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2015年北京市高考数学试卷(理科)答案与解析


2015 年北京市高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1. (5 分) (2015?北京)复数 i(2﹣i)=( A.1+2i B.1﹣2i

) C.﹣1+2i

D.﹣1﹣2i

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则解答. 2 解答: 解:原式=2i﹣i =2i﹣(﹣1)=1+2i; 故选:A. 2 点评: 本题考查了复数的运算;关键是熟记运算法则.注意 i =﹣1.
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2. (5 分) (2015?北京)若 x,y 满足

,则 z=x+2y 的最大值为(



A.0

B.1

C.

D.2

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出题中不等式组表示的平面区域,再将目标函数 z=x+2y 对应的直线进行平移,即 可求出 z 取得最大值. 解答:
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解:作出不等式组

表示的平面区域,

得到如图的三角形及其内部阴影部分,由

解得 A( , ) ,目标函数 z=x+2y,将直线 z=x+2y 进行平移, 当 l 经过点 A 时,目标函数 z 达到最大值 ∴ z 最大值= 故选:C. =

1

点评: 本题给出二元一次不等式组,求目标函数 z=x+2y 的最大值,着重考查了二元一次不 等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于基础题. 3. (5 分) (2015?北京)执行如图所示的程序框图,输出的结果为( )

A.(﹣2,2)

B.(﹣4,0)

C.(﹣4,﹣4)

D.(0,﹣8)

考点: 程序框图. 专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 x,y,k 的值,当 k=3 时满足条件 k≥3, 退出循环,输出(﹣4,0) . 解答: 解:模拟执行程序框图,可得 x=1,y=1,k=0 s=0,i=2 x=0,y=2,k=1
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2

不满足条件 k≥3,s=﹣2,i=2,x=﹣2,y=2,k=2 不满足条件 k≥3,s=﹣4,i=0,x=﹣4,y=0,k=3 满足条件 k≥3,退出循环,输出(﹣4,0) , 故选:B. 点评: 本题主要考查了循环结构的程序框图,正确写出每次循环得到的 x,y,k 的值是解题 的关键,属于基础题. 4. (5 分) (2015?北京) 设 α, β 是两个不同的平面, m 是直线且 m?α, “m∥ β“是“α∥ β”的 ( A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分不要条件 D.既不充分也不必要条件 )

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: m∥ β 并得不到 α∥ β,根据面面平行的判定定理,只有 α 内的两相交直线都平行于 β, 而 α∥ β,并且 m?α,显然能得到 m∥ β,这样即可找出正确选项. 解答: 解:m?α,m∥ β 得不到 α∥ β,因为 α,β 可能相交,只要 m 和 α,β 的交线平行即可 得到 m∥ β; α∥ β,m?α,∴ m 和 β 没有公共点,∴ m∥ β,即 α∥ β 能得到 m∥ β; ∴ “m∥ β”是“α∥ β”的必要不充分条件. 故选 B. 点评: 考查线面平行的定义, 线面平行的判定定理, 面面平行的定义, 面面平行的判定定理, 以及充分条件、必要条件,及必要不充分条件的概念.
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5. (5 分) (2015?北京)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是(



A.2+

B.4+

C.2+2

D.5

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据三视图可判断直观图为:A⊥ 面 ABC,AC=AB,E 为 BC 中点,EA=2,EA=EB=1, OA=1, :BC⊥ 面 AEO,AC= ,OE= 判断几何体的各个面的特点,计算边长,求解面积. 解答: 解:根据三视图可判断直观图为: OA⊥ 面 ABC,AC=AB,E 为 BC 中点, EA=2,EC=EB=1,OA=1,
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3

∴ 可得 AE⊥ BC,BC⊥ OA, 运用直线平面的垂直得出:BC⊥ 面 AEO,AC= ∴ S△ABC= S△BCO= 2×2=2,S△OAC=S△OAB= 2× = . , ×1=

,OE= .

故该三棱锥的表面积是 2 故选:C.

