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高考数学易错点剖析13

2014 高考数学易错点剖析
【易错点 13】利用函数知识求解数列的最大项及前 n 项和最大值时易忽略其定义域限制是正 整数集或其子集(从 1 开始) 例 13、等差数列 ?an ? 的首项 a1 ? 0 ,前 n 项和 sn ,当 l ? m 时, sm ? sl 。问 n 为何值时 sn 最 大? 【易错点分析】等差数列的前 n 项和是关于 n 的二次函数,可将问题转化为求解关于 n 的二 次函数的最大值,但易忘记此二次函数的定义域为正整数集这个限制条件。 解析:由题意知 sn = f ? n ? ? na1 ?

n ? n ? 1? 2

d?

d 2 ? d? n ? ? a1 ? ? n 此函数是以 n 为变量的二 2 2? ?

次函数, 因为 a1 ? 0 , 当 l ? m 时, 故由 f ? l ? ? f ? m ? sm ? sl 故 d ? 0 即此二次函数开口向下, 得当 x ? 最大。 当 l ? m 为奇数时,当 n ?

l?m l?m 时 f ? x ? 取得最大值, 但由于 n ? N ? , 故若 l ? m 为偶数, 当n ? 时,sn 2 2 l ? m ?1 时 sn 最大。 2

【知识点归类点拔】 数列的通项公式及前 n 项和公式都可视为定义域为正整数集或其子集 (从 1 开始)上的函数,因此在解题过程中要树立函数思想及观点应用函数知识解决问题。特别的 等差数列的前 n 项和公式是关于 n 的二次函数且没有常数项,反之满足形如 sn ? an 2 ? bn 所 对应的数列也必然是等差数列的前 n 项和。此时由

sn ? s ? an ? b 知数列中的点 ? n, n n ? n

? ? 是同一 ?

直线上,这也是一个很重要的结论。此外形如前 n 项和 sn ? ca n ? c 所对应的数列必为一等比 数列的前 n 项和。 【练 13】设 ?an ? 是等差数列, sn 是前 n 项和,且 s5 ? s6 , s6 ? s7 ? s8 ,则下列结论错误的 是()A、 d ? 0 B、 a7 ? 0 C、 s9 ? s5 D、 s6 和 s7 均为 sn 的最大值。 答案:C(提示利用二次函数的知识得等差数列前 n 项和关于 n 的二次函数的对称轴再结合单 调性解答)


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