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复习专题与抛物线相关的直线过定点问题

复习专题

与抛物线相关的直线过定点问题
广水市益众高级中学 高教扬

教学目的: 1.理解复习抛物线的几何性质,并能从抛物线的标准方程出发,推导相关的 性质。 2.培养学生分析、归纳推理等能力。 教学重难点: 1.抛物线中直线过定点(焦点, “类焦点” )问题 2.抛物线切线问题 教学方法:讲练结合 教学过程: 圆锥曲线中直线过定点问题是近几年高考的热点、难点。这些定点往往在坐 标轴上,如焦点等。本节课我们选择抛物线作为研究对象,通过举例探讨这类问 题的证明与判断方法。 另外, 熟悉一些与定点相关的抛物线的极其丰富的优类性 质。 例 1(教材 P133 第 7 题) 过抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点的一条直线和此抛物线相交, 两个交点的纵坐标为

y1 , y2 ,求证 y1 y2 ? ?P 2 .

y

A

O
B

F

x

变式 1 已知抛物线 y 2 ? 2Px 上两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 满足 y1 ? y2 ? ?P 2 ,判 断直线 AB 是否过定点,若过定点,求出这个定点。
y A

O
B

x

练习 1 若抛物线 y 2 ? 2 px 上两点 A、B 满足 OA ? OB 试判断直线 AB 是否过定点.
y A

O
B

x

例 2(教材 P137 第 6 题) 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点 P、Q,经过点 P 和抛物线顶点的直 线交准线于点 M,求证直线 MQ 平行于抛物线的对称轴.
y

P

O
M

F

x

Q

变式 2 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点 P、Q,经过点 P 作 PM 垂直 于准线于点 M,求证:M,O,Q 三点共线.(2001 年高考)

练习 2(2010 高考全国卷Ⅰ第 21 题) 已知抛物线 C : y 2 ? 4 x 的焦点为 F,过点 K (?1,0) 的直线 l 与 C 交于 A,B 两 点,点 A 关于 x 轴的对称点为 D. 证明:点 F 在直线 BD 上
A K
y

B

O

D

F

x

例 3 已知抛物线 x 2 ? 4 y ,过直线 l : y ? ?1上一点 P 作抛物线两切线,切点 分别为 A、B,求证直线 AB 过定点.
y B A

x
O
P

y ? ?1

练习 3 (2006 全国)已知抛物线 x 2 ? 4 y 的焦点为 F,A,B 是抛物线上两 动点,且 AF ? ? FB ( ? ? 0 ) ,过 A,B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为 M. 证明 FM ? AB 为定值.

本节小结: 1.直线过定点问题的推导 2.分析、推理、归纳、计算能力的培养