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11弹性力学试题及答案


2012 年度弹性力学与有限元分析复习题及其答案 (绝密试题)
一、填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、 形变和位移。 2、在弹性力学中规定,线应变以伸长时为正,缩短时为负,与正应力的正负号规定相 适应。 3、在弹性力学中规定,切应变以直角变小时为正,变大时为负,与切应力的正负号规 定相适应。 4、物体受外力以后,其内部将发生内力,它的集度称为应力。与物体的形变和材料强 度直接有关的,是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量,也就是正应力 和切应力。应力及其分量的量纲是 L-1MT-2。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7、已知一点处的应力分量 ? x ?100 MPa, ? y ?50 MPa, ? xy ?10 50 MPa,则主应力

? 1 ? 150MPa, ? 2 ? 0MPa, ?1 ? 35 ?16? 。
? ? 8、 已知一点处的应力分量, ? x ?200 MPa, y ?0 MPa, xy ??400 MPa, 则主应力 ? 1 ? 512
MPa, ? 2 ? -312 MPa, ?1 ? -37°57′。 9、已知一点处的应力分量,? x ??2000 MPa,? y ?1000 MPa,? xy ??400 MPa,则主应力

? 1 ? 1052 MPa, ? 2 ? -2052 MPa, ?1 ? -82°32′。 10、在弹性力学里分析问题,要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件,分别建立三 套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。
12、 边界条件表示边界上位移与约束, 或应力与面力之间的关系式。 分为位移边界条件、 应力边界条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 14、 有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构, 然后再用结构力学位移法进行求解。 其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。 15、每个单元的位移一般总是包含着两部分:一部分是由本单元的形变引起的,另一部 分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。 16、每个单元的应变一般总是包含着两部分:一部分是与该单元中各点的位置坐标有关 的,是各点不相同的,即所谓变量应变;另一部分是与位置坐标无关的,是各点相 同的,即所谓常量应变。 17、为了能从有限单元法得出正确的解答,位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量 应变,还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。 18、为了使得单元内部的位移保持连续,必须把位移模式取为坐标的单值连续函数,为
1

了使得相邻单元的位移保持连续, 就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时, 也能在整个公共边界上具有相同的位移。 19、在有限单元法中,单元的形函数 Ni 在 i 结点 Ni=1;在其他结点 Ni=0 及∑Ni=1。 20、 为了提高有限单元法分析的精度, 一般可以采用两种方法: 一是将单元的尺寸减小, 以便较好地反映位移和应力变化情况;二是采用包含更高次项的位移模式,使位移 和应力的精度提高。

二、判断题(请在正确命题后的括号内打“√” ,在错误命题后的括号内打“×” ) 1、连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满,不留下任何空隙。 (√) 5、如果某一问题中,? z ?? zx ?? zy ?0 ,只存在平面应力分量 ? x ,? y ,? xy ,且它们不沿 z 方向变化,仅为 x,y 的函数,此问题是平面应力问题。 (√) 6、如果某一问题中, ? z ?? zx ?? zy ?0 ,只存在平面应变分量 ? x , ? y , ? xy ,且它们不沿 z 方向变化,仅为 x,y 的函数,此问题是平面应变问题。 (√) 9、当物体的形变分量完全确定时,位移分量却不能完全确定。 (√) 10、当物体的位移分量完全确定时,形变分量即完全确定。 (√) 14、在有限单元法中,结点力是指结点对单元的作用力。 (√) 15、在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。 (√ )

四、分析计算题 1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件,并考虑下列平面问题的 应力分量是否可能在弹性体中存在。 (1) ? x ? Ax? By , ? y ?Cx? Dy , ? xy ? Ex? Fy ; (2) ? x ? A( x 2 ? y 2 ) , ? y ? B( x 2 ? y 2 ) , ? xy ?Cxy ; 其中,A,B,C,D,E,F 为常数。 解:应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件: (1)在区域内的平衡微分方程
? ?? x ?? yx ? ?0 ? ?y ? ?2 ?2 ? ?x ; (2)在区域内的相容方程 ? 2 ? 2 ? ? ?x ?y ? ? ?? y ? ?? xy ?0 ? ?y ?x ?
x

? ??? x ?? y ??0 ; (3)在边界上的应力 ? ?

