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最新文档-高中数学人教版复习课件第八章第2课时-PPT精品文档_图文

第八章

平面解析几何

第2课时 两直线的位置关系

第八章

平面解析几何

1.两条直线平行与垂直的判定 如何判定两直线平行与垂直?

提示:对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2,则有
l1∥l2?k1=k2,l1⊥l2?k1k2=-1 温馨提醒:两条直线平行、垂直的充要条件是有大前提 的,就 是两条直线都有斜率.当直线无斜率时,要单独考虑.

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2.两直线相交 交点:直线 l1:A1x+ B1y+ C1= 0 和 l2:A2x+ B2y+ C2= 0 的
? ?A1x+ B1y+ C1=0 公共点的坐标与方程组? 的解一一对应 . ? ?A2x+ B2y+ C2=0

唯一解 ,交点坐标就是方程组的解; 相交?方程组有________ 无解 ; 平行?方程组________ 无数组解 重合?方程组有______________ .

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3.三种距离公式 (1)点 A(x1, y1), B(x2, y2)间的距离:
2 2 ( x - x ) +( y - y ) 2 1 2 1 |AB|= ________________________ .

(2)点 P(x0, y0)到直线 l: Ax+ By+ C= 0 的距离:
|Ax0+By0+C|

d=____________________________ . A2+B2 (3)两平行直线 l1: Ax+ By+ C1= 0 与 l2: Ax+ By+ C2=

|C1- C2| A +B 0(C1≠C2)间的距离为 d=_________________________ .
2 2

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平面解析几何

温馨提醒: 在运用两平行直线间的距离公式 d=

|C1-C2| A +B
2 2

时,

一定要注意将两方程化为 x, y 的系数分别相等的一般式才 可应用该公式.

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1.点 (0,- 1)到直线 x+2y= 3 的距离为 ( B ) 5 A. 5 C. 5 B. 5 D. 1 5

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2. (2014· 四川成都诊断性检测 )若直线(a+1)x+ 2y=0 与直 线 x- ay= 1 互相垂直,则实数 a 的值等于( C ) A.- 1 C. 1 B.0 D. 2

3.过点 A(4,a)和 B(5,b)的直线与直线 y= x+ m 平行,则 |AB|的值为( B ) A. 6 C. 2 B. 2 D.不能确定
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4.直线Ax+3y+C=0与直线2x-3y+4=0的交点在y轴上,

-4 . 则C的值为________
5.已知直线 l1 与 l2:x+y-1=0 平行,且 l1 与 l2 间的距离

x+y+1=0或x+y-3=0 是 2,则直线 l1 的方程为_________________________.

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两直线的平行与垂直
(1)“a= 2”是“直线 (a2- a)x+ y=0 和直线 2x+ y+1= 0 互相平行 ”的 ( C ) A.充要条件 C.充分不必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

(2)(2014· 河北保定调研 )与直线 x+4y-4= 0 垂直, 且与抛物 4x-y-2=0 . 线 y=2x2 相切的直线方程为_______________

[课堂笔记]
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【解析】 (1)a=2 时,两直线平行;但两直线平行时,a= 2 或者 a=-1.故“a= 2”是“直线(a2-a)x+ y= 0 和直线 2x+ y + 1= 0 互相平行 ”的充分不必要条件. (2)所求直线与直线 x+ 4y- 4= 0 垂直,故所求直线斜率为 4.由题意知:y′=4x=4,∴ x= 1, 从而 y=2,即切点为(1,2), 故所求直线方程为 y-2=4(x-1),即 4x-y-2=0.

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(1)当直线的方程中存在字母参数时, 不仅要考虑到斜率存在 的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要 注意 x、 y 的系数不能同时为零这一隐含条件. (2)在判断两直线的平行、垂直时, 也可直接利用直线方程的 系数间的关系得出结论. 设 l1: A1x+ B1y+ C1=0, l2: A2x+ B2y+ C2= 0. ① l1∥ l2? A1B2- A2B1= 0 且 B1C2- B2C1≠0. ② l1⊥ l2? A1A2+ B1B2= 0.
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1. 记直线(m+ 2)x+ 3my+1= 0 与直线(m-2)x+ (m+2)y- 3 = 0 相互垂直时 m 的取值集合为 M, 直线 x+ ny+3=0 与直 线 nx+4y+ 6=0 平行时 n 的取值集合为 N,则 M∪ N=

1? ? ?- 2, ? 2? . ? ________

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【解析】 当直线(m+ 2)x+3my+ 1= 0 与直线(m- 2)x+ (m+ 2)y-3= 0 相互垂直时,m 满足 (m+2)(m-2)+ 3m· (m+2)= 1 0,解得 m= 或 m=-2, 2 1? ? 故 M=?- 2,2 ?; ? ? 直线 x+ ny+ 3= 0 与直线 nx+ 4y+ 6= 0 平行,当 n= 0 时, 1 显然两直线不平行; 当 n≠0 时, 两直线平行的充要条件是 = n 1? n 3 ? ? ≠ ,即 n=-2,所以 N= {- 2}.故 M∪ N= - 2,2 ?. 4 6 ? ?