点评: 本题考查了空间几何体的三视图的运用,空间想象能力,计算能力,关键是恢复直观 图,得出几何体的性质. 6. (5 分) (2015?北京)设{an}是等差数列,下列结论中正确的是( ) A.若 a1+a2>0,则 a2+a3>0 B. 若 a1+a3<0,则若 a1+a2<0, C. 若若 0<a <a ,则 a D.若 a1<0,则(a2﹣a1) (a2﹣a3)>0
1 2 2

考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 对选项分别进行判断,即可得出结论. 解答: 解:若 a1+a2>0,则 2a1+d>0,a2+a3=2a1+3d>2d,d>0 时,结论成立,即 A 不正确; 若 a1+a2<0,则 2a1+d<0,a2+a3=2a1+3d<2d,d<0 时,结论成立,即 B 不正确;
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{an}是等差数列,0<a1<a2,2a2=a1+a3>2
2

,∴ a2>

,即 C 正确;

若 a1<0,则(a2﹣a1) (a2﹣a3)=﹣d <0,即 D 不正确. 故选:C. 点评: 本题考查等差数列的通项,考查学生的计算能力,比较基础. 7. (5 分) (2015?北京)如图,函数 f(x)的图象为折线 ACB,则不等式 f(x)≥log2(x+1) 的解集是( )

4

A.{x|﹣1<x≤0}

B.{x|﹣1≤x≤1}

C.{x|﹣1<x≤1}

D.{x|﹣1<x≤2}

考点: 指、对数不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 在已知坐标系内作出 y=log2(x+1)的图象,利用数形结合得到不等式的解集. 解答: 解:由已知 f(x)的图象,在此坐标系内作出 y=log2(x+1)的图象,如图
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满足不等式 f(x)≥log2(x+1)的 x 范围是﹣1<x≤1;所以不等式 f(x)≥log2(x+1) 的解集是{x|﹣1<x≤1}; 故选 C. 点评: 本题考查了数形结合求不等式的解集;用到了图象的平移. 8. (5 分) (2015?北京)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程,如图描述 了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况,下列叙述中正确的是( )

A.消耗 1 升汽油,乙车最多可行驶 5 千米 B. 以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C. 甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时,消耗 10 升汽油 D.某城市机动车最高限速 80 千米/小时,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油 考点: 函数的图象与图象变化. 专题: 创新题型;函数的性质及应用. 分析: 根据汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程,以及图象,分别判断各
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个选项即可. 解答: 解:对于选项 A,消耗 1 升汽油,乙车行驶的距离比 5 小的很多,故 A 错误; 对于选项 B,以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最小,故 B 错误, 对于选项 C,甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时,里程为 80 千米,燃油效率为 10,故消耗 8 升汽油,故 C 错误, 对于选项 D,因为在速度低于 80 千米/小时,丙的燃油效率高于乙的燃油效率,故 D 正确. 点评: 本题考查了函数图象的识别,关键掌握题意,属于基础题. 二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 9. (5 分) (2015?北京)在(2+x) 的展开式中,x 的系数为 40 (用数字作答) 考点: 二项式定理的应用. 专题: 二项式定理. 分析: 写出二项式定理展开式的通项公式,利用 x 的指数为 3,求出 r,然后求解所求数值. 解答: 5 5﹣r r 解: (2+x) 的展开式的通项公式为:Tr+1= 2 x ,
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5

3

所求 x 的系数为:

3

=40.

故答案为:40. 点评: 本题考查二项式定理的应用,二项式系数的求法,考查计算能力.

10. (5 分) (2015?北京)已知双曲线

﹣y =1(a>0)的一条渐近线为

2

x+y=0,则 a=



考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 运用双曲线的渐近线方程为 y=± ,结合条件可得 =
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,即可得到 a 的值.

解答: 解:双曲线

﹣y =1 的渐近线方程为 y=± ,

2

由题意可得 = 解得 a= . .



故答案为:

点评: 本题考查双曲线的方程和性质,主要考查双曲线的渐近线方程的求法,属于基础题.

6

11. (5 分) (2015?北京)在极坐标系中,点(2, 为 1 .