??l? x ?m? yx ? ? f ? s 边界条件 ? ??m? y ?l? xy ?s ? f ?

?s ? ; (4)对于多连体的位移单值条件。 ?s ? y

(1)此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程,必须 A=-F,D=-E。此
2

外还应满足应力边界条件。 (2)为了满足相容方程,其系数必须满足 A+B=0;为了满足平衡微分方程,其系 数必须满足 A=B=-C/2。上两式是矛盾的,因此,此组应力分量不可能存在。 2、已知应力分量 ? x ??Qxy 2 ?C1 x 3 , ? y ?? 3 C 2 xy 2 ,? xy ??C 2 y 3 ?C3 x 2 y ,体力不计,Q 为 2 常数。试利用平衡微分方程求系数 C1,C2,C3。 解:将所给应力分量代入平衡微分方程
? ?? x ?? yx ? ?0 ? ?y ? ?x ? ? ?? y ? ?? xy ?0 ? ?y ?x ?


??Qy 2 ?3C1 x 2 ?3C 2 y 2 ?C 3 x 2 ?0 ? ??3C 2 xy?2C 3 xy?0


??3C1 ?C 3 ?x 2 ??Q ?3C 2 ? y 2 ?0 ? ??3C 2 ? 2C 3 ?xy?0

由 x,y 的任意性,得
?3C1 ?C 3 ?0 ? ?Q ?3C 2 ?0 ?3C ? 2C ?0 3 ? 2

由此解得, C1 ?

Q Q Q , C 2 ?? , C 3 ? 6 3 2

3、已知应力分量 ? x ??q , ? y ?? q , ? xy ?0 ,判断该应力分量是否满足平衡微分方程和 相容方程。 解:将已知应力分量 ? x ??q , ? y ?? q , ? xy ?0 ,代入平衡微分方程

? ?? x ?? yx ? ? X ?0? ?x ?y ? ? ?? y ?? xy ? ?Y ?0 ? ? ?y ?x ?
可知,已知应力分量 ? x ??q , ? y ?? q , ? xy ?0 一般不满足平衡微分方程,只有体力忽略 不计时才满足。 按应力求解平面应力问题的相容方程:
3

? 2? xy ?2 ?2 (? x ??? y )? 2 (? y ??? x )?2(1?? ) ?x?y ?y 2 ?x

将已知应力分量 ? x ??q , ? y ?? q , ? xy ?0 代入上式,可知满足相容方程。 按应力求解平面应变问题的相容方程:
2 ?2 ? ?2 ? 2 ? ? xy (? x ? ? y )? 2 (? y ? ? x )? 1?? 1?? 1?? ?x?y ?y 2 ?x

将已知应力分量 ? x ??q , ? y ?? q , ? xy ?0 代入上式,可知满足相容方程。 4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件,并考虑下列平面问题的应变分量是否 可能存在。 (1) ? x ? Axy , ? y ? By 3 , ? xy ?C ? Dy 2 ; (2) ? x ? Ay 2 , ? y ? Bx 2 y , ? xy ?Cxy ; (3) ? x ?0 , ? y ?0 , ? xy ?Cxy ; 其中,A,B,C,D 为常数。 解:应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件,即
2 2 ? 2 ? x ? ? y ? ? xy ? 2 ? ?x?y ?y 2 ?x

将以上应变分量代入上面的形变协调方程,可知: (1)相容。 (2) 2 A?2By?C (1 分) ;这组应力分量若存在,则须满足:B=0,2A=C。 (3)0=C;这组应力分量若存在,则须满足:C=0,则 ? x ?0 ,? y ?0 ,? xy ?0(1 分) 。 5、证明应力函数 ? ?by 2 能满足相容方程,并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解 决什么问题(体力不计, b?0 ) 。 h/2 O h/2 l/2 y 解:将应力函数 ? ?by 2 代入相容方程
4

x

l/2

? 4? ? 4? ? 4 ? ? 2 2 2 ? 4 ?0 ?x 4 ?x ?y ?y

可知,所给应力函数 ? ?by 2 能满足相容方程。 由于不计体力,对应的应力分量为
? 2? ? 2? ? 2? ? x ? 2 ?2b , ? y ? 2 ?0 , ? xy ?? ?0 ?x?y ?y ?x

