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向量组的秩-例题选讲-文档资料_图文

复习线性相关性的判定理论 ? 单个向量组成的向量组? : (1)若? = 0, 则线性相关; (2)若? ? 0, 则线性无关. ? 两个向量组成的向量组?, ? : (1)若对应分量成比例,则线性相关; (2)若对应分量不成比例,则线性无关.
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? 设有n维向量组成的向量组:?1,?2,…,?m (m?2) (1)包含0向量?线性相关. (2)包含成比例的向量?线性相关. (3)线性相关?存在一个向量可由其余的 向量线性表示. (4)线性无关?任何向量都不能由其余的 向量线性表示. (5) 增加(减少)个数不改变相(无)关性. (6) 增加(减少)维数不改变无(相)关性.
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(7) 向量组?1,?2,…,?m线性相关性 ?x1?1+x2?2+…+xm?m=0有非零解 ?齐次线性方程组AX=0有非零解 其中A=(?1 ?2 … ?m), X=(x1,x2,…,xm)T (8)设有n个n维向量?1,?2,…,?n: ??1,?2,…,?n线性相关?|?1 ?2 … ?n|=0; ??1,?2,…,?n线性无关?|?1 ?2 … ?n|?0. (9) Rn中?n+1个向量一定线性相关. (10)矩阵判别法.
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4.3 向量组的秩
本节 主要内容

1. 极大线性无关组与秩;
2. 向量组的等价; 3.向量组的秩与矩阵的秩的关系.

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4.3.1

向量组的极大无关组与秩

定义1 设S是n维向量构成的向量组,在S中 , ? , ? , ? 选取r个向量 ? ,如果满足 1 2 r ,? (1) ? 1,? 2, r线性无关 (2)任取 ?? S,总有 ??? , 1 , 线性相关 , ,? 2 r . , ? , ? , ? 则称向量组 ? 为向量组 S的一个 1 2 r 极大线性无关组(简称极大无关组). 数 r 称为该向量组的秩,记为 r(?1, ?2, … , ?s)= r 或秩(?1, ?2, … , ?s)= r
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例1 设有向量组 ?1 = (1, 1, 1)T, ?2 =(2,1, 0)T, ?3 =(3,2,1)T, 求向量组的秩和极大无关组.
解 因 ?1 , ?2 线性无关 ,且 ?3 = ?1+ ?2 所以?1 , ?2为极大无关组,



秩( ?1, ?2 , ?3 ) =2.
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可知?1 , ?3和?2 , ?3也都是极大无关组.

线性表示唯一性定理
定理4.2 设n维向量?1,?2,…,?m线性无关, 而?1,?2,…,?m , ? 线性相关, 则? 可由 ?1,?2,…,?m 线性表示, 且表法唯一. 证 由?1,?2,…,?m, ? 线性相关

?存在不全为零的数k1,k2,…,km,l使得

k ?? ? k ? ? k ?? ?? l 0 1 1 2 2 m m

下面证明只有l?0, 反证法.
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如果 l =0, 则有k1, k2,…,km不全为零,使

k ? ? k ? ?? k ? ? 0 11 22 m m

于是?1, ?2, … , ?m 线性相关,与已知矛盾. 从而 l ? 0. 故有 k k k m 1 2 ? ? ?? ? ? ? ? ? 1 2 m l l l 即 ? 可由?1, ?2, … , ?m线性表示. 下面来证明表示的唯一性.
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假若? 有两种表示法,设 ? ? k ? ? k ? ?? k ? 11 22 m m 两式相减,得

? ? l ? ? l ? ?? l ? 11 22 m m

( k ? l ) ? ( k ?? l ) ( k ? l ) ? 0 1 1 1 22 2 ? m m m 由?1,?2,…,?m 线性无关,得
k l i? 1 , 2 , , m ) i? i(
故 ? 可由?1,?2,…,?m 唯一线性表示.
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? ?

?