)到直线 ρ(cosθ+

sinθ)=6 的距离

考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 化为直角坐标,再利用点到直线的距离公式距离公式即可得出. 解答: 解:点 P(2, )化为 P .
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直线 ρ(cosθ+

sinθ)=6 化为 =1.



∴ 点 P 到直线的距离 d=

故答案为:1. 点评: 本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算 能力,属于中档题. 12. (5 分) (2015?北京)在△ ABC 中,a=4,b=5,c=6,则

=

1 .

考点: 余弦定理;二倍角的正弦;正弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 利用余弦定理求出 cosC,cosA,即可得出结论. 解答: 解:∵ △ ABC 中,a=4,b=5,c=6,
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∴ cosC= ∴ sinC=

= ,cosA= ,sinA= ,

=



=

=1.

故答案为:1. 点评: 本题考查余弦定理,考查学生的计算能力,比较基础. 13. (5 分) (2015?北京)在△ ABC 中,点 M,N 满足 则 x= ,y= ﹣ . =2 , = ,若 =x +y ,

考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 首先利用向量的三角形法则,将所求用向量
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表示,然后利用平面向量基本定

理得到 x,y 值.
7

解答: 解:由已知得到

=

= ;

=



由平面向量基本定理,得到 x= ,y= 故答案为: .

点评: 本题考查了平面向量基本定理的运用,一个向量用一组基底表示,存在唯一的实数对 (x,y)使,向量等式成立.

14. (5 分) (2015?北京)设函数 f(x)= ① 若 a=1,则 f(x)的最小值为 ﹣1 ; ② 若 f(x)恰有 2 个零点,则实数 a 的取值范围是 ≤a<1 或 a≥2 .



考点: 函数的零点;分段函数的应用. 专题: 创新题型;函数的性质及应用. 分析: ① 分别求出分段的函数的最小值,即可得到函数的最小值;
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② 分别设 h(x)=2 ﹣a,g(x)=4(x﹣a) (x﹣2a) ,分两种情况讨论,即可求出 a 的 范围. 解答: 解:① 当 a=1 时,f(x)= , 当 x<1 时,f(x)=2 ﹣1 为增函数,f(x)>﹣1, 当 x>1 时,f(x)=4(x﹣1) (x﹣2)=4(x ﹣3x+2)=4(x﹣ ) ﹣1, 当 1<x< 时,函数单调递减,当 x> 时,函数单调递增, 故当 x= 时,f(x)min=f( )=﹣1, ② 设 h(x)=2 ﹣a,g(x)=4(x﹣a) (x﹣2a) 若在 x<1 时,h(x)=与 x 轴有一个交点, 所以 a>0,并且当 x=1 时,h(1)=2﹣a>0,所以 0<a<2, 而函数 g(x)=4(x﹣a) (x﹣2a)有一个交点,所以 2a≥1,且 a<1, 所以 ≤a<1, 若函数 h(x)=2 ﹣a 在 x<1 时,与 x 轴没有交点, 则函数 g(x)=4(x﹣a) (x﹣2a)有两个交点, 当 a≤0 时,h(x)与 x 轴无交点,g(x)无交点,所以不满足题意(舍去) , 当 h(1)=2﹣a≤时,即 a≥2 时,g(x)的两个交点为 x1=a,x2=2a,都是满足题意的, 综上所述 a 的取值范围是 ≤a<1,或 a≥2. 点评: 本题考查了分段函数的问题,以及函数的零点问题,培养了学生的转化能力和运算能
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x x 2 2 x

x

力以及分类能力,属于中档题. 三、解答题(共 6 小题,共 80 分) 15. (13 分) (2015?北京)已知函数 f(x)= (Ⅰ )求 f(x)的最小正周期; (Ⅱ )求 f(x)在区间[﹣π,0]上的最小值. 考点: 两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法;三角函数的最值. 专题: 计算题;三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ )运用二倍角公式和两角和的正弦公式,化简 f(x) ,再由正弦喊话说的周期,即 可得到所求;
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sin cos ﹣

sin



(Ⅱ ) 由 x 的范围, 可得 x+ 解答: 解: (Ⅰ )f(x)= = sinx﹣

的范围, 再由正弦函数的图象和性质, 即可求得最小值. sin

sin cos ﹣

(1﹣cosx) +cosxsin )﹣ , ﹣

=sinxcos =sin(x+

则 f(x)的最小正周期为 2π; (Ⅱ )由﹣π≤x≤0,可得 ﹣ ≤x+ ≤ , , 时,sin(x+ )取得最小值﹣1, .