对于图示的矩形板和坐标系,当板内发生上述应力时,根据边界条件,上下左右四 个边上的面力分别为:
h 上边, y ?? , l ?0 , m??1 , f x ??(? xy ) h ?0 , f y ??(? y ) h ?0 ; y ?? y ?? 2 2 2 h 下边, y? , l ?0 , m?1 , f x ?(? xy ) h ?0 , f y ?(? y ) h ?0 ; y? y? 2 2 2 l 左边, x?? , l ??1 , m?0 , f x ??(? x ) l ??2b , f y ??(? xy ) l ?0 ; x ?? x ?? 2 2 2 l 右边, x? , l ?1 , m?0 , f x ?(? x ) l ?2b , f y ?(? xy ) l ?0 。 x? x? 2 2 2

可见,上下两边没有面力,而左右两边分别受有向左和向右的均布面力 2b。因此, 应力函数 ? ?by 2 能解决矩形板在 x 方向受均布拉力(b>0)和均布压力(b<0)的问题。 6、证明应力函数 ??axy 能满足相容方程,并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解 决什么问题(体力不计, a ?0 ) 。 h/2 O h/2 l/2 y 解:将应力函数 ??axy 代入相容方程
? 4? ? 4? ? 4 ? ? 2 2 2 ? 4 ?0 ?x 4 ?x ?y ?y

x

l/2

可知,所给应力函数 ??axy 能满足相容方程。 由于不计体力,对应的应力分量为
5

?x?

? 2? ? 2? ? 2? ?0 , ? y ? 2 ?0 , ? xy ?? ?? a ?x?y ?y 2 ?x

对于图示的矩形板和坐标系,当板内发生上述应力时,根据边界条件,上下左右四 个边上的面力分别为:
h 上边, y ?? , l ?0 , m??1 , f x ??(? xy ) h ?a , f y ??(? y ) h ?0 ; y ?? y ?? 2 2 2 h 下边, y? , l ?0 , m?1 , f x ?(? xy ) h ??a , f y ?(? y ) h ?0 ; y? y? 2 2 2

l 左边, x?? , l ??1 , m?0 , f x ??(? x ) l ?0 , f y ??(? xy ) l ?a ; x?? x ?? 2 2 2 l 右边, x? , l ?1 , m?0 , f x ?(? x ) l ?0 , f y ?(? xy ) l ??a 。 x? x? 2 2 2

可见,在左右两边分别受有向下和向上的均布面力 a,而在上下两边分别受有向右 和向左的均布面力 a。因此,应力函数 ??axy 能解决矩形板受均布剪力的问题。 7、如图所示的矩形截面的长坚柱,密度为 ? ,在一边侧面上受均布剪力,试求应力分 量。
O b x

解: 根据结构的特点和受力情况, 可以假定纵向纤维互不挤压, 即设 ? x ?0 。由此可知

?g

q

? 2? ? x ? 2 ?0 ?y

将上式对 y 积分两次,可得如下应力函数表达式

? ?x, y ?? f1 ( x) y? f 2 ( x)
将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得
y

y

d 4 f 1 ( x) d 4 f 2 ( x) ? ?0 dx 4 dx 4

这是 y 的线性方程,但相容方程要求它有无数多的解(全柱内的 y 值都应该满足它) , 可见它的系数和自由项都应该等于零,即
d 4 f1 ( x) ?0 , dx 4 d 4 f 2 ( x) ?0 dx 4

这两个方程要求
f1 ( x)? Ax 3 ? Bx 2 ?Cx? I ,
6

f 2 ( x)?Dx 3 ? Ex 2 ? Jx? K

代入应力函数表达式,并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后,便得

? ? y( Ax 3 ? Bx 2 ?Cx)? Dx 3 ? Ex 2
对应应力分量为
? 2? ?0 ?y 2

?x?

?y?

? 2? ? y (6 Ax?2 B)?6 Dx ?2 E ? ?gy ?x 2
? 2? ??3 Ax 2 ?2 Bx?C ?x?y

? xy ??

