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最新文档-高中数学人教版复习课件第八章第7课时-PPT精品文档_图文

第八章

平面解析几何

第7课时 抛物线

第八章

平面解析几何

1.抛物线的定义 抛物线是如何定义的?

提示:平面内与一个定点F和一条定直线l(l不 经 过点F)的
距离相等的点的轨迹叫做抛物线 温馨提醒:当直线l经过点F时,点的轨迹是过定点F 且 垂 直于定直线l的一条直线,不是抛物线.

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平面解析几何

2.抛物线的标准方程和几何性质 标准 方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0)

图形

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标准方程

y2=2px(p>0)
p F( ,0) 2
p x=- ________ 2 x轴 ________

y2=-2px(p>0)
p F(- , 0) 2

焦点坐标 准线方程 性 质 对称轴 范围

p x= ________ 2 x轴 ________

x≥0

x≤0 ________

顶点坐标
离心率

O(0,0) ________
e= 1 ________
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平面解析几何

标准方程

x2=-2py(p>0)

x2=2py(p>0)

图形

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平面解析几何

标准方程

x2=-2py(p>0)

x2=2py(p>0)

焦点坐标 准线方程

p F(0,- ) 2
p y = ________ 2 y轴 ________

p F(0, ) 2
p y=- 2 ________ y轴 ________

性 质

对称轴 范围
顶点坐标 离心率

y≤0 ________ O(0,0) ________ e= 1 ________

y≥0 ________

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平面解析几何

1.设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=- 2,则抛物线 的方程是 ( C ) A. y2=-8x C. y2=8x B.y2=- 4x D. y2= 4x

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平面解析几何

2. (2014· 山东济南市模拟考试)若抛物线 y2= 2px(p>0)的焦点 在直线 x- 2y-2= 0 上,则该抛物线的准线方程为( A ) A. x=- 2 C. x=- 8 B.x=4 D. x=2

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3. 已知倾斜角为 60° 的直线 l 通过抛物线 x2=4y 的焦点, 且 与抛物线相交于 A, B 两点,则弦 AB 的长为( D ) A. 4 C. 10 B.6 D. 16

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4.抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为2,则M到y轴的距

1 . 离为________
1? ? 5.若抛物线 x =ay 过点 A 1,4 ,则点 A 到此抛物线的焦 ? ?
2

5 点的距离为________ . 4

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平面解析几何

抛物线的定义及其应用
(1)(2014· 四川成都市诊断性检测 )在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1,2),若 P 是抛物线 y2= 2x 上一动点,则 P 到 y 轴的距离与 P 到点 A 的距离之和的最小值为 ( D ) A. 5 17+ 1 C. 2 17 B. 2 17- 1 D. 2
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(2)如果 P1,P2,…,P8 是抛物线 y2=4x 上的点,它们的横坐 标依次为 x1,x2,…, x8,F 是抛物线的焦点,若 x1+x2+…

18 +x8=10,则 |P1F|+|P2F|+…+|P8F|=________ .
[课堂笔记]

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平面解析几何

【解析】 (1) 如图所示,根据抛物线的定义有:P 到 y 轴的 1 距离 d 与 P 到点 A 的距离之和, 即 |PA|+ d= |PA|+ |PF|- , 2

因此求距离之和的最小值可转化为求 |PA|+ |PF|的最小值, 即为 FA 连线与抛物线相交时取得,

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因为 |AF|=

1 2 17 2 ( 1- ) + 2 = , 所以 P 到 y 轴的距离与 2 2

17- 1 P 到点 A 的距离之和的最小值为 . 2 p (2)由抛物线的定义,知 |PiF|= xi+ (i=1, 2, …,8), 2 所以 |P1F|+ |P2F|+ …+ |P8F|= (x1+x2+ …+x8)+4p. 又 p= 2,x1+ x2+ …+ x8=10,所以 |P1F|+ |P2F|+ …+ |P8F| = 18.
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利用抛物线的定义解决此类问题, 应灵活地运用抛物线上的 点到焦点的距离与到准线距离的等价转化.“看到准线想到 焦点,看到焦点想到准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问 题的有效途径.

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1. (1)在抛物线 C: y=2x2 上有一点 P,若它到点 A(1,3) 的距离与它到抛物线 C 的焦点的距离之和最小,则点 P 的 坐标是 ( B ) A. (- 2, 1) C. (2,1) B.(1, 2) D. (- 1, 2)

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(2)(2013· 高考江西卷)已知点 A(2, 0),抛物线 C: x2=4y 的 焦点为 F,射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M,与其准线相交 于点 N,则 |FM|∶ |MN|= ( C ) A. 2∶ 5 C. 1∶ 5 B.1∶2 D. 1 ∶ 3

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平面解析几何

【解析】 (1)由题知点 A 在抛物线内部,根据抛物线定义, 问题等价于求抛物线上一点 P, 使得该点到点 A 与到抛物线 的准线的距离之和最小,显然点 P 是直线 x=1 与抛物线的 交点.故所求 P 点的坐标是(1,2).

