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第2章 可靠性数学基础
电子科技大学

本章内容
? 数理统计基本概念

? 常用的概率分布
? 随机变量函数均值与方差的近似计算

数理统计的基本概念
总体与个体
? 总体(母体)是研究对象的全体。

– 总体可以是尺寸、寿命、时间和强度等。
– 总体可以分为有限总体和无限总体。 ? 个体是组成总体的每个基本单元

抽样和样本
抽样是随机的抽取和组成样本的过程。 样本是取自总体的部分个体的集合。 样本所包含的个体数目,称为样本容量。

随机变量集中趋势的尺度

集中趋势的是指分布密度的图形集中趋向于哪 里,即分布的中心位置在哪里。 均值 分布的平均值

中位数
众数

分布密度图的中间值
频率(或频数)为最大的随机变量的位置

随机变量分散性的尺度 分散性是指分布的离散程度
2 ?方差 ? X

?标准差 ? X
CX

?变异系数

?X CX ? ?X

变异系数的值越小,变量的分散性越小

?极差 R

R ? xmax ? xmin

样本经验分布函数 定义: 设总体的一组样本观测值,将其按从小到大 排列 t1 ? t2 ? ... ? tn

下标i表示失效数据的序号。
经验分布函数是总体分布函数的近似。 对一批观测数据,若样本量较大, n ? 20
t ? t1 ?0 ? F (ti ) ? ?i / n ti ? t ? ti ?1 ?1 t ? tn ?

经验分布函数的计算 样本量较大时,也可以根据可靠度定义,直接 计算其经验分布
t时刻失效样 本数

r (t ) Fn (t ) ? n

参加试验的产 品数

经验分布函数的计算 样本量较小时
Fn (ti ) ? ? i ? 0.5? / n Fn (ti ) ? i / ? n ? 1? Fn (ti ) ? ? i ? 0.3? / ? n ? 0.4?
Hansen公式 数学期望公式 中位秩公式 median rank

本章内容
? 数理统计基本概念

? 常用的概率分布
? 随机变量函数均值与方差的近似计算

概率分布的作用

计算产品的可靠性参数
计算产品的寿命特征

预测产品的故障规律
制定合理的维修和保修制度

离散型随机变量的常用分布

(0-1)分布

Beroulli分布(二项分布) 部分冗余
Poisson分布 几何分布与负二项分布 超几何分布

离散型随机变量的分布类型及其应用
分布类型 (0-1)分布 二项分布 可靠性工程中的应用 描述具有两种结果的随机试验 部分冗余时,计算系统成功的概率

Poisson分布
几何分布和二 项分布
超几何分布

描述产品在某个时间区间内受到外界“冲击 ”的次数。
描述试验中失败次数的分布 适用于较小规模的抽样问题

连续型随机变量的常用分布
正态分布 截尾正态分布 对数正态分布 G分布 指数分布 威布尔分布

极值分布

1. 指数分布 Exponential Distribution
f (t )

f (t ) ? ? e ? ?t

0

F (t ) f (t ) ? ? ? e? ?t dt
t

F (t )
1

E (t ) ?
F (t ) ? 1 ? e??t

1

?
1

F (t ) ? 1 ? e? ?t
0
R(t )

D (t ) ?

t

?2

1

R(t ) ? e ? ?t
0

R(t ) ? e ? ?t
t

指数分布在可靠性计算中的应用 ?描述电子设备寿命分布规律; ?描述大型复杂系统故障时间间隔的分布规律。 故障率 可靠寿命
f (t ) ? e ? ?t ? (t ) ? ? ? ?t ? ? R(t ) e

1 t ( R) ? ln ? R 1 t (0.5) ? ln ? 0.5 1

1

中位寿命

例 题

已知某设备的失效率 ? ? 5 ? 10?4 h ?1 R(t ) ? e? ?t
求该设备使用100小时和1000小时后的可靠度。
工作100h后的可靠度为

R(100) ? e

?5?10?4 ?100

? e?0.05 ? 0.95

工作1000h后的可靠度为

R(1000) ? e

?5?10?4 ?1000

? e?0.005 ? 0.61

2. 正态分布 Normal Distribution (Gaussian distribution )
? 1 f (t ) ? e 2?? ( t ? ? )2 2? 2

(-?<t <+?)
2

概率密度函数 累积分布函数

t ? ( t2???2) 1 F (t ) ? e dt ? 2?? -?
f (t )
1 2??