以上常数可以根据边界条件确定。 左边, x?0 , l ??1 , m?0 ,沿 y 方向无面力,所以有
?(? xy ) x ?0 ?C ?0

右边, x?b , l ?1 , m?0 ,沿 y 方向的面力为 q,所以有
(? xy ) x ?b ??3 Ab 2 ?2 Bb?q

上边, y ?0 , l ?0 , m??1 ,没有水平面力,这就要求 ? xy 在这部分边界上合成的主 矢量和主矩均为零,即

? (?
0

b

xy y ?0

)

dx?0

将 ? xy 的表达式代入,并考虑到 C=0,则有

? (?3Ax
0
b 0

b

2

?2Bx)dx?? Ax 3 ?Bx 2 b ?? Ab3 ?Bb 2 ?0 0

而 ? (? xy ) y ?0 ?0dx?0 自然满足。又由于在这部分边界上没有垂直面力,这就要求 ? y 在这部 分边界上合成的主矢量和主矩均为零,即

?
将 ? y 的表达式代入,则有
b

b

0

(? y ) y ?0 dx?0 ,

? (?
0 2

b

y

) y ?0 xdx?0

? (6Dx?2E)dx?3Dx
0 b 0

?2Ex b ?3Db 2 ?2Eb?0 0 ?Ex 2 b ?2Db 3 ?Eb 2 ?0 0

? (6Dx?2E) xdx?2Dx
由此可得
A??

3

q q , B? , C ?0 , D?0 , E ?0 2 b b

应力分量为

7

? x ?0 ,

? y ?2q ?1?3 ?? ?gy , ? xy ?q ? 3 ?2 ?

y? b?

x? b?

x? x b? b

? ?

虽然上述结果并不严格满足上端面处(y=0)的边界条件,但按照圣维南原理,在稍远 离 y=0 处这一结果应是适用的。 8、证明:如果体力分量虽然不是常量,但却是有势的力,即体力分量可以表示为
f x ??
?V ?V , f y ?? ,其中 V 是势函数,则应力分量亦可用应力函数表示为, ?y ?x

?x?

? 2? ? 2? ? 2? ?V , ? y ? 2 ?V , ? xy ?? ,试导出相应的相容方程。 ?x?y ?y 2 ?x

证明:在体力为有势力的情况下,按应力求解应力边界问题时,应力分量 ? x , ? y ,? xy 应当满足平衡微分方程

? ?? x ?? yx ?V ? ? ?0 ? ?y ?x ? ?x (1 分) ? ? ?? y ? ?? xy ? ?V ?0 ? ?y ?x ?y ?
还应满足相容方程
? ?2 ?2 ? 2? 2 ? ?x ?y ? ? ?2 ?2 ? 2? 2 ? ?x ?y ? ? ?f ?f ? ??? x ?? y ????1? ? ?? x ? y ? ? ?x ?y ? ? ? 1 ? ?f x ?f y ? ??? x ?? y ??? ? ? 1? ? ? ?x ?y ? ? ? ? (对于平面应力问题) ? ? ? ? (对于平面应变问题) ? ?

并在边界上满足应力边界条件(1 分) 。对于多连体,有时还必须考虑位移单值条件。 首先考察平衡微分方程。将其改写为

?? yx ?? ?0 ? ?? x ?V ?? ?y ? ?x ? ? ? ?? ?V ?? ?? xy ?0 ? ?y y ?x ? 这是一个齐次微分方程组。为了求得通解,将其中第一个方程改写为
? ?? x ?V ?? ? ??? yx ? ?x ?y