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(2)如图所示, 由抛物线定义知 |MF|= |MH|, 所以 |MF|∶ |MN| |MH| |OF| 1 = |MH|∶ |MN|.由于△MHN∽△ FOA,则 = = , |HN| |OA| 2 则 |MH|∶ |MN|= 1∶ 5, 即 |MF|∶ |MN|= 1∶ 5.

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抛物线的标准方程及性质
(1)(2013· 高考江西卷)抛物线 x2= 2py(p>0)的焦点为 F, x 2 y2 其准线与双曲线 - = 1 相交于 A, B 两点,若△ ABF 为等 3 3

6 边三角形,则 p=________ .

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(2)(2013· 高考课标全国卷Ⅱ)设抛物线 C: y2=2px(p>0)的焦 点为 F, 点 M 在 C 上, |MF|= 5.若以 MF 为直径的圆过点(0, 2),则 C 的方程为 ( C ) A. y2= 4x 或 y2= 8x B. y2=2x 或 y2=8x C. y2= 4x 或 y2= 16x D. y2= 2x 或 y2= 16x

[课堂笔记]
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【解析】 (1)

3 如图,在正三角形 ABF 中, DF=p, BD= p,∴ B 点坐 3 1 2 p2 p 3 4 3 p? ? 标为 p,- .又点 B 在双曲线上,故 3 - 3 = 1, ?3 2? 解得 p=6.
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(2)设 M(x0, y0), A(0, 2), MF 的中点为 N. p x0+ 2 y0 p 2 由 y =2px, F( , 0),∴ N 点的坐标为( , ). 2 2 2 p p 由 抛 物 线 的 定 义 知 , x0 + = 5 , ∴ x0 = 5 - . ∴ y0 = 2 2 p 2p( 5- ). 2 p x0+ 2 2 y0 |MF| 5 25 25 2 2 ∵ |AN|= = ,∴ |AN| = .∴ ( ) + ( - 2) = . 2 2 4 2 2 4

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p p ( 5- + ) 2 ? 2 2 即 +? 4 ?

?

p ?2 25 2p( 5- ) ?= . 2 4 -2 ? 2 ?



p 2p( 5- ) 2 - 2= 0. 2

整理得 p2-10p+16= 0. 解得 p= 2 或 p= 8.∴抛物线方程为 y2= 4x 或 y2= 16x.

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平面解析几何

(1)求抛物线的标准方程的方法: ①求抛物线的标准方程常用待定系数法, 因为未知数只有 p, 所以只需一个条件确定 p 值即可. ②因为抛物线方程有四种标准形式,因此求抛物线方程时, 需先定位,再定量. (2)确定及应用抛物线性质的技巧: ①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时,关键 是将抛物线方程化成标准方程. ②要结合图形分析,灵活运用平面几何的性质以图助解.

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平面解析几何

2.抛物线的顶点在原点,对称轴为 y 轴,它与圆 x2+y2= 9 相交,公共弦 MN 的长为 2 5,求该抛物线的方程,并写出 它的焦点坐标与准线方程.
【解】由题意,设抛物线方程为 x2=2ay(a≠0). 设公共弦 MN 交 y 轴于 A,则 |MA|= |AN|,且 AN= 5. ∵ |ON|= 3,∴|OA|= 32-( 5)2= 2,∴ N( 5, ± 2).

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平面解析几何

5 ∵ N 点在抛物线上,∴5=2a· (± 2),即 2a= ± , 2 5 5 2 故抛物线的方程为 x = y 或 x =- y. 2 2
2

5? 5 5 ? 抛物线 x = y 的焦点坐标为 0,8 ,准线方程为 y=- . 2 ? ? 8
2

5? 5 5 ? 抛物线 x =- y 的焦点坐标为 0,-8 ,准线方程为 y= . 2 ? ? 8
2

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平面解析几何

直线与抛物线的位置关系
(2013· 高考浙江卷) 已知抛物线 C 的顶点为 O(0,0),焦点为 F(0,1). (1)求抛物线 C 的方程; (2)过点 F 作直线交抛物线 C 于 A, B 两点,若直线 AO, BO 分别交直线 l: y= x- 2 于 M, N 两点, 求 |MN|的最小值 .

