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高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数3.3幂函数及其性质素材苏教版必修2

幂函数 一、幂函数的定义 一般地, 形如 y ? x?( x ?R) 的函数称为幂孙函数, 其中 x 是自变量, ? 是常数.如 y ? x2 , y ? x 3 , y ? x 等都是幂函数,幂函数与指数函数,对数函数一样,都是基本初等函数. 二、函数的图像和性质 (1) y ? x (2) y ? x 1 2 1 ? 1 4 (3) y ? x2 (4) y ? x ?1 (5) y ? x3 用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像,通过观察图像,可以看出: y?x 定义域 奇偶性 在第Ⅰ象限单调增 减性 定点(公共点) 3.幂函数性质 y ? x2 y ? x3 y?x 1 2 y ? x ?1 (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过 点(1,1) ; (2) x >0 时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+ ∞]上,是增函数 (3)α <0 时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函 数. 三.两类基本函数的归纳比较: ① 定义 对数函数的定义:一般地,我们把函数 y ? loga x ( a >0 且 a ≠1)叫做对数函数,其中 x 是自变量,函 数的定义域是(0,+∞) . 幂函数的定义:一般地,形如 y ? x ( x ?R)的函数称为幂孙函数,其中 x 是自变量, ? 是常数. ? ②性质 对数函数的性质:定义域: (0,+∞) ;值域:R; 过点(1,0) ,即当 x =1, y =0; - 1 在(0,+∞)上是增函数;在(0,+∞)是上减函数 幂函数的性质:所有的幂函数在(0,+∞)都有定义, 图象都过点(1,1) x >0 时,幂函数的图象都通过原点, 在[0,+∞]上, y ? x 、 y ? x 、 y ? x 、 y ? x 是增函数, 2 3 1 2 在(0,+∞)上, y ? x ?1 是减函数。 2 ?5 m ?3 例 1.已知函数 f ? x ? ? m ? m ? 1 x ,当 m 为何值时, f ? x ? : ? ? (1)是幂函数; (2)是幂函数,且是 ? 0, ??? 上的增函数; (3)是正比例函数; (4)是反比例函数; (5) 是二次函数; 例 2.比较大小: (1) 1.5 ,1.7 1 2 1 2 (2) (?1.2) ,(?1.25) (3) 5.25 ,5.26 ,5.26 (4) 0.53 ,30.5 ,log3 0.5 3 3 ?1 ?1 ?2 - - 2

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