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高一数学-第8章圆锥曲线方程(第14课时)抛物线及其标准方程(2) 精品

课 题:8.5 抛物线及其标准方程(二) 王新敞 奎屯 新疆 教学目的: 1.能根据题设,求出抛物线的标准方程、焦点、准线 2.使学生能熟练地运用坐标,进一步提高学生“应用数学”的水平 3.结合教学内容,使学生牢固树立起对立统一的观点 教学重点:标准方程及其简单应用 教学难点:抛物线定义的灵活运用,解直线与抛物线有关的综合问题 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1 椭圆的第定义 :一动点到定点的距离和它到一条定直线 l 的距离的比是 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 一个 (0,1) 内的常数 e ,那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点,定直 王新敞 奎屯 新疆 线叫做准线,常数 e 就是离心率 2. 双曲线的第二定义:一动点到定点 F 的距离与到一条定直线 l 的距离之 王新敞 奎屯 新疆 比是一个 (1,??) 内的常数 e ,那么这个点的轨迹叫做双曲线 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 其中定点叫做双 曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线 常数 e 是双曲线的离心率. 3.抛物线定义: 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定 点 F 叫做抛物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线 4.抛物线的标准方程: 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 y y y l y O F 图 形 l x O F x F O x F O l x l 方 程 焦 点 准 线 y 2 ? 2 px( p ? 0) p ( ,0 ) 2 p x?? 2 y 2 ? ?2 px( p ? 0) (? p ,0) 2 p x? 2 x 2 ? 2 py( p ? 0) p (0, ) 2 p y?? 2 x 2 ? ?2 py( p ? 0) p (0,? ) 2 p y? 2 相同点:(1)抛物线都过原点;(2)对称轴为坐标轴;(3)准线都与对称轴垂 直,垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 数绝对值的 王新敞 奎屯 新疆 它们到原点的距离都等于一次项系 1 2p p ? ,即 4 2 4 王新敞 奎屯 新疆 不同点:(1)图形关于 X 轴对称时,X 为一次项,Y 为二次项,方程右端为 ? 2 px 、左端为 y 2 ;图形关于 Y 轴对称时,X 为二次项,Y 为一次项,方程右 端为 ? 2 py ,左端为 x 2 王新敞 奎屯 新疆 (2)开口方向在 X 轴(或 Y 轴)正向时,焦点在 X 轴(或 Y 轴)的正半轴上,方程右端取正号;开口在 X 轴(或 Y 轴)负向时, 焦点在 X 轴(或 Y 轴)负半轴时,方程右端取负号 二、讲解范例: 例 1 点 M 与点 F(4,0)的距离比它到直线 l : x ? 5 ? 0 的距离小 1,求点 M 的 轨迹方程 解析:可知原条件 ? M 点到 F(4,0)和到 x=-4 距离相等,由抛物线的定义, 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 点 M 的轨迹是以 F(4,0)为焦点,x=-4 为准线的抛物线.∴ p ? 8 所求方程是 y 2 ? 16x 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 例 2 斜率为 1 的直线经过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,与抛物线相交于两点 A、B, 求线段 AB 的长 王新敞 奎屯 新疆 分析:思路一:解方程组,得交点的坐标,利用两点间距离公式解之 思路二:同思路一相同,但不解方程组,利用根与系数的关系,解之 思路三:利用根与系数关系及抛物线的定义来解之 思路四:利用弦长公式解之 (以后给出) 解析:如图,由抛物线的标准方程可知,抛物线焦点的坐标为 F(1 , 0) , 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 所以直线 AB 的方程为 y ? 0 ? 1 ? ( x ? 1) 即 y ? x ?1 ① 2 将方程①代入抛物线方程 y ? 4 x ,得 化简得 x ? 6 x ? 1 ? 0 2 ( x ? 1) 2 ? 4x D y A F B x O 解这个方程,得 x1 ? 3 ? 2 2 , x2 ? 3 ? 2 2 C 将 x1 ? 3 ? 2 2 , x2 ? 3 ? 2 2 代入方程①中,得 y1 ? 2 ? 2 2 , y2 ? 2 ? 2 2 即 A,B 的坐标分别是( 3 ? 2 2 , 2 ? 2 2 ) , (3? 2 2 , 2 ? 2 2 ) ∴ | AB |? (4 2 ) 2 ? (4 2 ) 2 ? 8 另法:在图中,由抛物线的定义可知,|AF|等于点 A 到准线 x=-1 的距离|AD|, 而|AD|= x1 +1.同理|BF|=|BC|= x2 +1,于是得 |AB|=|AF+|BF|= x1 + x2 +2. 由此可以看到,本题在得到方程 x ? 6 x ? 1 ? 0 后, 2 根据根与系数的关系可以直接得到 x1 + x2 =6. 于是立即可以求出|AB|=6+2=8. 例 3 已知抛物线的顶点在原点,对称轴为 x 轴,抛物线上的点 M(-3,m)到 焦点的距离等于 5,求抛物线的方程和 m 的值 解析:由 M(-3,m)到焦点的距离等于 5 王新敞 奎屯 新疆 ? M(-3,m)到准线的距离等于 5 ? p ? 5?3? 2 ? p ? 4 2 ?所求抛物线的方程为 y 2 ? ?8x ? m ? ?2 6 王新敞 奎屯 新疆 三、课堂练习: 2 1.抛物线 y =ax(a≠0)的准线方程是 ( ) (D)x= a (A)x= 4 a (B)x= 4 2

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