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第十二 数列求和


天目高级中学 2014 届高三下

数学文二轮复习学案

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第十二讲 数列求和
一. 数列求和的常见方法有: 1. 公式法:⑴ 等差等比数列的求和公式, (2) 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?
2 2 2 2

数学文二轮 讲义编号 12

1 n(n ? 1)(2n ? 1) 6
n

2.分组求和法:在直接运用公式求和有困难时常,将“和式”中的“同类项”先合并在 一起,再运用公式法求和(如:通项中含(-1) 因式,周期数列等等) 3.裂项相消法: 1 1 1 1 常见的拆项公式:(1) = ( - )(其中{an}是一个公差为 d 的等差数列; anan+m md an an+m (2) 1 1 =a-b ( a a? b b );

(3)

1 1 1 1 ? ( ? ); n( n ? k ) k n n ? k

4.错位相减法:特征:所给数列{a n } ,其中 a n =cn·bn{cn}是一个等差数列, {bn} 是一个等比数列。 (目的:转化为等比数的求和) 5.倒序相加法:如果一个数列{a n } ,与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和,则 可用把正着写和与倒着写和的两个和式相加,就得到了一个常数列的和,这一 求和方法称为倒序相加法。特征:an+a1=an-1+a2 通常,当数列的通项与组合数相 关联时,那么常可考虑选用倒序相加法, (等差数列求和公式) 二、课前热身
2 2 2 2 1.等比数列 {an } 的前n项和 Sn=2 -1,则 a1 =________________. ? a2 ? a3 ? ? ? an


2.设 Sn ? ?1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ? ? (?1)n (2n ? 1) ,则 S n =_______________________. 3.

1 1 1 ? ?? ? ? 1? 4 4 ? 7 (3n ? 2) ? (3n ? 1)

.

4.

1 1 1 1 ? ? ? ... ? =__________ 2 ? 4 3?5 4 ? 6 (n ? 1)( n ? 3)
,前 n 项和

5. 数列 1,(1 ? 2),(1 ? 2 ? 2 2), ?,(1 ?2 ?2 2 ? ?? 2 n?1), ? 的通项公式 an ?

Sn ?
1

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6.

1 3 5 2n ? 1 , 2 , 3 , ? , n , ? ; 的前 n 项和为_________ 2 2 2 2
x

三、典型例题: 例 1.已知点 Pn (n, xn ) 在函数 y ? 2 的图象上. (1)求数列 ?xn ? 的前 n 项和 S n ; (2)设
yn ? lg xn ? lg n ?1 n ,求数列 ?y n ? 的前 n 项和 Tn .

例 2.已知数列{an}是等差数列,且 a1=2,a1+a2+a3=12.

(1) 求数列{an}的通项公式; (2)令

bn ?

an 2 an ,求数列{bn}前 n 项和。

2

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例 3.已知数列{ an }中的相邻两项 a2 k ?1 、 a2 k 是关于 x 的方程 x2 ? (3k ? 2k ) x ? 3k ? 2k ? 0 的两个根,且 a2 k ?1 ≤ a2 k (k =1,2,3,?). (I)求 a1 , a3 , a5 , a7 及 a2 n (n≥4); (Ⅱ )

求数列{ an }的前 2n 项和 S2n.

例 4.数列 {an } 为等差数列, an 为正整数,其前 n 项和为 Sn ,数列 {bn } 为等比数列,且 (2) a1 ? 3, b1 ? 1 ,数列 {ban } 是公比为 64 的等比数列, b2 S2 ? 64 .(1)求 an , bn ; 求证

1 1 1 3 ? ?? ? ? . S1 S2 Sn 4

四、课后作业 1.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2 ? 2, S4 ? 10, 则S6等于 ( (A)12 (B)18 (C)24 (D)42 ) (D)以上均不正确 ) )

2.数列 1,x,x2,?,xn?1,?的前 n 项之和是( (A)

xn ? 1 x ?1

(B)

x n ?1 ? 1 x ?1

(C)

x n?2 ? 1 x ?1

3.数列{an}前 n 项的和 Sn=3n+b(b 是常数),若这个数列是等比数列,那么 b 为( (A)3 (B) 0 (C)-1 (D)1

3

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4.等比数列{an}中,已知对任意自然数 n,a1+a2+a3+?+an=2n-1,则 a12+a22+a32+?+an2 等于( ) (A) (2 n ? 1) 2 (B) (2 ? 1)
n

1 3

n (C) 4 ? 1

(D)

1 n (4 ? 1) 3

5.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn ? 1 ? 5 ? 9 ?13 ? 17 ? 21? ... ? (?1)n?1 (4n ? 3) ,则

S1 5? S 2 ? 2 S 3的值为( 1
(A )13 6.求和: 1 ?

) (C)46 (D)76 . .

(B)-76

1 1 1 ? ??? ? 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ??? n 1 1 1 1 7.数列 1 ,2 ,3 ,4 ,? 的前 n 项和是 3 9 27 81

8.将正整数 1,2,3, 。 。 。 ,n。 。 。按第 k 组含 k 个数的规则分组,则 2008 在第______组 9 . 数 列 {an } 满 足 a1 ? 2 , an?1 ? an ? 2n , 则 通 项 公 式 an ? ,前 n 项和

Sn ?

.

10.在数列 {an } 中,已知 a1 ? ?20 ,an?1 ? an ? 4, 则a1 ? a2 ? a3 ? ? a20 ? ______. 11.在数列 ?an ? 中 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ... ? nan ? n(2n ? 1)(n ? N*) . (1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求数列 ?

? nan ? 的前 n 项和 T n . n ? ?2 ?

12 . 已 知

{an } 是 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 , 且

a1 ? a2 ? 2(

1 1 ? ) a1 a2 ,

a3 ? a4 ? a5 ? 64(

1 1 1 1 bn ? (an ? ) 2 ? ? ) {a } an ,求 a3 a4 a5 , (Ⅰ)求 n 的通项公式; (Ⅱ)设

数列

{bn }

的前 n 项和

Tn 。

4


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