( - ? ? t ? ??)

N (? ,? )
2

描述由于磨损、腐蚀引起失 效的产品寿命; 对制造的产品及其性能进行 分析和质量控制。

0

?

t

正态分布的概率密度曲线
t

t

标准正态分布
? ? 0, ? ? 1 的正态分布称为标准正态分布。

标准正态分布的概率密度函数
? ( z) ?
1 e 2?
? ( z )2 2

f (Z )

(-?<z <+?)

标准正态分布的累积分布函数
?3?

?2?

??

? ( z) ?

1 2?

z ? z2 ? -?e dz

2

? 0 68.27%
95.44% 99.73%

2?

3?

Z

-?<z <+?

查正态分布表。

例 题 已知 Z ~ N (0,1)
f (Z )

P( Z ? ?1.96) P( Z ? 1.96) P( Z ? 1.96) P(?1.96 ? Z ? 1.96)
?1.96

1.96

Z

非标准正态分布如何变为标准正态分布?
N (? , ? 2 ) ? N (0,1)
令z?
1 F (t ) ? 2?

t??

?
dz = ? ( z??

?

t??

? e
-?

z2 ? 2

?

)=? ( z )

R (t ) ? 1-? ( z )

例 题
有100个某种材料的试件进行抗拉强度试验,测得试件材料的强 度极限的均值与标准差分别为 ? ? 600MPa ? ? 50MPa 求:(1)试件材料的强度小于600MPa的概率; (2)强度在(550~450)MPa区间内的概率。 解:(1)
z? x??
f ( x)

?

600 ? 600 ? ?0 50

1 2??

N (? ,? 2 )

P( x ? 600) ? F ( z ) ? ? (0) ? 0.5
0

?

x

(2)若强度落在(550-450)MPa区间内
? 550 ? 600 ? ? 450 ? 600 ? P (450 ? x ? 550) ? ? ? ? ? ? ? ? 50 50 ? ? ? ? ? ? ? ?1? ? ? ? ?3 ? ? 0.1587 ? 0.0013 ? 0.1574
f ( x)

1 2??

N (600,502 )

N (0,1)

0

450 550 600

x

450 ? 600 50

600 ? 600 50 550 ? 600 50

Z

对数正态分布 Log-Normal Distribution
如果随机变量X 的自然对数Y=ln(X)服从正态分布,则X服从对 数正态分布 ,概率密度函数和累积分布函数分别为:
2 2 ? ? ln x ? ? y ) ? ? 1 1 f ( x) ? exp ? ? ? ? ? ? 2? ? ?y t? y 2? ? ? ? ? ?

(0 ? x ? ?)

2 2 ? ? ln x ? ? y ) ? ? x1 1 1 F ( x) ? exp ? ? ? ? ? dx ? ? 2? ? ?y ? y 2? 0 x ? ? ? ? ?

(0 ? x ? ?)

随机变量Y的 均值和标准差

对数正态分布 Log-Normal Distribution 累积分布概率的计算
1 F ( x) ? 2? ln x ? ? y

?

?y
??

? ln x ? ? y ? z2 ? exp ? ? ? dZ=? ? ? ? ? 2? y ?

? ? ? ?

均值和标准差
1 2 ? x ? E ( x) ? exp( ? y ? ? y ) 2
2 2 2 ?exp ?? y ? ?x ? var( x) ? ? y ? 1 ? ? ?

