当前位置:首页 >> 数学 >>

人教版高中数学必修五第二章数列《等比数列》2.5第一课时等比数列前n项和教学课件共28张PPT


2.5 等比数列前n项和
(第一课时)

学习目标
1 2 3
体会等比数列前n项和公式的推导过程

理解并记住等比数列前n项和公式
能应用该公式解决相关简单的求和问题

2

学习脉络
等差数列 等差数列 的性质 等差数列 前n项和 等差数列前n 项和的性质

类比
等比数列

等比数列 的性质

等比数列 前n项和

等比数列前n 项和的性质

等差数列前n 项和——求法

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an?1 ? an
Sn ? an ? an?1 ? an?2 ? ? ? a2 ? a1
2Sn ? ? a1 ? an ? ? (a2 ? an?1 ) ??? (an?1 ? a2 ) ? (an ? a1 )

? n ? a1 ? an ?

n ? a1 ? an ? Sn ? 2

回顾:知 S n 求 a n
Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an?1 ? an

Sn?1 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1

(n ? 2)

an ? Sn ? Sn?1

(n ? 2)

?那么,怎么求等比数

列的前n 项和呢?

1.引入典故,提出问题

大家好,我是 花果山水帘洞 美猴王——孙 悟空耶!

最近很烦耶!花果山搞了个旅游 开发,可是经费不足,银行又不 肯贷款。怎么办呢?
8

猴哥,好久 不见,你变 帅了耶!

最近,老孙的花果山旅游集 团经费周转有些困难,听说 你继承了高老庄一大笔遗产, 特来找你帮忙呀!

9

这样吧!我每天向你投资100万, 连续投资30天。咱们兄弟就不讲利 息了,你就第一天给我1块钱,第二 天给我2块钱,第三天给我4块钱, 以后每天给我前一天两倍钱,意思 一下就算了。 如果你同意的话, 咱俩就签合同吧。

10

不行,我得征求我其 他人意见,然后再签。 看那猪头一脸奸笑, 会不会被耍呀?

孙悟空该不该签约呢?
悟空接受的资金 返还给八戒的钱数

T30 ?100?30 ? 3000万元
每天投资100万元, 连续投资30天

1? 2 ? 22 ? 23 ? L? 229
第一天返还1元 第二天返还2元 第三天返还4元 〃〃〃〃〃〃 后一天返还的钱 数是前一天的2倍

12

探讨: 悟空返还给八戒的钱数是:
S30 ? 1 ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? 2
2 28 29



0 1 , 2,· 请问:1、 · · ,229构成什么数列? 2 1,22,2

等比数列,首项为1,公比为2.

2、1+2+22+……+228+229应归结为什么数学问 题呢?
等比数列求和 前30项的和

13

探究:等比数列前n项和
S30 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? 2
2 3 28 29

?

29 30 ? 2 2 3 3 4 4 29 30 2S30 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 2 ? 2 ? 2 ??? 2 ? 2

问题1:观察相邻两项的特征,有何联系? 问题2:如果将上式每一项都乘以2,会有什 么变化? 每一项就变成了与它相邻的后一项 ?-?得: S30

? 2 ?1 ? 1, 073, 741,823 元
30

? 11 亿 ? 3000 万元

入不敷出,所以悟空不该签约,否则就上了八戒的当了。

类比思考:
S30 ? 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ?? 228 ? 229
2S30 ?
?

2 ? 22 ? 23 ? 24 ? ?? 229 ? 230 ?

1、为什么?式要乘以2,而不是乘以其他的任何数? 2、对于一般的等比数列我们又将怎样求得它的前n项和呢 ?

sn ? a1 ? a2 ? a3 ????? an?1 ? an

等比数列的前n项和
它的前n项和是

错位相减法

设等比数列 a1 , a2 , a3 ,L, an ,L

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? L ? an
2 n ?2

即 Sn ? a1 ? a1q ? a1q ? L? a1q
⑴×q, 得

? a1q .
n?1

n?1



qSn ?

a1q ? a1q ? L? a1q
2

n?2

? a1q

? a1q . ⑵
n

⑴-⑵,得

?1 ? q?? Sn ? a1 ? a1q

n

,

说明:这种求和方法称为错位相减法

?1 ? q?? Sn ? a1 ? a1q
当q≠1时, 当q=1时,

n

,
n

a1 ? 1 ? q Sn ? 1? q

?

?

Sn ? na1

? na1 , (q ? 1), ? n S ? 于是 ? a1 (1 ? q ) n ? 1 ? q , (q ? 1). ?

等比数列前n项和公式

? na1 , ? q ? 1? ?na1 , (q ? 1), ? ? 或 Sn ? ? a ? a q S n ? ? a1 (1 ? q n ) 1 n , ? q ? 1? , ( q ? 1 ) . ? ? 1? q ? 1? q ?
?由

Sn ,an ,q , a1 , n 知三而可求二 .