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两条直线的交点 求经过两直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的 交 点P,且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程. [课堂笔记]

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? ? ?x-2y+4=0 ?x=0 【解】法一:由方程组? ,得? , ?x+ y- 2= 0 ? y= 2 ? ?

即 P(0, 2). 4 4 ∵ l⊥ l3,∴ kl=- ,∴直线 l 的方程为 y- 2=- x, 3 3 即 4x+ 3y-6=0. 法二:∵直线 l 过直线 l1 和 l2 的交点,∴可设直线 l 的方程 为 x- 2y+ 4+ λ(x+ y-2)= 0, 即 (1+ λ)x+ (λ- 2)y+4-2λ= 0. ∵ l 与 l3 垂直,∴ 3(1+ λ)+(-4)(λ-2)= 0,∴ λ= 11,∴直 线 l 的方程为 12x+ 9y- 18=0, 即 4x+ 3y-6=0.
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(1)两直线交点的求法: 求两直线的交点坐标,就是解由两直线方程组成的方程组, 以方程组的解为坐标的点即为交点. (2)常见的三大直线系方程: ①与直线 Ax+ By+ C= 0 平行的直线系方程是 Ax+ By+ m = 0(m∈ R 且 m≠C). ②与直线 Ax+ By+ C=0 垂直的直线系方程是 Bx- Ay+ m = 0(m∈ R). ③过直线 l1:A1x+ B1y+ C1= 0 与 l2:A2x+ B2y+ C2= 0 的交 点的直线系方程为 A1x+ B1y+ C1+ λ(A2x+ B2y+ C2)=0(λ∈ R),但不包括 l2.
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2. 如图,设一直线过点(- 1, 1),它被两平行直线 l1:x+ 2y-1=0,l2:x+2y- 3= 0 所截的线段的中点在直线 l3: x - y- 1= 0 上,求其方程.

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【解】与 l1, l2 平行且距离相等的直线方程为 x+ 2y-2=0. 设所求直线方程为 (x+2y-2)+ λ(x- y-1)= 0, 即 (1+ λ)x+ (2- λ)y-2- λ=0. 又直线过点 (- 1, 1), ∴ (1+ λ)(- 1)+ (2- λ)× 1-2- λ=0. 1 解得 λ=- .∴所求直线方程为 2x+7y- 5= 0. 3

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距离公式
已知直线 l1:mx+8y+n=0 与 l2:2x+my-1=0 互相平行,且 l1,l2 之间的距离为 5,求直线 l1 的方程.

[课堂笔记]

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? ? ?m= 4 ?m=- 4, m 8 n 【解】∵ l1∥ l2,∴ = ≠ ,∴? 或? 2 m -1 ?n≠2. ? ?n≠- 2 ?

(1)当 m=4 时,直线 l1 的方程为 4x+ 8y+ n=0, 把 l2 的方程写成 4x+ 8y- 2= 0, |n+ 2| ∴ = 5,解得n=- 22 或 n=18. 16+ 64 故所求直线 l1 的方程为 2x+ 4y- 11= 0 或 2x+4y+9= 0. (2)当 m=- 4 时,直线 l1 的方程为 4x-8y- n= 0, |- n+ 2| l2 的方程为 4x-8y- 2= 0,∴ = 5,解得 n=- 18 16+ 64 或 n= 22. 故所求直线 l1 的方程为 2x- 4y+ 9= 0 或 2x-4y- 11= 0.
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距离的求法: (1)点到直线的距离 可直接利用点到直线的距离公式来求, 但要注意此时直线方 程必须为一般式. (2)两平行直线间的距离 ①利用 “化归 ”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上 任意一点到另一条直线的距离; ②利用两平行线间的距离公式.

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3.已知点 A(0, 2), B(2,0).若点 C 在函数 y= x2 的图象 上,则使得△ ABC 的面积为 2 的点 C 的个数为( A ) A. 4 C. 2 B.3 D. 1

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【解析】 设 C(x,y).由题意知直线 AB 为:x+ y- 2=0, |x+ y- 2| |AB|= 2 2,则点 C 到直线 AB 的距离为 d= .又因 2 2 | x + x -2| 1 2 为点 C 在 y= x 上,所以 d= .令 S△ ABC= ×2 2 2 2 |x+ x2-2| - 1- 17 - 1+ 17 × =2,解得 x= 0,- 1, , .所 2 2 2 以满足条件的点有 4 个.

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对称问题 已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2).求: (1)点A关于直线l的对称点A′的坐标; (2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m′的方程. [课堂笔记]

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【解】 (1)设 A′(x, y),由已知 y+ 2 2 × =-1, x+1 3

? ? ? x-1 y-2 ? ?2× 2 -3× 2 +1=0, 33 ?x=-13, ? 33 4 ? 解得? ∴ A′ -13,13 . ? ? 4 ?y=13.
(2)在直线 m 上取一点,如 M(2,0), 则 M(2, 0)关于直线 l 的对称点 M′必在直线 m′上. 设 M′(a, b),则
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? ? ?b-0 2 × =-1. ? ?a-2 3

a+2 b+0 2× - 3× + 1= 0, 2 2

6 30 ? ? 解得 M′ 13,13 . ? ? 设直线 m 与直线 l 的交点为 N, ? ?2x- 3y+ 1= 0, 则由? ? ?3x- 2y- 6= 0. 得 N(4, 3). 又∵m′经过点 N(4, 3),∴由两点式得直线 m′的方程为 9x - 46y+102=0.
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(1)关于中心对称问题的处理方法: ①若点 M(x1, y1)与 N(x, y)关于 P(a,b)对称,则由中点坐
? ?x=2a- x1, 标公式得? ? ?y= 2b- y1.

②直线关于点的对称问题,其主要处理方法是:在已知直线 上取两点, 利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两 点坐标,再由两点式求出直线方程,或者求出一个对称点, 再利用 l1∥ l2,由点斜式得到所求直线方程.

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(2)关于轴对称问题的处理方法: ①点关于直线的对称 若两点 P1(x1, y1)与 P2(x2, y2)关于直线 l: Ax+ By+ C= 0 对称,则线段 P1P2 的中点在 l 上,而且连接 P1P2 的直线垂 直于 l,由方程组 x1+x2? y1+ y2? ? ? A +B + C= 0, ? ?? 2 ? ? 2 ?

? y -y ? A ? ? ?-B ?=-1, ?x -x ·
2 2 1 1

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可得到点 P1 关于 l 对称的点 P2 的坐标 (x2, y2)(其中 B≠0, x1≠x2). ②直线关于直线的对称 此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决, 有两种情 况: 一是已知直线与对称轴相交; 二是已知直线与对称轴 平行.

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4.直线 x+2y-3=0 与直线 ax+4y+b=0 关于点 A(1,0)

2 对称,则 b=________ .
【解析】法一:由题知,点 A 不在直线 x+ 2y- 3= 0 上, 1 a ∴两直线平行,∴- =- ,∴a= 2. 2 4 |1- 3| |2+ b| 又点 A 到两直线距离相等,∴ = , 5 2 5

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∴ |b+2|=4,∴ b=- 6 或 b= 2. ∵点 A 不在直线 x+2y- 3= 0 上, ∴两直线不能重合,∴b=2. 法二:在直线 x+2y- 3= 0 上任取两点 P1(1,1)、P2(3,0), 则 P1、P2 关于点 A 的对称点 P1′、P2′都在直线 ax+ 4y+ b= 0 上.
? ?a-4+b=0, ∵易知 P1′(1,-1)、 P2′(- 1,0),∴? ∴ b=2. ? ?- a+ b= 0,

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数形结合思想求解距离和最值

(2013· 高考四川卷)在平面直角坐标系内, 到点 A(1, 2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距离之和最小的点的坐

(2,4) . 标是________

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[解析 ]

6-2 5-(- 1) 由已知得 kAC= = 2, kBD= =-1, 3-1 1 -7

所以 AC 的方程为 y-2=2(x-1), 即 2x- y= 0,①

BD 的方程为 y- 5=-(x- 1), 即 x+ y-6=0,②
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? ?x=2, 联立①②解得? ? ?y= 4.

所以直线 AC 与直线 BD 的交点为 P(2, 4), 此点即为所求点. |PA|+ |PB|+ |PC|+ |PD|= |AC|+ |BD|, 取异于 P 点的任一点 P′, 则 |P′A|+ |P′B|+ |P′C|+ |P′D|
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= (|P′A|+ |P′C|)+ (|P′B|+|P′D|) >|AC|+|BD|= |PA|+ |PB|+ |PC|+ |PD|. 故 P 点就是到 A、B、 C、 D 的距离之和最小的点. 故应填(2,4).

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本题充分体现了数形结合思想、转化与化归思想在解题中的 应用,即通过数形结合将问题转化为求直线AC和BD 交 点 的 坐标,这种以“以形助解”探究解题思路的思想方法在今后学

习中应引起重视.

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(2014· 浙江省名校联考)已知线段 AB 的两个端点 A(0,-3), B(3,0),且直线 y= 2λx+ λ+2 与线段 AB 总相交,则实数 λ
2 [-5,- ] 7 的取值范围为______________ .

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1 【解析】 如图所示, 因为 y=2λx+ λ+ 2 恒过一定点 C(- , 2 2),连接 AC, CB,所以直线 AC 的斜率 kAC=- 10,直线 4 BC 的斜率 kBC=- . 7 又直线 y= 2λx+ λ+ 2 与 线段 AB 总相交,所以 kAC≤2λ≤kBC,所以 λ 的取 2 值范围是- 5≤λ≤- . 7

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