利用标准正态 分布求解

对数正态分布 Log-Normal Distribution

Y ? ln X 的均值和标准差
2 ? ? ? 2 x ? y ? ln ? 2 ? 1? ? ?x ? 1 2 ? y ? ln ? x ? ? y 2

用对数变换可将较大的数缩小为 较小的数,在机械零、部件的疲 劳寿命、疲劳强度、耐磨寿命以 及描述维修时间的分布等研究中, 常应用对数正态分布。

例题
某工程机械的正常运行时间(两次失效之间的时间)服从对数正 态分布,其均值为6个月,标准差为1.5个月。若要求在任何时间 内一台设备能处于运行状态的概率至少为 0.90,试计算每台设备 的维修周期。

解: ?x ? 6

? x ? 1.5

2 2 ? ? ? ? ? 1.5 2 x ? y ? ln ? 2 ? 1? ? ln ? 2 ? 1? ? 0.0606 ? 6 ? ? ?x ? 1 2 1 ? y ? ln ? x ? ? y ? ln 6 ? ? 0.0606 2 ? 1.7614 2 2

要求设备处于运行状态的概率为0.90,则不可靠度为

F ( xp ) ? 1 ? 0.90 ? 0.10 ? ? ( z p )
查正态分布表,得

z p ? ?1.282 ?
则维修周期为

ln x p ? ? y

?y

xp ? e

? Z p? y ? ? y ?

?e

? ?1.282?0.246?1.7614?

? 4.24(月)

3. 威布尔分布 Weibull Distribution

A statistical distribution function of wide applicability. Journal of Applied Mechanics, 1951,18(3):293–297 Waloddi Weibull 1887-1979

3. 威布尔分布 Weibull Distribution

若随机变量T服从三参数威布尔分布,则其概率密度函数:
f (t ) ?

? ? t ?? ? ? ?? ? ? ?

? ?1

? ? t ? ? ?? ? exp ? ? ? ? t ?? ? ? ? ? ? ? ? ?

累积分布函数为

? ? t ? ? ?? ? F (t ) ? P(T ? t ) ? 1 ? exp ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

t ??

其中:

? ? 0 形状参数 ? ? 0 尺寸参数

? ? 0 位置参数

3. 威布尔分布 Weibull Distribution

? ? 0 时,三参数威布尔分布转变为两参数威布尔分布。
两参数威布尔分布的概率密度函数和累积分布函数分别:

? f (t ) ? ?

?t? ?? ? ? ?

? ?1

e

?t? ?? ? ?? ?

?

? ? t ?? ? F (t ) ? 1 ? exp ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?

威布尔分布变量的数学期望和方差分别为:
? 1? E (T ) ? ? ? ?G ?1 ? ? ? ??

? ? 2? 1 ?? 2? var(T ) ? ? ? G ?1 ? ? ? G ?1 ? ? ? ? ? ?? ? ? ??
2

式中: G ?t ? 为伽马函数

? ? 0 ? ? 1 ? 取值对概率密度曲线形状的影响

概率密度函数曲线

? ? 0 ? ? 2 ? 取值对概率密度曲线形状的影响

概率密度函数曲线

? ?1 ? ? 2 ?

取值对概率密度曲线形状的影响

概率密度函数曲线

描述疲劳寿命的威布尔分布模型 疲劳寿命的概率密度函数
? N ? N0 ? b f (N ) ? ? ? N a ? N0 ? N a ? N0 ?
b ?1

? ? N ? N ?b ? 0 exp ? ? ? ? ? N ? N0 ? ? ? ? ? a ?

N ? N0

N 0 位置参数,即最小寿命参数; N a 特征寿命参数;
b

形状参数。

疲劳寿命的分布函数
? ? N ? N ?b ? 0 F ( N ) ? 1 ? exp ? ? ? ? ? N ? N0 ? ? ? ? ? a ?