即有﹣1 则当 x=﹣

则有 f(x)在区间[﹣π,0]上的最小值为﹣1﹣

点评: 本题考查二倍角公式和两角和的正弦公式,同时考查正弦函数的周期和值域,考查运 算能力,属于中档题. 16. (13 分) (2015?北京)A,B 两组各有 7 位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单 位:天)记录如下: A 组:10,11,12,13,14,15,16 B 组;12,13,15,16,17,14,a 假设所有病人的康复时间相互独立,从 A,B 两组随机各选 1 人,A 组选出的人记为甲,B 组选出的人记为乙. (Ⅰ )求甲的康复时间不少于 14 天的概率; (Ⅱ )如果 a=25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率; (Ⅲ )当 a 为何值时,A,B 两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明)
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考点: 极差、方差与标准差;古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: 设事件 Ai 为“甲是 A 组的第 i 个人”,事件 Bi 为“乙是 B 组的第 i 个人”,由题意可知 P
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(Ai)=P(Bi)= ,i=1,2,??,7 (Ⅰ )事件等价于“甲是 A 组的第 5 或第 6 或第 7 个人”,由概率公式可得; (Ⅱ )设事件“甲的康复时间比乙的康复时间 长”C=A4B1∪ A5B1∪ A6B1∪ A7B1∪ A5B2∪ A6B2∪ A7B2∪ A7B3∪ A6B6∪ A7B6,易得 P(C)=10P (A4B1) ,易得答案; (Ⅲ )由方差的公式可得. 解答: 解:设事件 Ai 为“甲是 A 组的第 i 个人”,事件 Bi 为“乙是 B 组的第 i 个人”, 由题意可知 P(Ai)=P(Bi)= ,i=1,2,??,7 (Ⅰ )事件“甲的康复时间不少于 14 天”等价于“甲是 A 组的第 5 或第 6 或第 7 个人” ∴ 甲的康复时间不少于 14 天的概率 P(A5∪ A6∪ A7)=P(A5)+P(A6)+P(A7)= ; (Ⅱ )设事件 C 为“甲的康复时间比乙的康复时间长”, 则 C=A4B1∪ A5B1∪ A6B1∪ A7B1∪ A5B2∪ A6B2∪ A7B2∪ A7B3∪ A6B6∪ A7B6, ∴ P(C)=P(A4B1)+P(A5B1)+P(A6B1)P+(A7B1)+P(A5B2)+P(A6B2)+P (A7B2)+P(A7B3)+P(A6B6)+P(A7B6) =10P(A4B1)=10P(A4)P(B1)= (Ⅲ )当 a 为 11 或 18 时,A,B 两组病人康复时间的方差相等. 点评: 本题考查古典概型及其概率公式,涉及概率的加法公式和方差,属基础题. 17. (14 分) (2015?北京)如图,在四棱锥 A﹣EFCB 中,△ AEF 为等边三角形,平面 AEF⊥ 平面 EFCB,EF∥ BC,BC=4,EF=2a,∠ EBC=∠ FCB=60°,O 为 EF 的中点. (Ⅰ )求证:AO⊥ BE. (Ⅱ )求二面角 F﹣AE﹣B 的余弦值; (Ⅲ )若 BE⊥ 平面 AOC,求 a 的值.