根据微分方程理论,一定存在某一函数 A(x,y) ,使得

? x ?V ?
同样,将第二个方程改写为

?A ?A , ?? yx ? ?y ?x

8

? ?? y ?V ?? ? ??? yx ?(1 分) ?y ?x

可见也一定存在某一函数 B(x,y) ,使得

? y ?V ?
由此得

?B ?B , ?? yx ? ?y ?x

?A ?B ? ?x ?y

因而又一定存在某一函数 ? ?x, y ? ,使得
A? ?? ?? , B? ?y ?x

代入以上各式,得应力分量
? 2? ? 2? ? 2? ? x ? 2 ?V , ? y ? 2 ?V , ? xy ?? ?x?y ?y ?x

为了使上述应力分量能同量满足相容方程,应力函数 ? ?x, y ? 必须满足一定的方程, 将上述应力分量代入平面应力问题的相容方程,得
? ?2 ?2 ? 2? 2 ? ?x ?y ? ? ?2 ?2 ? 2? 2 ? ?x ?y ? ?? ? 2? ? ? ?2 ?2 ? 2? ?? 2 ?V ? 2 ?V ???1? ? ?? 2 ? 2 ?? ?y ? ? ?x ?y ?x ?? ? ? ? ?V ? ? ? ?V ? ?

?? ? 2? ? 2? ? ? ?2 ?2 ?? 2 ? 2 ???2? 2 ? 2 ?? ?y ?x ? ? ?x ?y ?? ? ?

? ? ?2 ?2 ?V ??1? ? ?? 2 ? 2 ? ? ?x ?y ? ?

简写为
? 4? ??(1?? )? 2V

将上述应力分量代入平面应变问题的相容方程,得
? ?2 ?2 ? 2? 2 ? ?x ?y ? ? ?2 ?2 ? 2? 2 ? ?x ?y ? ?? ? 2? ? 1 ? ?2 ?2 ? 2? ?? 2 ?V ? 2 ?V ?? ?? ?y ? 1?? ? ?x 2 ? ?y 2 ? ?x ?? ? ? ? ?V ? ? ? ?V ? ?

?? ? 2? ? 2? ? ? ?2 ?2 ?? 2 ? 2 ???2? 2 ? 2 ?? ?y ?x ? ? ?x ?y ?? ? ?

? 1 ? ?2 ?2 ?V ? ? 1?? ? ?x 2 ? ?y 2 ? ? ?

简写为
1?2? 2 ? 4? ? ? ?V 1??

9、如图所示三角形悬臂梁只受重力作用,而梁的密度为 ? ,试用纯三次的应力函数求 解。
9

O

??

x

?g

y

解:纯三次的应力函数为

? ?ax3 ?bx 2 y?cxy 2 ?dy 3
相应的应力分量表达式为
? 2? ? xf x ?2cx?6dy , ?y 2

?x?

?y?

? 2? ? yf y ?6ax?2by? ?gy , ?x 2

? xy ??

? 2? ??2bx?2cy ?x?y

这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。 现在来考察, 如果适当选择各个系数, 是否能满足应力边界条件。 上边, y ?0 , l ?0 , m??1 ,没有水平面力,所以有
?(? xy ) y ?0 ?2bx?0

对上端面的任意 x 值都应成立,可见
b?0

同时,该边界上没有竖直面力,所以有
?(? y ) y ?0 ?6ax?0

对上端面的任意 x 值都应成立,可见
a ?0

因此,应力分量可以简化为

? x ?2cx?6dy , ? y ?? ?gy , ? xy ??2cy
? ?? ?? 斜面, y?xtan? , l ?cos??? ?? ?? ??sin? , m?cos??? ??cos? ,没有面力,所以有 ? ? 2 ??

??l? x ?m? yx ?y ? x tan ? ?0 ? ? ??m? y ?l? xy ?y ? x tan ? ?0 ?
由第一个方程,得
??2cx?6dxtan? ?sin? ?2cxtan? cos? ??4cxsin? ?6dxtan? sin? ?0

对斜面的任意 x 值都应成立,这就要求 ?4c?6d tan? ?0 由第二个方程,得
2cxtan? sin? ??gxtan? cos? ?2cxtan? sin? ??gxsin? ?0
10

对斜面的任意 x 值都应成立,这就要求
2ctan? ??g ?0 (1 分)

由此解得
1 1 , c? ?g cot? (1 分) d ?? ?g cot 2 ? 2 3

从而应力分量为

? x ??gxcot? ?2 ?gycot 2 ? , ? y ?? ?gy , ? xy ?? ?gycot?
h 设三角形悬臂梁的长为 l,高为 h,则 tan? ? 。根据力的平衡,固定端对梁的约束 l 1 反力沿 x 方向的分量为 0,沿 y 方向的分量为 ? ?glh 。因此,所求 ? x 在这部分边界上 2 1 合成的主矢应为零, ? xy 应当合成为反力 ? ?glh 。 2

? ?? ?
h 0 x

x ?l
h

dy?? ?glcot? ?2?gycot2 ? dy??glhcot? ??gh2 cot 2 ? ?0
0

h

?

