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(人教版) 高中数学必修2 第三章 直线与方程 直线系与对称问题(全)


课题:直线系与对称问题

教学目标:1. 掌握过两直线交点的直线系方程; 2. 会求一个点关于一条直线的对称点的坐标的
求法; 3. 会求一条直线关于一个点、一条直线的对称直线的求法. 教学重点:对称问题的基本解法

(一) 主要知识及方法: 关于 y 轴的对称点的坐标为 ? ?a, b ? ; 1. 点 P ? a, b ? 关于 x 轴的对称点的坐标为 ? a, ?b ? ;
关于 y ? x 的对称点的坐标为 ? b, a ? ;关于 y ? ?x 的对称点的坐标为 ? ?b, ?a ? .
2. 点 P ? a, b ? 关于直线 ax ? by ? c ? 0 的对称点的坐标的求法:

?1? 设所求的对称点 P ' 的坐标为 ? x0 , y0 ? ,则 PP' 的中点 ? ?
ax ? by ? c ? 0 上.

a ? x0 b ? y0 ? , ? 一定在直线 2 ? ? 2

? 2 ? 直线 PP' 与直线 ax ? by ? c ? 0 的斜率互为负倒数,即

y0 ? b ? a ? ? ? ? ? ? ?1 x0 ? a ? b ?

结论:点 P ? x0 , y0 ? 关于直线 l : Ax ? By ? C ? 0 对称点为 ? x0 ? 2 AD, y0 ? 2 BD ? , 其中 D ?
Ax0 ? By0 ? C ;曲线 C : f ( x, y) ? 0 关于直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的对称曲线方 A2 ? B 2

程为 f ? x ? 2 AD, y ? 2 BD? ? 0 特别地,当 A2 ? B2 ,即 l 的斜率为 ?1 时,点 P ? x0 , y0 ? 关于 直线 l : Ax ? By ? C ? 0 对称点为 ? ? ?
By0 ? C Ax0 ? C ? ,? ? ,即 P ? x0 , y0 ? 关于直线 x ? y ? c ? 0 A B ? ?

? 对 称 的 点 为 : ? ? y ? c, ? ? x ?c? , 曲 线 f ( x, y)? 0 于 x ? y ? c ? 的 对 称 曲 线 为 关 0 f ? ? y ? c, ? ? x ? c ? ? ? 0

3. 直线 a1x ? b1 y ? c1 ? 0 关于直线 ax ? by ? c ? 0 的对称直线方程的求法:

①到角相等;②在已知直线上去两点(其中一点可以是交点,若相交)求这两点 关于对称轴的对称点,再求过这两点的直线方程;③轨迹法(相关点法);④待 定系数法,利用对称轴所在直线上任一点到两对称直线的距离相等,…

1

4. 点 ? x, y ? 关于定点 ? a, b ? 的对称点为 ? 2a ? x, 2b ? y ? ,曲线 C : f ? x, y ? ? 0 关于定点

? a, b ? 的对称曲线方程为 f ? 2a ? x, 2b ? y ? ? 0 .
5. 直线系方程:

?1? 直线 y ? kx ? b ( k 为常数, b 参数; k 为参数, b 位常数).
? 2 ? 过定点 M ? x0 , y0 ? 的直线系方程为 y ? y0 ? k ? x ? x0 ? 及 x ? x0 ? 3? 与直线 Ax ? By ? C ? 0 平行的直线系方程为 Ax ? By ? C1 ? 0 ( C ? C1 ) ? 4 ? 与直线 Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线系方程为 Bx ? Ay ? m ? 0 ? 5 ? 过 直 线 l1: a1 x?
1 1 1 2

b y 1 ?0 和 l2:a2 x ? b2 y ? c2 ? 0 的 交 点 的 直 线 系 的 方 程 为 : c 1 ?
2 2

? a x ? b y ? c ? ? ? ? a x ? b y ? c ? ? 0 (不含 l )
2

(二)典例分析:
问题 1. 06 湖北联考)一条光线经过点 P ? 2, 3 ? ,射在直线 l : x ? y ? 1 ? 0 上, ( 反射后穿过点 Q ?1,1? . ?1? 求入射光线的方程; 2 ? 求这条光线从点 P 到点 Q 的长度. ?