?注意公式适用的条件

(1)是否为等比数列
(2)q≠1?

判断是非
①1 ? 2 ? 4 ? 8 ? 16 ? L? (?2)
n?1

1 ? (1 ? 2 ) ? 1 ? (?2)
n

(? 2)
n

1 ? (1 ? 2 ) ② 1 ? 2 ? 2 ? 2 ?L? 2 ? 1? 2
n
2 3 n

n+1

2 2 n c [ 1 ? ( c ) ] 2 4 6 2n ③若 c ? 0 且 c ? 1 ,则 c ? c ? c ? L ? c ? 1 ? c2

应用公式时,注意q的取值,

q=c2,c2≠1

还要注意求和的项数。

公式的应用
1.根据下列条件,求相应的等比数列{an}的前n项和.

?1? a1 ? 3, q ? 2, n ? 6
6

3 ? (1 ? 2 ) ? 189. 解:S6 ? 1? 2

(2)已知a1 ? 1 ,ak ? 243, q ? 3, 求Sk .
解: 由等比数列前n项和公式得:

1 ? 243 ? 3 Sk ? 1? 3

=364

课堂练习

1 . 求等比数列

1 1 1 1 , , , ,?? 2 4 8 16

(1)求前8项的和 . 1

解:
解:

(2)求第5项到第10项的和.

1? ? ?1 ? 8 ? 1 255 2? 2 ? S8 ? ? 1? 8 ? 1 2 256 1? 2

1? 1 ? 1? 1? 1 ? 1 ? ? ? ? ? 1 1 31 2 ? 210 ? 2 ? 25 ? S10 ? S5 ? ? ? 1 ? 10 ? 1 ? 5 ? 1 1 2 2 1024 1? 1? 2 2

2、求数列a,a2,a3 ……an的和。
解:

a ? 0时,S n ? 0 a ? 1时,S n ? n

分类讨论的思想

a(1 ? a ) a ? 0且a ? 1时,S n ? 1? a
n

总结
等 比 数 列 前 n 项 和

注意: 1、判断q=1? 2、判断所求的项数
? na1 , q ? 1 ? na1 , q ? 1 ? ? Sn ? ? a1 1 ? qn , Sn ? ? a1 ? an q , , q ? 1 , q ?1 ? ? 1? q 1 ? q ? ?

错位相减法

?

?

简单的应用

63 1 1 1 1 1、 等比数列 , , , , ? ? ?前多少项的和是 ? 2 4 8 16 64
2、若

课堂延伸思考

q ? 2, S4 ? 1, 求 S8 .
解:? q ? 2, S4 ? 1

解: ?1?

1 1 a1 ? , q ? 2 2 1 1 (1 ? n ) 1 2 2 Sn ? ? 1? n 1 2 1? 2

1 63 1? n ? 2 64 n?6

方程的思想

1? 2 1 解得:a1 ? 15 1 8 1 ? 2 ? ? 255 15 ? ? 17 则 S8 ? 1? 2 15

? S4 ?

a1 ?1 ? 24 ?

?1

作 业
课本61页

A组 第一题

等比数列的前n项和的方法: 错位相减法
等比数列前n项和: Sn

? a1 ? a1q ? a1q2 ? a1q3 ? ?? a1qn?1

?

? ?q
?-?

qSn ?

a1q ? a1q2 ? a1q3 ? ?? a1qn?1 ? a1qn ?

?1 ? q ? Sn ? a1 ? a1q

n

26

思考: 能否用错位相减求下列数列的和呢?
2 3 4 n 例1. 求和: Sn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3? 2 ? 4 ? 2 ??? n ? 2 .

27

课后思考:
2 3 4 n 例1. 求和: Sn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3? 2 ? 4 ? 2 ??? n ? 2 . 解: Sn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? 4 ? 24 ??? ? n ?1? ? 2n?1 ? n ? 2n

两端同乘以
2

2 ,得
3 4 5 n n?1

2Sn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3? 2 ? 4 ? 2 ? ?? (n ?1) ? 2 ? n ? 2
两式相减得 于是
2 3 4 n

?Sn ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? n2 ,
n?1

n?1

Sn ? 2 ? 2

? n2

n?1

.