?

h 1 1 dy?? ???gycot? ?dy?? ?gh2 cot? ?? ?glh xy x ?l 0 0 2 2 可见,所求应力分量满足梁固定端的边界条件。

? ?? ?

10、设有楔形体如图所示,左面铅直,右面与铅直面成角 ? ,下端作为无限长,承受重 力及液体压力,楔形体的密度为 ? 1 ,液体的密度为 ? 2 ,试求应力分量。
O x

??

解: 采用半逆解法。 首先应用量纲分析方法来假设应力 分量的函数形式。 取坐标轴如图所示。 在楔形体的任意 一点, 每一个应力分量都将由两部分组成: 一部分由重 力引起,应当与 ?1 g 成正比(g 是重力加速度) ;另一

?2g?

?1g?

部分由液体压力引起,应当与 ? 2 g 成正比。此外,每一 部分还与 ? ,x,y 有关。由于应力的量纲是 L-1MT-2,

y

?1 g 和 ? 2 g 的量纲是 L-2MT-2, ? 是量纲一的
量,而 x 和 y 的量纲是 L,因此,如果应力分量具有多项式的解答,那么它们的表达式 只可能是
A?1 gx B?1 gy C? 2 gx D? 2 gy







四项的组合,而其中的 A,B,C,D 是量纲

一的量,只与 ? 有关。这就是说,各应力分量的表达式只可能是 x 和 y 的纯一次式。 其次,由应力函数与应力分量的关系式可知,应力函数比应力分量的长度量纲高二 次,应该是 x 和 y 纯三次式,因此,假设

? ?ax3 ?bx 2 y?cxy 2 ?dy 3
相应的应力分量表达式为
? 2? ? 2? ? 2? ? xf x ?2cx?6dy , ? y ? 2 ? yf y ?6ax?2by? ? 1gy , ? xy ?? ??2bx?2cy ?x?y ?y 2 ?x
11

?x?

这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。 现在来考察, 如果适当选择各个系数, 是否能满足应力边界条件。 左面, x?0 , l ??1 , m?0 ,作用有水平面力 ? 2 gy ,所以有
?(? x ) x ?0 ??6dy?? 2 gy

对左面的任意 y 值都应成立,可见
d ??

?2 g
6

同时,该边界上没有竖直面力,所以有
?(? xy ) x ?0 ?2cy?0

对左面的任意 y 值都应成立,可见
c?0

因此,应力分量可以简化为

? x ?? ? 2 gy , ? y ?6ax?2by? ? 1gy , ? xy ??2bx
?? ? 斜面, x? y tan? , l ?cos? , m?cos? ?? ???sin? ,没有面力,所以有 ?2 ?

??l? x ?m? yx ?x ? y tan ? ?0 ? ? ??m? y ?l? xy ?x ? y tan ? ?0 ?
由第一个方程,得
?? 2 gycos? ?2bytan? sin? ?0

对斜面的任意 y 值都应成立,这就要求
?? 2 g cos? ?2btan? sin? ?0

由第二个方程,得
??6aytan? ?2by??1 gy?sin? ?2bytan? cos? ???6atan? sin? ?4bsin? ? ?1 gsin? ?y?0

对斜面的任意 x 值都应成立,这就要求
?6atan? ?4b? ?1 g ?0

由此解得
1 1 1 a? ?1 g cot? ? ? 2 g cot3 ? , b? ? 2 g cot 2 ? 6 3 2

从而应力分量为

? x ?? ? 2 gy , ? y ???1 g cot? ?2 ? 2 g cot3 ? ?x??? 2 g cot 2 ? ? ? 1g ?y , ? xy ?? ? 2 gxcot 2 ?

12


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