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定;直线与平面垂直的性质.
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专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ )根据线面垂直的性质定理即可证明 AO⊥ BE. (Ⅱ )建立空间坐标系,利用向量法即可求二面角 F﹣AE﹣B 的余弦值; (Ⅲ )利用线面垂直的性质,结合向量法即可求 a 的值 解答: 证明: (Ⅰ )∵ △ AEF 为等边三角形,O 为 EF 的中点, ∴ AO⊥ EF, ∵ 平面 AEF⊥ 平面 EFCB,AO?平面 AEF, ∴ AO⊥ 平面 EFCB ∴ AO⊥ BE. (Ⅱ )取 BC 的中点 G,连接 OG, ∵ EFCB 是等腰梯形, ∴ OG⊥ EF, 由(Ⅰ )知 AO⊥ 平面 EFCB, ∵ OG?平面 EFCB,∴ OA⊥ OG, 建立如图的空间坐标系, 则 OE=a,BG=2,GH=a,BH=2﹣a,EH=BHtan60°= 则 E(a,0,0) ,A(0,0, a) ,B(2, =(﹣a,0, a) , =(a﹣2,﹣ , ,0) , ,0 ) ,

设平面 AEB 的法向量为 =(x,y,z) , 则 ,即 ,y=﹣1, ,

令 z=1,则 x= 即 =(

,﹣1,1) , ,

平面 AEF 的法向量为

则 cos<

>=

=

即二面角 F﹣AE﹣B 的余弦值为 (Ⅲ )若 BE⊥ 平面 AOC, 则 BE⊥ OC, 即 =0, , 0) ,
2



∵ =(a﹣2,﹣ ∴

=(﹣2,

,0) ,

=﹣2(a﹣2)﹣3(a﹣2) =0,

解得 a= .

11

点评: 本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解, 建立坐标系利用向量法 是解决空间角的常用方法. 18. (13 分) (2015?北京)已知函数 f(x)=ln ,

(Ⅰ )求曲线 y=f(x)在点(0,f(0) )处的切线方程; (Ⅱ )求证,当 x∈(0,1)时,f(x) (Ⅲ )设实数 k 使得 f(x) ; 对 x∈(0,1)恒成立,求 k 的最大值.

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)利用函数的导数求在曲线上某点处的切线方程. (2)构造新函数利用函数的单调性证明命题成立. (3)对 k 进行讨论,利用新函数的单调性求参数 k 的取值范围. 解答: 解答: (1)因为 f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x)所以

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又因为 f(0)=0,所以曲线 y=f(x)在点(0,f(0) )处的切线方程为 y=2x. (2)证明:令 g(x)=f(x)﹣2(x+ ) ,则

12

g'(x)=f'(x)﹣2(1+x )=

2



因为 g'(x)>0(0<x<1) ,所以 g(x)在区间(0,1)上单调递增. 所以 g(x)>g(0)=0,x∈(0,1) , 即当 x∈(0,1)时,f(x)>2(x+ (3)由(2)知,当 k≤2 时,f(x)> 当 k>2 时,令 h(x)=f(x)﹣ h'(x)=f'(x)﹣k(1+x )=
2

) . 对 x∈(0,1)恒成立. ,则



所以当 减. 当

时,h'(x)<0,因此 h(x)在区间(0,

)上单调递

时,h(x)<h(0)=0,即 f(x)<



所以当 k>2 时,f(x)>

并非对 x∈(0,1)恒成立.

综上所知,k 的最大值为 2. 点评: 本题主要考查切线方程的求法及新函数的单调性的求解证明.在高考中属常考题型, 难度适中.

19. (14 分) (2015?北京)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,点 P(0,1)

和点 A(m,n) (m≠0)都在椭圆 C 上,直线 PA 交 x 轴于点 M. (Ⅰ )求椭圆 C 的方程,并求点 M 的坐标(用 m,n 表示) ; (Ⅱ )设 O 为原点,点 B 与点 A 关于 x 轴对称,直线 PB 交 x 轴于点 N,问:y 轴上是否存 在点 Q,使得∠ OQM=∠ ONQ?若存在,求点 Q 的坐标,若不存在,说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 创新题型;圆锥曲线的定义、性质与方程;圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析:
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(I)根据椭圆的几何性质得出

求解即可.

(II) 求解得出 M (

, 0) , N (

, 0) , 运用图形得出 tan∠ OQM=tan∠ ONQ, =



13

求解即可得出即 yQ =xM?xN, 解答: 解: (Ⅰ )由题意得出

2

+n ,根据 m,m 的关系整体求解.

2

解得:a= ∴ +y =1,
2

,b=1,c=1

∵ P(0,1)和点 A(m,n) ,﹣1<n<1 ∴ PA 的方程为:y﹣1= ∴ M( ,0) x,y=0 时,xM=

(II)∵ 点 B 与点 A 关于 x 轴对称,点 A(m,n) (m≠0) ∴ 点 B(m,﹣n) (m≠0) ∵ 直线 PB 交 x 轴于点 N, ∴ N( ,0) ,

∵ 存在点 Q,使得∠ OQM=∠ ONQ,Q(0,yQ) , ∴ tan∠ OQM=tan∠ ONQ, ∴ = ,即 yQ =xM?xN,
2

+n =1

2

yQ =

2

=2,

∴ yQ= , 故 y 轴上存在点 Q,使得∠ OQM=∠ ONQ,Q(0, )或 Q(0,﹣ ) 点评: 本题考查了直线圆锥曲线的方程,位置关系,数形结合的思想的运用,运用代数的方 法求解几何问题,难度较大,属于难题.

14

20. (13 分) (2015?北京) 已知数列{an}满足: a1∈N , a1≤36, 且 an+1= (n=1,2,…) ,记集合 M={an|n∈N }. (Ⅰ )若 a1=6,写出集合 M 的所有元素; (Ⅱ )如集合 M 存在一个元素是 3 的倍数,证明:M 的所有元素都是 3 的倍数; (Ⅲ )求集合 M 的元素个数的最大值. 考点: 数列递推式. 专题: 创新题型;点列、递归数列与数学归纳法. 分析: (Ⅰ )a1=6,利用 an+1=
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*

*

可求得集合 M 的所有元素为 6,12,

24; (Ⅱ )因为集合 M 存在一个元素是 3 的倍数,所以不妨设 ak 是 3 的倍数,由 an+1= (n=1,2,…) ,可归纳证明对任意 n≥k,an 是 3 的倍数;

(Ⅲ )分 a1 是 3 的倍数与 a1 不是 3 的倍数讨论,即可求得集合 M 的元素个数的最大 值. 解答: * 解: (Ⅰ )若 a1=6,由于 an+1= (n=1,2,…) ,M={an|n∈N }. 故集合 M 的所有元素为 6,12,24; (Ⅱ )因为集合 M 存在一个元素是 3 的倍数,所以不妨设 ak 是 3 的倍数,由 an+1= (n=1,2,…) ,可归纳证明对任意 n≥k,an 是 3 的倍数.

如果 k=1,M 的所有元素都是 3 的倍数; 如果 k>1,因为 ak=2ak﹣1,或 ak=2ak﹣1﹣36,所以 2ak﹣1 是 3 的倍数;于是 ak﹣1 是 3 的倍数; 类似可得,ak﹣2,…,a1 都是 3 的倍数; 从而对任意 n≥1,an 是 3 的倍数; 综上,若集合 M 存在一个元素是 3 的倍数,则集合 M 的所有元素都是 3 的倍数 (Ⅲ )对 a1≤36,an= an<36(n=2,3,…) 因为 a1 是正整数,a2= ,所以 a2 是 2 的倍数. (n=1,2,…) ,可归纳证明对任意 n≥k,

从而当 n≥3 时,an 是 2 的倍数. 如果 a1 是 3 的倍数,由(Ⅱ )知,对所有正整数 n,an 是 3 的倍数. 因此当 n≥3 时,an∈{12,24,36},这时 M 的元素个数不超过 5.
15

如果 a1 不是 3 的倍数,由(Ⅱ )知,对所有正整数 n,an 不是 3 的倍数. 因此当 n≥3 时,an∈{4,8,16,20,28,32},这时 M 的元素个数不超过 8. 当 a1=1 时,M={1,2,4,8,16,20,28,32},有 8 个元素. 综上可知,集合 M 的元素个数的最大值为 8. 点评: 本题考查数列递推关系的应用,突出考查分类讨论思想与等价转化思想及推理、运算 能力,属于难题.

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