28

THANKS

@chenyunni
29


相关文章:
人教版高中数学必修五第二章数列《等比数列》2.5第一课....ppt
人教版高中数学必修五第二章数列《等比数列》2.5第一课时等比数列前n项和教学课件共28张PPT_高二数学_数学_高中教育_教育专区。2.5 等比数列前n项和(第一课时) ...
【导与练】人教版高中数学必修5第二章 数列2.5 等比数....ppt
【导与练】人教版高中数学必修5第二章 数列2.5 等比数列前n项和 第一课时 等比数列前n项和 课件 - 2.5 等比数列前n项和 等比数列前n项和 第一...
人教版高中数学必修五第二章数列《等比数列》2.5第一._....doc
人教版高中数学必修五第二章数列《等比数列》2.5第一. - 等比数列的前 n 项和的方法: 错位相减法 等比数列前 n 项和: - 思考: 能否用错位相减求下列数列的...
2018年秋高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和第1课....ppt
2018年秋高中数学第二章数列2.5等比数列前n项和第1课时课件人教版必修5_初三语文_语文_初中教育_教育专区。2018 以下为附加内容 不需要的朋友下载后 可以编辑...
2018年秋高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和第1课....ppt
2018年秋高中数学第二章数列2.5等比数列前n项和第1课时课件人教版必修5_初三语文_语文_初中教育_教育专区。2018 +申请认证 文档贡献者 芳芳 教师 228587 ...
...第二章数列2.5等比数列前n项和教学课件新人教A版必....ppt
河北省宁晋县高中数学第二章数列2.5等比数列前n项和教学课件人教A版必修5 - 2.5 等比数列前n项和 第一课时 学习目标 体会等比数列前n项和公式的推导过程 ...
高中数学2.5.1等比数列的前n项和课件新人教版必修5_图文.ppt
高中数学2.5.1等比数列前n项和课件人教版必修5_教学案例/设计_教学研究_教育专区。高中数学高一年级必修5第二章第四节 等比数列 第一课时 等比数列的前n项...
2018版高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和(一)课....ppt
2018版高中数学第二章数列2.5等比数列前n项和(一)课件人教A版必修5_数学_高中教育_教育专区。2018 第二章 数列 §2.5 等比数列前n项和(一) 学习 目标...
2017_2018年高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和第....ppt
2017_2018年高中数学第二章数列2.5等比数列前n项和第2课时等差、等比数列的综合应用课件人教A版必修5 - 第二章 数列 2.5 等比数列前 n 项和 等差、...
2018年秋高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和第2课....ppt
2018年秋高中数学第二章数列2.5等比数列前n项和第2课时课件人教版必修5_初三语文_语文_初中教育_教育专区。2018 以下为附加内容 不需要的朋友下载后 可以编辑...
...数学必修5课件:第二章2.5第1课时等比数列前n项和的....ppt
《金版学案》2019人教版高二数学必修5课件:第二章2.5第1课时等比数列前n项和的示解 - 第二章 数列 2. 5 等比数列的前 n 项和 第 1 课时 等比数列前 n...
...第二章数列_2.5_等比数列的前n项和_第一课时_等比数....ppt
2014-2015学年数学必修五(人教A版)第二章数列_2.5_等比数列前n项和_第一课时_等比数列前n项和_数学_高中教育_教育专区。2.5 等比数列前n项和 第一...
高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和课件新人教A版....ppt
高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和课件人教A版必修5 - 2.5 等比数列的前n项和 学习目标 1.理解并掌握等比数 列前 n 项和公式及其 推导方法. 2.能...
...第二章数列2.5等比数列的前n项和课件新人教A版必修5....ppt
2016_2017学年高中数学第二章数列2.5等比数列前n项和课件人教A版必修5_教学案例/设计_教学研究_教育专区。2.5 等比数列前n项和 自主学习 新知突破 1....
...第二章数列2.5等比数列的前n项和课件新人教A版必修5....ppt
2017_2018学年高中数学第二章数列2.5等比数列前n项和课件人教A版必修5 - 2.5 等比数列前n项和 1.理解并掌握等比数列前n项和公式及其推导方法. 2.能...
数学知识点人教A版数学必修五 第二章数列 《等比数列的....doc
数学知识点人教A版数学必修五 第二章数列 《等比数列前n项和》学习过程-总结 - 初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学 2.5 等比数列前 ...
【导与练】人教版高中数学必修5第二章 数列 2.5等比数....ppt
【导与练】人教版高中数学必修5第二章 数列 2.5等比数列前n项和 第二课时 数列求和习题课 课件_数学_高中教育_教育专区。【导与练】人教版高中数学必修5第...
...前n项和第2课时等比数列习题课课件新人教A版必修5_....ppt
高中数学第二章数列2.5等比数列前n项和第2课时等比数列习题课课件人教A版必修5_教学案例/设计_教学研究_教育专区。 +申请认证 文档贡献者 王晨 高级教师 ...
...章数列2.5等比数列的前n项和2.5.1等比数列前n项和公....doc
高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和2.5.1等比数列前n项和公式的推导与应用教案新人教A版必修5_教学案例/设计_教学研究_教育专区。2.5.1 项目 2.5.1 课题...
人教B版高中数学课件 必修5第二章 数列 2.5《等比数列....ppt
人教B版高中数学课件 必修5第二章 数列 2.5《等比数列前n项和》 - 第二章 数列 2.5 等比数列前n项和 本节课主要学习等比数列前 n项和公式。本课件...
更多相关标签: