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指数函数和对数函数知识点和练习

指数函数和对数函数基础练习题
一.基础知识 (一)指数与指数幂的运算
n

姓名:___________ 班级:___________

1.根式的概念:一般地,如果 x ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n >1,且 n ∈ N .
*

负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 ? 0 。 当 n 是奇数时, n a n ? a ,当 n 是偶数时, n a n ?| a |? ? 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定:

?a (a ? 0) ?? a (a ? 0)

a ? n a m (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)
a
? m n

m n

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1) a 〃 a ? a
r r r ?s

(a ? 0, r , s ? R) ;
(a ? 0, r , s ? R) ; (a ? 0, r , s ? R) .
x

(2) (a ) ? a
r s r r s

rs

(3) (ab) ? a a (二)指数函数及其性质

1、指数函数的概念:一般地,函数 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数 函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和 1. 2、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1
6 6 5 5

4

4

3

3

2

2

1

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调递增 非奇非偶函数 函数图象都过定 点(0,1)

定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调递减 非奇非偶函数 函数图象都过定 点(0,1)

注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[a,b]上, f (x) ? a (a ? 0且a ? 1) 值域是 [f (a ), f (b)] 或
x

[f (b), f (a )]; (2)若 x ? 0 ,则 f ( x ) ? 1 ; f ( x ) 取遍所有正数当且仅当 x ? R ;
(3)对于指数函数 f (x) ? a (a ? 0且a ? 1) ,总有 f (1) ? a ;
x

二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果 a ? N (a ? 0, a ? 1) ,那么数 x 叫做以 .
x

记作:x ? loga N ( a — 底数,N — 真数,loga N a 为底 N 的对数, .. — 对数式) 说明:○ 注意底数的限制 a ? 0 ,且 a ? 1 ; 1 2 ○ 3 ○ 1 ○ 2 ○

a x ? N ? loga N ? x ;
注意对数的书写格式.

loga N

两个重要对数: 常用对数:以 10 为底的对数 lg N ; 自然对数:以无理数 e ? 2.71828 ? 为底的对数的对数 ln N .

指数式与对数式的互化 幂值 真数

ab = N ? log a N = b
底数 指数 对数 (二)对数的运算性质 如果 a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ,那么:

loga (M 〃 N ) ? loga M + loga N ; M 2 ○ log a N ? loga M - loga N ; 3 ○ loga M n ? n loga M (n ? R) .
1 ○ 注意:换底公式

loga b ?

logc b ( a ? 0 ,且 a ? 1 ; c ? 0 ,且 c ? 1 ; b ? 0 ) . logc a
1 n (2) loga b ? . log a b ; m logb a

利用换底公式推导下面的结论 (1) log a m b n ?

(二)对数函数 1、对数函数的概念:函数 y ? loga x(a ? 0 ,且 a ? 1) 叫做对数函 数,其中 x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞) . 注意:○ 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意 1 辨别。如: y ? 2 log2 x , y ? log 5 x 都不是对数函数,而只能称其
5

为对数型函数. 2 ○ 对数函数对底数的限制: (a ? 0 ,且 a ? 1) .

2、对数函数的性质: a>1
3 2.5 2 1.5

0<a<1
3 2.5 2 1.5

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递增 函数图象都过 定点(1,0) 二、.练习题 1.64 的 6 次方根是( A.2 B.-2 ) 4 B. a4=a ) C.0 或 2(a-b) C. 22=2 ) C.± 2

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递减 函数图象都过定点 (1,0)

D.以上都不对

2.下列各式正确的是( A. (-3)2=-3

D.a0=1

5 3. (a-b)2+ (a-b)5的值是( A.0 B.2(a-b)

D.a-b )

4 4.若 a-2+(a-4)0 有意义,则实数 a 的取值范围是( A.a≥2 B.a≥2 且 a≠4 C.a≠2

D.a≠4 )

5.若 xy≠0,那么等式

4 x 2 y 3 =-2xy y成立的条件是(

A.x>0,y>0 B.x>0,y<0 C.x<0,y>0 a 1+b 1 6.化简 (a,b≠0)=________. - (ab) 1 7.根式 a -a化成分数指数幂是________.
- -

D.x<0,y<0

1 7 4 1 - 8.计算(0.064)- -(- )0+[(-2)3]- +16 0.75+|-0.01| =________. 3 8 3 2 1 1 3 1 9.化简求值:0.064- -(- )0+16 +0.25 =_____________. 3 8 4 2 10.若(x-5)0 有意义,则 x 的取值范围是( A.x>5 B.x=5 C.x<5 )

D.x≠5 ) b - D.( )m=a mbm a

11.对于 a>0,b≠0,m、n∈N*,以下运算中正确的是( A.aman=amn B.(am)n=am 1 1 1 12.设 <( )b<( )a<1,则( 3 3 3 )
+n