本章内容
? 数理统计基本概念

? 常用的概率分布
? 随机变量函数均值与方差的近似计算

随机变量函数均值与方差的近似计算
工程中有许多随机事件,大多需要用两个、三个 或多个随机变量的函数来描述,当已知其中每一个随 机变量的均值及标准差,可以通过一些方法来估计和 计算随机变量函数的均值和标准差。 三种方法: 基本函数法 泰勒级数法 变异系数法

基本函数法

泰勒级数法
一维随机变量函数的近似解
1 E ( y ) ? f ( ? x ) ? f ??( ? x ) ? var( x) 2

var( y ) ? ? f ?( ? ) x ? ? var( x)
2

多维随机变量函数的近似解
?2 f (X) E ( y ) ? f ( ?1 , ?2 ,..., ?n ) ? ? ? var( xi ) 2 ?xi i ?1 x ??
n
i i

2 ?? ? ? ? f ( X ) ? ? ? ? var( xi ) ? var( y) ? ? ? ? i ?1 ? ? ?xi ? xi ? ?i ? ? ? ? ? n





? 已知某一销轴半径r的均值和标准差分别为
?r ? 10mm
? r ? 0.5mm
A ? ? r2
解: 求此销轴截面积A的均值和标准差。

?A ? ? (?r2 ? ? r2 ) ? 3.14 ? (102 ? 0.52 ) ? 314.8mm

? A ? ? ? (4?r2? r2 ? 2? r4 )1/2 ? ? ? 2?r? r ? 31.4mm

A ? ? r2

A ? f (r ) ? ? r 2

f ?(r ) ? 2? r

f ??(r ) ? 2?

1 ? A ? E ( A) ? f ( ?r ) ? f ??( ?r ) ? var( r ) 2 1 ? ? A ? f ( ?r ) ? 2? ? ? r2 ? ??r 2 ? ? ? ? r2 2

? ? ?102 ? ? ? 0.52 ? 314.9mm2

A ? f (r ) ? ? r 2

f ?(r ) ? 2? r
2

f ??(r ) ? 2?
2

2 ? var( A) ? ? f ( ?r )? ? var( r ) ? ? 2??r ? ? r

? 985.96mm2

? A ? 2??r? r

? A ? 985.96=31.4mm2





一拉杆受外力作用,若外力的均值和标准差分别为
P ? 20000N

? P ? 2000N

杆横截面积的均值和标准差分别为
A ? 1000mm2 ,? A ? 80mm2

求拉应力的均值和标准差。

S ? ? ?S ? ?

解:

P S ? ? f ( P, A) A

P 20000 E (S ) ? S ? ? ? 20N/mm 2 ? 20MPa A 1000

? ?S ? var( S ) ? ? ? ? P ? ?
2

2

? ?S ? ? var( P ) ? ? ? ? ?A ? P?P
A? A
2

2

? var( A)
P?P A? A

? ? P ? 2 ?1? 2 ? ? ? ? ?P ? ? ?A 2 ? ? A? ? ? A? ? ?
? 20000 ? 2 ? 1 ? 2 2 ?? ? 2000 ? ? ? 80 ? 6.56 MPa ? ? S ? 6.56 ? 2.561MPa ? ? ? ? ? 2 ? ? ? 1000 ? ? ?1000 ? ?
2 2

变异系数法 变异系数

?x Cx ? ?x
m2 y ? ax1m1 x2 mn xn ? a? ximi i ?1
n m2 x2

函数形式为单项式时,假设
n

? y ? a? ?
m1 x1

?

mn xn

mi ? a? ? x i i ?1
1 2

n ?1 n ? n 2 2 ? C y ? ? ? mi Cxi ? 2? ? mi m j ?ij Cxi Cx j ? i ?1 j ?i ?1 ? i ?1 ?

? y ? ? y Cy

例:
工作齿轮齿根弯曲疲劳极限应力

工作齿轮齿根弯曲疲劳极限的均值和变异系数

工作齿轮齿根弯曲疲劳极限的标准差为


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