

sin 3α = 3 sin α ? 4 sin 3 α cos 3α = 4 cos 3 α ? 3 cos α

组二

∏ cos 2
k =1

n

α
k

= cos

α
2

cos

α
4

cos

α
8

? cos

α
2
n

=

sin α 2 n sin

α

2n

∑ cos( x + kd ) = cos x + cos( x + d ) + ? + cos( x + nd ) =
k =0

n

sin((n + 1)d ) cos( x + nd ) sin d

∑ sin( x + kd ) = sin x + sin( x + d ) + ? + sin( x + nd ) =
k =0

n

sin((n + 1)d ) sin( x + nd ) sin d

tan(α + β + γ ) =

tan α + tan β + tan γ ? tan α tan β tan γ 1 ? tan α tan β ? tan β tan γ ? tan γ tan α

组三 三角函数不等式
sin x < x < tan x, x ∈ (0,

π
2

)

f ( x) =

sin x x

在 (0, π ) 上是减函数

若 A + B + C = π ,则 x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2 yz cos A + 2 xz cos B + 2 xy cos C

35


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