C.ambn=(ab)m

+n

A.aa<ab<ba B.aa<ba<ab C.ab<aa<ba 13.函数 y= A.a>0 C.0<a<1

D.ab<ba<aa )

ax-1的定义域是(-∞,0],则实数 a 的取值范围为( B.a<1 D.a≠1 )

1 + 14.已知集合 M={-1,1},N={x| <2x 1<4,x∈Z},则 M∩N=( 2 A.{-1,1} B.{0} C.{-1} D.{-1,0}

15.若函数 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的函数,且 f(x)-g(x)=ex,则有( A.f(0)=g(0) B.f(0)>g(0) C.f(0)<g(0) ) D.(0,1) D.无法比较

)

1 - 16.函数 y=( )1 x 的单调增区间为( 2 A.(-∞,+∞)

B.(0,+∞) C.(1,+∞)

1 1 17.已知实数 a,b 满足等式( )a=( )b,则下列五个关系式:①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b; 2 3 ④b<a<0;⑤a=b.其中不可能成立的有( . A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 18.当 x∈[-1,1] 时,f(x)=3x-2 的值域为________. 19.方程 4x+2x-2=0 的解是________. 20.满足 f(x1)· 2)=f(x1+x2)的一个函数 f(x)=______. f(x 21.求适合 a2x 7<a3x 2(a>0,且 a≠1)的实数 x 的取值范围.
+ -

)

1 - 1 22.已知 2x≤( )x 3,求函数 y=( )x 的值域. 4 2

23.已知函数 f(x)=2x+2 x. (1)判断函数的奇偶性;(2)求函数的单调增区间,并证明.



1- 24.设 y1=40.9,y2=80.48,y3=( ) 1.5,则( 2

)

A.y3>y1>y2 B.y2>y1>y3 C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2 1 + 1 - 25.若( )2a 1<( )3 2a,则实数 a 的取值范围是( 2 2 A.(1,+∞) )

1 1 B.( ,+∞) C.(-∞,1) D.(-∞, ) 2 2 ) C.R D.(-∞,0)

26.函数 y=πx 的值域是(

A.(0,+∞) B.[0,+∞)

1 - 27.方程 3x 1= 的解为( 9 A.x=2 B.x=-2

) C.x=1 D.x=-1 )

28.在同一平面直角坐标系中,函数 f(x)=ax 与 g(x)=ax(a>0 且 a≠1)的图象可能是(

29.当 x>0 时,指数函数 f(x)=(a-1)x<1 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A.a>2 B.1<a<2 C.a>1
x +1

)

D.a∈R -2 恒过点( )

30.不论 a 取何正实数,函数 f(x)=a A.(-1,-1)

B.(-1,0)

C.(0,-1) D.(-1,-3) )

31.函数 y=ax(a>0 且 a≠1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为 3,则 a 的值为( 1 A. 2 B.2 C.4 1 D. 4 1 的定义域是________. a -a2
x

32.设 0<a<1,则函数 f(x)=

33.若直线 y=2a 与函数 y=|ax-1|(a>0,且 a≠1)的图象有两个公共点,则 a 的取值范围是 ________. 34.函数 f(x)=ax+b(a>0 且 a≠1)的图象过点(1,3),且在 y 轴上的截距为 2,则 f(x)的解析式 为________. 35.下列一定是指数函数的是( A.形如 y=ax 的函数 C.y=(|a|+2)x ) B.y=xa(a>0,且 a≠1) D.y=(a-2)ax

36.已知函数 f(x)=2x,则 f(1-x)的图象为图中的(

)



37.方程 4x 1-4=0 的解是 x=________. 38.若 102x=25,则 x 等于( 1 A.lg 5 B.lg5 ) 1 D.2lg 5



C.2lg5

39..函数 y=loga(x+2)+3(a>0 且 a≠1)的图象过定点________. 40.已知 lg2=a,lg3=b,则 log36=( a+b A. a log2716 41. =( log34 A.2 a+b B. b ) 3 B. 2 C.1 2 D. 3 ) )

a b C. D. a+b a+b

42.(log43+log83)(log32+log98)等于( 5 A. 6 25 B. 12 9 C. 4

D.以上都不对 )

a 43.若 lga,lgb(a,b>0)是方程 2x2-4x+1=0 的两个根,则(lg )2 的值为( b A.2 1 B. 2 C.4 D. 1 4

1 1 44.已知 2x=5y=10,则 + =________. x y 1 45.化简 log612-2log6 2的结果为( 2 A.6 2 B.12 2 C.log6 3 ) 1 D. 2 )

