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11等差、等比数列及其综合应用


等差、等比数列及其综合应用 第一部分 知识梳理 一、等差数列的概念和性质 1、定义:如果一个数列从第二项起, 每一项减去它的前一项所得的差等于同 一个常数,那么这个数列就叫做等差数 列,这个常数叫做等差数列的公差,公 差通常用字母 d 表示. 2、通项公式: 等差数列的通项公式为: an ? a1 ? (n ?1)d an ? am ? (n ? m)d , d ? 3、基本性质: 在等差数列 ?an ? 中,设其公差为 d an ? am (1) ,其中, an ? am ? (n ? m)d , d ? n?m ? m, n ? N 且 m ? n ; (2)若 m ? n ? p ? q ,则一定有 am ? an ? ap ? aq (m, n, p, q ? N ? ), 特别地,当 p ? q 时, am ? an ? 2ap ; d ? 0 ? a a ,? a kn k ? m , ak ? 2 m ,? ?an ?的子数列 ak , ak ?m , ak ?2m , (3) 也成 等差数列( k , m ? N ? ),且公差为 md ; (4)?kan ?,? Aan ? B? 也成等差数列,且公 差分别为 kd , Ad ; (5)当d ? 0 时, ?an ? 单调递增; 当 d ? 0 时, ?an ? 为常数列; 当 d ? 0 时, ?an ? 单调递减. 4、等差数列的前 n 项和:等差数列的前 项和公式为 Sn ? na1 ? n(n ? 1) d ? n(a1 ? an ) . 2 2 5、等差数列的前 n 项和的性质:设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和: ? Sn ? (1)数列? n ?是等差数列; ? ? (2)数列 Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m , 是等差数列. 二、等比数列的概念和性质 1、定义: 如果一个数列从第二项起,每一项与 它的前一项的比都等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等比数列,这个 常数叫做等比数列的公比,公比通常 用字母 q 表示. 2、通项公式: 等比数列的通项公式为 an ? a1 ? q n?1 3、基本性质: 在等比数列中,设其公比为 q . (1)bn ? bmqn?m , q ? bn n?m bm 其中 m, n ? N ?,且 m ? n ; (2)若 m ? n ? p ? q(m, n, p, q ? N ? ) ,则一定有: aman ? a p aq , 特别地,当 p ? q 时, aman ? a p 2 ; ?bn ?的子数列 (3) bk , bk ?m , bk ?2m , (k , m ? N ? ) 也成等比数列,且公比为 q m ; (4)?bnk ? , ? Abn ? (k ? N ? , A ? 0) 也成等比数列,且 公比分别为 qk ,q ; (5)当 q ?1 q ?1 q ?1 时,数列 ? an ? 单调递增; 当 当 时,?an ? 是常数列或摆动数列; 时,数列 ? an ? 单调递减. 4、等比数列的前 n 项和公式: ? na1 , q ? 1 ? n sn ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? an q ? , q ? 1 ? 1? q 1? q ? 三、由递推数列求通项公式的方法 1、递推数列的概念: 由递推公式确定的数列叫做递推数 列.由相邻两项的关系给出的递推公式 称为一阶递推

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