问题 2.求直线 l1 : y ? 2 x ? 3 关于直线 l : y ? x ? 1对称的直线 l2 的方程.

2

问题 3.根据下列条件,求直线的直线方程

?1? 求通过两条直线 x ? 3 y ? 10 ? 0 和 3x ? y ? 0 的交点,且到原点距离为1;
? 2 ? 经过点 A ? 3, 2 ? ,且与直线 4 x ? y ? 2 ? 0 平行; ? 3? 经过点 B ? 3, 0 ? ,且与直线 2x ? y ? 5 ? 0 垂直.

问题 4. ?1? 已知方程 x ? kx ? 1 有一正根而没有负根,求实数 k 的范围

3

? 2 ? 若直线 l1 : y ? kx ? k ? 2 与 l2 : y ? ?2 x ? 4 的交点在第一象限,求 k 的取值范围.

? 3? 已知定点 P ? ?2, ?1? 和直线 l : ?1 ? 3? ? x ? ?1 ? 2? ? y ? ? 2 ? 5? ? ? 0 ? ? ? R ?
求证:不论 ? 取何值,点 P 到直线 l 的距离不大于 13

4

(三)课后作业:
1. 方程 ?1 ? 4k ? x ? ? 2 ? 3k ? y ? ? 2 ? 14k ? ? 0 表示的直线必经过点
A. ? 2, 2 ? B. ? ?2, 2 ? C. ? ?6, 2 ?
? 34 22 ? D. ? , ? ? 5 5 ?

2. 直线 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 关于点 ?1, ?1? 对称的直线方程是 A. 3x ? 2 y ? 2 ? 0 B. 2 x ? 3 y ? 7 ? 0 C. 3x ? 2 y ? 12 ? 0 D. 2 x ? 3 y ? 8 ? 0

3. 曲线 y 2 ? 4 x 关于直线 x ? y ? 2 ? 0 对称的曲线方程是 4. A ?

?? x. y ? y ? a x ? , B ? ?? x, y ? y ? x ? a? , A ? B 仅有两个元素,则实数 a 的范围是

5. 求经过直线 3x ? 2 y ? 6 ? 0 和 2 x ? 5 y ? 7 ? 0 的交点,且在两坐标轴上的截距相等的

直线方程

6. 已知 △ABC 的顶点为 A ? ?1, ?4 ? , ?B, ?C 的平分线所在直线的方程分别是 l1 :
y ? 1 ? 0 与 l 2 : x ? y ? 1 ? 0 ,求 BC 边所在直线的方程.

5

7. 已知直线 kx ? y ? 1 ? 3k ? 0 ,当 k 变化时所得的直线都经过的定点为

8. 求证:不论 m 取何实数,直线 ? m ? 1? x ? ? 2m ? 1? y ? m ? 5 总通过一定点

9. 求点 P ?1,1? 关于直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的对称点 Q 的坐标

10. 已知: P ? a, b ? 与 Q ? b ? 1, a ? 1? , ? a ? b ? 1? 是对称的两点,求对称轴的方程

11. 光线沿直线 l1 : x ? 2 y ? 5 ? 0 射入,遇到直线 l 2 : 3x ? 2 y ? 7 ? 0 反射,求反射光线

所在的直线 l3 的方程

6

12. 已知点 A ? ?3,5 ? ,B ? 2,15 ? ,试在直线 l :3x ? 4 y ? 4 ? 0 上找一点 P ,使 PA ?PB



小,并求出最小值.

(四)走向高考:
1. ( 04 安徽春)已知直线 l : x ? y ? 1 ? 0 , l1 : 2 x ? y ? 2 ? 0 .若直线 l 2 与 l1 关于 l 对称,

则 l2 的方程为
B. x ? 2 y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 1 2. ( 05 上海)直线 y ? x 关于直线 x ? 1 对称的直线方程是 2 A. x ? 2 y ? 1 ? 0 D. x ? 2 y ? 1 ? 0

3. ( 07 上海文)圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 1 ? 0 关于直线 2 x ? y ? 3 ? 0 对称的圆的方程是 A. ( x ? 3 ) 2 ? ( y ? 2) 2 ?
1 2

B. ( x ? 3 ) 2 ? ( y ? 2) 2 ?

1 2

C. ( x ? 3 ) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 2

D. ( x ? 3 ) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 2

7


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