[课堂笔记]

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平面解析几何

p 【解】 (1)由题意可设抛物线 C 的方程为 x =2py(p>0), 则 = 2 1,所以抛物线 C 的方程为 x2= 4y. (2)设 A(x1, y1),B(x2, y2),直线 AB 的方程为 y= kx+1. ? ?y= kx+1, 由? 2 消去 y,整理得 x2- 4kx- 4= 0, ? ?x =4y, 所以 x1+ x2= 4k, x1x2=-4.
2

从而 |x1-x2|=4 k2+1. y1 ? ?y= x x, 1 由?

? ?y= x- 2,

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平面解析几何

2x1 2x1 8 解得点 M 的横坐标 xM= = = . 2 x 1 4-x1 x1- y1 x1- 4 8 同理,点 N 的横坐标 xN= . 4 -x 2 8 8 所以 |MN|= 2|xM- xN|= 2| - | 4-x1 4-x2 x 1 -x 2 8 2 k2+1 = 8 2| |= . x1x2-4(x1+ x2)+ 16 |4k-3| t+ 3 令 4k- 3= t, t≠0,则 k= . 4

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平面解析几何

当 t>0 时,|MN|=2 2 当 t<0 时,|MN|=2 2

25 6 2 + + 1>2 2. t t 5 3 2 16 8 ( + ) + ≥ 2. 25 5 t 5

25 4 8 综上所述,当 t=- ,即 k=- 时,|MN|的最小值是 2. 3 3 5

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平面解析几何

(1)求抛物线方程,一般是先设出抛物线方程 (注意抛物线的 开口方向,焦点的位置),用待定系数法求解. (2)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、 双曲线 的位置关系的方法类似,一般是联立两曲线方程,但涉及抛 物线的弦长、 中点、 距离等问题时,要注意“设而不求 ”、“整 体代入”、“点差法 ”以及定义的灵活应用.

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平面解析几何

3.已知抛物线 C: y2= 2px(p>0)过点 A(1,-2). (1)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程; (2)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l,使得直线 l 5 与抛物线 C 有公共点, 且直线 OA 与 l 的距离等于 ?若存 5 在,求直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

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平面解析几何

【解】 (1)将 (1,- 2)代入 y2= 2px, 得 (- 2)2=2p×1, 所以 p=2. 故所求的抛物线 C 的方程为 y2= 4x,其准线方程为 x=- 1. (2)假设存在符合题意的直线 l,其方程为 y=-2x+ t,
? ?y=- 2x+ t, 由? 2 得 y2+2y-2t=0. ? ?y = 4x,

因为直线 l 与抛物线 C 有公共点,

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平面解析几何

1 所以 Δ= 4+ 8t≥0,解得 t≥- . 2 5 另一方面,由直线 OA 与 l 的距离 d= , 5 |- t| 5 可得 = , 5 5 解得 t=± 1. 1 1 ? ? ? 因为-1? -2,+∞ , 1∈ -2,+∞ ?, ? ? ? ? 所以符合题意的直线 l 存在,其方程为 2x+ y- 1= 0.

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抛物线方程的应用
(2012· 高考陕西卷) 如图是抛物 线形拱桥 ,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 m, 水面宽 4 m.水位下降 1 m 后,水面宽

2 6 ________m.

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平面解析几何

[解析 ] 建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为 x2=-2py(p>0),则 A(2,- 2),将其坐标代入 x2=- 2py 得 p=1.

∴ x2=- 2y. 当水面下降 1 m,得 D(x0,-3)(x0>0),将其坐标代入 x2= - 2y 得 x2 0= 6, ∴ x0= 6.∴水面宽 |CD|= 2 6 m.
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本考题就是教材人教A版选修2-1 P74习题A组T8原题.

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某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔, 已知上部呈抛物线 形,跨度为 20 米,拱顶距水面 6 米,桥墩高出水面 4 米, 现有一货船欲过此孔,该货船水下宽度不超过 18 米,目前 吃水线上部分中央船体高 5 米,宽 16 米,且该货船在现在 状况下还可多装 1 000 吨货物,但每多装 150 吨货物,船体 吃水线就要上升 0.04 米,若不考虑水下深度,问:该货船 在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔,为什么?

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平面解析几何

【解】 建立如图所示的直角坐标系, 设抛物线方程为 y=ax2, 由题意知点 A(10,-2)在抛物线上,代入方程求解,得 a= 1 1 2 - ,方程即为 y=- x . 50 50

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1 2 让船沿正中央航行,船宽 16 米,而当 x=8 时, y=- · 8 50 = - 1.28 , 此 时 抛 物 线 上 的 点 B 距 离 水 面 - 1.28 + 6 = 4.72(米 ),又船体水面以上高度为 5 米,所以无法通过;又 5 - 4.72=0.28(米),0.28÷ 0.04=7,150×7=1 050 吨,故至少 应再装 1 050 吨货物才能通过,而现在只能多装 1 000 吨, 故无法通过,只能等到水位下降.

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