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2.5.1《离散型随机变量的均值》课件(北师大版选修2-3)

课程目标设置

主题探究导学

典型例题精析

知能巩固提升

一、选择题(每题5分,共15分) 1.(2010·哈尔滨高二检测)抛掷两枚骰子,当至少有一枚5点 或一枚6点出现时,就说这次实验成功,则在30次实验中成功 次数X的期望是( )
55 6 40 3 50 3

(A)

(B)

(C)

(D)10

【解析】选C.抛掷2个骰子,至少有一枚5点或6点的概率是
2 2 5 而30次试验中成功次数X服从X~B(30, 5 ) 1-C0 ? ( ) = , 2 3 9 9 ∴ EX=30 ? 5 = 50 9 3

2.设X~B(60,p),且EX=15,则p的值为( (A)
1 2

)

(B)

1 4

(C) 3
4

(D) 1

【解析】选B.由二项分布均值公式EX=np得60·p=15,解得
1 p= . 4

3

3.设10件产品中含有3件次品,从中抽取2件进行检查,则查 得次品数的数学期望为( (A)
3 10

)
15

(B) 3
5

(C) 2

(D)

8 15

【解析】选B.由题意可知次品数X服从N=10,M=3,n=2的超几何

分布,
∴ EX=n M =2 ? 3 = 3 .
N 10 5

二、填空题(每题5分,共10分) 4.甲、乙两个小球分别随机放到A、B、C三个空盒中,则A盒 中小球数X的均值是______. 【解题提示】借助于二项分布公式直接求得均值. 【解析】依题意知X~B(2, ),∴ EX=2 ? =
2 答案: 3 1 3 1 2 3 3

5.(2010·银川高二检测)两个人射击,甲,乙各射击一次中 靶的概率分别是p1,p2,且
1 1 是关于x的方程x2-5x+m=0 , p1 p 2

(m∈R)的两个根,若两人各射击5次,甲射击5次中靶的期望是 2.5.则p1=_______.p2=________.

【解析】由题意知甲服从X~B(5,p1),∴EX=5p1=2.5
∴ p1 = 1 , 又∵
2 1 答案: 2 1 3

1 1 1 + =5, ? p2 = . p1 p2 3

三、解答题(6题12分,7题13分,共25分)
6.(2010·大连高二检测)一个箱子中装有大小相同的1个红 球,2个白球,3个黑球,现从箱子中一次性摸出3个球,每个 球是否被摸出是等可能的. (1)求至少摸出一个白球的概率;

(2)用X表示摸出的黑球数,写出X的分布列并求X的数学期望.
【解题提示】(1)借助于对立事件的概率;(2)列出X 的所有取值,求出其概率,利用均值公式求出期望 .

【解析】(1)记“至少摸出一个白球”为事件A,则事件A的对
3 C 1 4 立事件 A 为“摸出的3个球中没有白球”,则 P(A)= 3 = . C6 5 4 4 P(A)=1-P(A)= , 即至少摸出一个白球的概率等于 . 5 5

(2)X的所有可能取值为0、1、2、3.

∴ EX=0 ? 1 +1? 9 +2 ? 9 +3 ? 1 = 3 ,
20 即X的数学期望为 3 . 2 20 20 20 2

7.袋中装有5个乒乓球,其中2个旧球,现在无放回地每次取一
球检验. (1)若直到取到新球为止,求抽取次数X的概率分布列及其均

值.
(2)若将题设中的“无放回”改为“有放回”,求检验5次取 到新球个数X的均值.

【解析】(1)X的可能取值为1、2、3,
3 2?3 3 P(X=1)= ,P(X=2)= = , 5 5 ? 4 10 2 ? 1? 3 1 P(X=3)= = , 5 ? 4 ? 3 10

抽取次数X的分布列为:

(2)每次检验取到新球的概率均为 3 , 故X~B(5,3 ),
5 5

3 3 1 3 EX=1? +2 ? +3 ? = . 5 10 10 2 3 5

∴ EX=5 ? =3.

1.(5分)甲、乙两工人在同样的条件下生产某种产品,日产量
相等,每天出废品的情况为

则有结论(

)

(A)甲的产品质量比乙的产品质量好一些
(B)乙的产品质量比甲的产品质量好一些 (C)两人的产品质量一样好 (D)无法判断谁的质量好一些 【解析】选B.设甲、乙出废品的个数分别为X甲、X乙,EX甲

=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1,
EX乙=0×0.3+1×0.5+2×0.2+3×0=0.9.

2.(5分)交5元钱,可以参加一次摸奖,一袋中有同样大小的球
10个,其中有8个标有1元钱,2个标有5元钱,摸奖者只能从中任 取2个球,他所得奖励是所抽2个球的钱数之和,则抽奖人获利的 数学期望是_____. 【解题提示】抽到的2个球的钱数之和X是个随机变量,Y

为获利的可能值则Y=X-5利用EY=EX-5求得EY

【解析】设X为抽到的2个球钱数之和,则X的取值如下:X=2 (抽到2个1元),X=6(抽到1个1元,1个5元),X=10(抽到2个5元).
2 1 1 C C 28 16 8 8C2 所以由题意,知 P(X=2)= = ,P(X=6)= = , 2 2 C10 45 C10 45 2 C 1 P(X=10)= 22 = , C10 45

∴ EX=2 ? 28 +6 ? 16 +10 ? 1 = 162 ,
45 45 45 45

又设Y为抽奖者获利可能值,则Y=X-5,所以抽奖者获利的期望 为 EY=EX-5= 162 -5=- 7 =-1.4
45 5

答案:-1.4

3.(5分)一个口袋中有6只球,编号为1,2,3,4,5,6,在袋中
同时取出3只,则所取出的3只球中的最大编号X的数学期望 为______.
C2 【解析】X的值为3,4,5,6,P(X=k)= k-1 , k=3,4,5,6, 3 C6

因此,X的概率分布为:

所以 EX=3 ? 1 +4 ? 3 +5 ? 3 +6 ? 1 =5.25.
20 20 10 2

答案:5.25

4.(15分)(2010·银川高二检测)在某校组织的一次篮球定点

投篮训练中,规定每人最多投3次;在A处每投进一球得3分,
在B处每投进一球得2分;如果前两次得分之和超过3分即停止 投篮,否则投第三次,某同学在A处的命中率q1为0.25,在B处 的命中率为q2,该同学选择先在A处投一球,以后都在B处投, 用X表示该同学投篮训练结束后所得的总分,其分布列为

(1)求q2的值; (2)求随机变量X的数学期望EX;

(3)试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方
式投篮得分超过3分的概率的大小.

【解析】

该同学选择(1)中方式投篮得分超过3分的概率为
0.48+0.24=0.72. 由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大.


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