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集合的基本运算-并集与交集_图文

思考

我们知道,实数有加法运算.类比实数的加法 运算,集合是否也可以“相加”呢? 考察下列各个集合,你能说出集合C与集合A、 B之间的关系吗? 1) A={1,3,5},B={2,4,6},C={1,2,3,4, 5,6}; 2) A={x|x是有理数},B={x|x是无理数},C={x|x 是实数}.

1.并集
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合, 称为集合A与B的并集(union set),记作A∪B(读作“A并B”),即 A∪B={x|x∈A,或x∈B}. 可用Venn图表示:

例4 设A={4,5,6,8}, B={3,5,7,8},求A∪B.
解: A∪B={4,5,6,8} ∪ {3,5,7,8} ={3,4,5,6,7,8}

例5 设集合A={x|-1<x<2},集合B={x|1<x<3} 求A∪B.
解: A∪B={x|-1<x<2} ∪ {x|1<x<3}

={x|-1<x<3}

根据右图讨论一下并集 的运算性质

?1?A ? B ? A, A ? B ? B; ?2?A ? A ? A; ?3?A ? ? ? A; ?4?A ? B ? B ? A.

观察:集合A,B与集合C之间有什么关系?
(1)A={2,4,6,8,10}, B={3,5,8,12}, C={8}

(2)A={x|x是新华中学2004年9月在校的女生}
B={x|x是新华中学2004年9月在校的高一学生}

C={x|x是新华中学2004年9月在校的高一女生}

2.交集
一般地,由属于集合A且属于集合B的所 有元素组成的集合,称为A与B的交集, 记作A∩B(读作“A交B”),即 A∩B={x|x∈A且x∈B}. 可用Venn图表示:

例6 新华中学开运动会,设

A={x|x是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学}
B={x|x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学},

求A∩B,A∪B 解:A∩B={x|x是新华中学高一年级既参加百米 赛跑又参加跳高比赛的同学}.

A∪B={x|x是新华中学高一年级参加百米赛跑 或参加跳高比赛的同学}

例7 设平面内直线 l1上的点的集合为 L1 , 直线l2 上点 的集合为L2 , 试用集合的运算表示 l1 , l2的位置关系 .

解 : (1)直线l1 , l2 相交于一点P可表示为 L1 ? L2 ? {点P}; (2)直线l1 , l2 平行可表示为 L1 ? L2 ? ?; (3)直线l1 , l2 重合可表示为 L1 ? L2 ? L1 ? L2 .

根据右图讨论一下 交集的运算性质

?2?A ? A ? A; ?3?A ? ? ? ?;

?1?( A ? B) ? A, ( A ? B) ? B;

?4?A ? B ? B ? A.

练习1 已知A={x|x是等腰三角形},B={x|x是直角 三角形},求A∩B,A∪B. 答: A∩B ={x|x是等腰直角三角形}, A∪B ={x|x是等腰三角形或是直角三角形} 练习2 A={x|x2-4x-5=0},B={x|x2=1}, 求A∩B, A∪B. 答: A∩B ={-1}, A∪B ={-1,1,5}

练习3 已知集合A={x|x2-ax+a2-19=0}, B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2+2x-8=0},求a取 何值时,A∩B≠ 与A∩C= 同时成立.
由已知,得B ? {2, 3},C ? {2, ? 4}. ? A ? B ? ?, ? 2和3是方程x 2 ? ax ? a 2 ? 19 ? 0的解; 又 ? A ? C ? ?, ? 2和 ? 4都不是方程x 2 ? ax ? a 2 ? 19 ? 0的解; ? 3是方程x 2 ? ax ? a 2 ? 19 ? 0的解.

? a ? 3a ? 10 ? 0,
2

? a ? ?2或a ? 5. 当a ? ?2时, 经验证适合题意; 当a ? 5时, A ? {2,3}, 此时A ? C ? ?, ? a ? 5舍去. ? a ? ?2.

知识总结
本节我们学习了集合的并、交两种基本运算, 要在理解其运算本质的基础上记忆其运算性质; 在掌握概念的基础上能够熟练运用自然语言、符 号语言、图形语言来表示集合的交、并运算.

作业:课本第13页第6题.


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