46.(2009 年高考湖南卷)log2 2的值为( A.- 2 B. 2 1 C.- 2 1 D. 2

47.计算:2log510+log50.25=________. 48.logab=1 成立的条件是( ) D.a>0,a=b≠1 )

A.a=b B.a=b,且 b>0 C.a>0,且 a≠1

49.若 loga N=b(a>0 且 a≠1),则下列等式中正确的是( A.N=a2b B.N=2ab C.N=b2a ) D.b=c7a ) D.N2=ab

7 50.若 loga b=c,则 a、b、c 之间满足( A.b7=ac B.b=a7c C.b=7ac

51.在 b=log(a-2)(5-a)中,实数 a 的取值范围是( A.a>5 或 a<2 B.2<a<3 或 3<a<5 52.如果 f(ex)=x,则 f(e)=( ) C.2<a<5

D.3<a<4

A.1

B.ee

C.2e D.0 )

53.已知 logax=2,logbx=1,logcx=4(a,b,c,x>0 且≠1),则 logx(abc)=( 4 A. 7 2 B. 7 7 C. 2 7 D. 4


54.已知 loga2=m,loga3=n(a>0 且 a≠1),则 a2m n=________. 1 - 55.2 3= 化为对数式为( 8
1 1

)
1

A.log82=-3

B.log8(-3)=2 C.log28=-3 )

1 D.log2(-3)= 8

56.在 b=log(a-2)3 中,实数 a 的取值范围是( A.a<2 B.a>2 C.2<a<3 或 a>3

D.a>3

57.有以下四个结论:①lg(lg10)=0;②ln(lne)=0;③若 10=lgx,则 x=10;④若 e=lnx, 则 x=e2,其中正确的是( A.①③ B.②④ ) C.①② D.③④

58.方程 log3(2x-1)=1 的解为 x=________. 59.函数 y= log2x-2的定义域是( A.(3,+∞) )

B.[3,+∞) C.(4,+∞) D.[4,+∞) )

1 60.已知函数 f(x)=2log x 的值域为[-1,1],则函数 f(x)的定义域是( 2 A.[ 2 1 , 2] B.[-1,1] C.[ ,2] 2 2 D.(-∞, ) D.b>a>1

2 ]∪[ 2,+∞) 2

61.若 loga2<logb2<0,则下列结论正确的是( A.0<a<b<1 B.0<b<a<1 C.a>b>1

62.已知 f(x)=loga|x-1|在(0,1)上递减,那么 f(x)在(1,+∞)上( A.递增无最大值 B.递减无最小值 C.递增有最大值 D.递减有最小值

)

1 63.已知 0<a<1,x=loga 2+loga 3,y= loga5,z=loga 21-loga 3,则( 2 A.x>y>z B.z>y>x C.y>x>z D.z>x>y

)

64.下列四个数(ln2)2,ln(ln2),ln 2,ln2 中最大的为________. 65.已知 logm7<logn7<0,则 m,n,0,1 之间的大小关系是________. 1 66.函数 y=log (-x2+4x+12)的单调递减区间是________. 3 67.若 loga2<1,则实数 a 的取值范围是( A.(1,2) )

1 B.(0,1)∪(2,+∞) C.(0,1)∪(1,2) D.(0, ) 2

68.下列不等式成立的是( A.log32<log23<log25 C.log23<log32<log25

) B.log32<log25<log23 D.log23<log25<log32


69.当 a>1 时,在同一直角坐标系中,函数 y=a x 与 y=logax 的图象只能是下图中的(

)

70.(2009 年高考江苏卷)已知集合 A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若 A?B,则实数 a 的取 值范围是(c,+∞),其中 c=________. 71.函数 y=log2x 在[1,2]上的值域是( A.R B.[0,+∞) ) D.[0,1]

C.(-∞,1] )

72.函数 f(x)=log2(x+ x2+1)(x∈R)为( A.奇函数 C.非奇非偶函数 1 1 1 73.已知 log b<log a<log c,则( 2 2 2 A.2b>2a>2c C.2c>2b>2a

B.偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 ) B.2a>2b>2c D.2c>2a>2b

x ? x≤0 ?e 1 74.已知 g(x)=? ,则 g(g( ))=________. 3 ? ?lnx x>0

75.函数 y=

1 log (x-1)的定义域是________. 2

76.已知集合 A={x|2≤x≤π},定义在集合 A 上的函数 y=logax 的最大值比最小值大 1,求 a 的值.

77.函数 f(x)=log2(32-x2)的定义域为 A,值域为 B.试求 A∩B.

78.函数 f(x)=lg(x-1)+ 4-x的定义域为( A.(1,4] B.(1,4)C.[1,4] D.[1,4) )

)

x 79.函数 y= log2|x|的大致图象是( |x|


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