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2012中国数学奥林匹克试题(cmo)


2012
(

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7 8:00-12:30

2012

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D, E AD

1.

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A

,

????ABC
A, B

, ∠A

P.

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AC : AP

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?, ? ? O ; ? A, E
1

??ABC ACB ?? O , O
2 1

O2

?

∠BAC.

2.

ù? p. ? è ?
1. .

A = (aij )

?” A
3.

?

?è p ×p ?, ?{a | 1 i, j p} = {1, 2, · · · , p }. : ü è?ùè?, ??ù?? ? ? 1ù ? A ? ?0, ? A?è “ ?” . “
ij 2

?a , a , · · · : (1) ? (2) ¨ ¨
1 2

?

:

?

M > 2, i,

? ? ? ? ? ?
m

á 

?
n = b1 a1 +

ai > M i ; b1 , b2 , · · · , bm ∈ {?1, 1},

n = 0,

b2 a2 + · · · + bm am . 1

2012

1

? ?
8 8:00-12:30

?
),n
1 i<j n

4.

f (x) = (x + a)(x + b) (a, b

x2 + · · · + xn = 1

ê?

? ù

x1, x2 , · · · , xn .

F =

2

? ù

.

?x
2

1

+

min{f (xi ), f (xj )}

.

5. : n (

n

√ ? à , k? , p?? , ?p < 2 n, p ? n, p | n + k . ? ? ?n = ab + bc + ca, a, b, c?? . : è ? ?1 à , ? ? ? à . )

6.

 ? ?S ? ?

?

?

k: a, b, c,



S = {1, 2, · · · , 2012} a + b, b + c, c + a

?A

?è k?
.

A,

2


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