4.3.2 向量组的等价
定义2 设有两个 n 维向量组 ( I )?? , 2, ,? ; ( I I )?? , 2 , ,? 1 r 1 s ?若(I)中每个向量都可由(II)线性表示, 则称 向量组(I)可由向量组(II)线性表示. ?若向量组(I)和(II)可以互相线性表示, 则称向量组(I)与(II)等价. 等价的性质 自反性、对称性、传递性
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? ,? , ? ,? . n维向量组 (I) ? , ? , ? , ? ; (II) 1 2 s 1 2 r 定义 向量组(II)可由向量组(I)线性表示
存在数k ,使得 ( i ? 1 ,, 2 ,; r j ? 1 ,, 2 ,) s i j ?1 ? k1 1 ?1 ? k2 1 ?2 ??? kr1?r ?2 ? k1 2 ?1 ? k2 2 ?2 ??? kr 2?r

?s ? k1s?1 ? k2s?2 ??? krs?r ? k11 k12 ? k21 k22 即 (? ?s) ? (?1 ?2 ?r )? 1? 2 ? ?k k ? r1 r2
存在r×s矩阵K,使得 Bn×s =An×r K

? ? ? ? ? ?

k1s ? k2s ? ? ? krs ? ?
r? s

向量组极大无关组的几个问题: ?极大无关组与原向量组的关系? ?极大无关组之间的关系? 这都要用到两个向量组之间的关系. 性质1 向量组与它的极大无关组等价. 不妨设(II) ? 1,? 2,
极大无关组.
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证 设(I) ? , ? , , ? , ? , , ? 的秩为r, 1 2 r r ? 1 m

,? r 是(I)的一个

(1) ??i ( i = 1,2,…,r)? (II), 由
i
1

即(II) 可由(I) 线性表示. 由定义1知, ?1, ?2 ,?, ?m中任意r+1个 (2) 向量都线性相关. ? ?j ?(I) 如果j=1,…,r, ?j 显然可由?1, ?2 ,?, ?r 线性表示;如果 j=r+1,…,m, 向量组?1, ?2 ,?, ?r , ?j 一定 线性相关,所以 ?j ( j=r+1,…,m)可以由

? ? 0 ? ? ? 1 ? ? ? 0 ? ?? 0 ?? 0 ?
i
r r ? 1 m

?1, ?2 ,?, ?r 线性表示
故 (I)与(II) 等价.

(I)可由(II)线性表示.
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性质2 向量组的任意两个极大无关组等价.

证 设 (I), (II)是向量组S 的两个极大
无关组,由性质1知,(I)与S等价, (II)与S等价 ,由传递性(I)与(II)等价. 定理4.3 设有n 维向量组: I I ) ?? , 2 , ,? ( I )?? , 2, ,? 1 s 1 r; ( 若(I)线性无关,且(I)可由(II) 线性表示,则 r ≤ s .
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证 因为向量组(I)可由(II) 线性表示, 故有 ? ?k ? k ? k ? ? 1 1 1? 2 1 2? ? s 1 s 1 ? ? ? k k k ? r? 1 r? 1? 2 r? 2? ? s r? s ? k1r ? ? k11 k12 ? k 21 k 22 ? k 2r (, , , )(, ? , , ) 12 r 12 s ? ? (II) (I) ?k k ? k sr ? ? s1 s 2

? ?? ? ??

r(BK ) ? r ( K ) ? s r?r ( ?? ,2 , , ? )? 1 r ? ,? , ,? 1 2 r 线性无关, 由矩阵判别法知 故 r ? s.
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推论1 如果向量组(I)可由(II)线性表示, 且r >s, 则(I) 线性相关.

推论2 若(I)、(II)都线性无关,且(I)与(II) 等价,则 r = s .
等价的无关向量组必然等秩 向量组的?两个极大无关组所含向量个数相等

推论3 若(I)可由(II)线性表示,则 秩(I)≤秩(II) .
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证 设r(I)=r , r(II)=s , (I?),(II?)分别是(I), (II) 的极大无关组,显然(I?), (II?)含向量的 个数分别是r 与 s . 因为(I?)可由(I) 线性表示, (I)可由(II) 线性表示,而(II)可由(II?)线性表示,所以 (I?)可由(II?)线性表示.由定理4.3有r ? s.
等价的向量组等秩
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例2 设

? ? ? ? ? , ? ? ? ? ? , ? ? ? ? ? .
1 1 22 2 33 3 1

若向量组?1, ?2, ?3线性无关,证明 向量组?1, ?2, ?3也线性无关. 证1
1 ?1, ?2, ?3的表达式: ? ? 1? ( 1 ?? 2 ?? 3) 2 1 1 ? ? ? ? ? ? ? 3? ( 1? 2? 3) 2? ( 1 ?? 2? 3), ? 2 2

由已知可以解得用?1, ?2,?3 来表示

故两向量组等价,等秩, r(?1 ?2 ?3)=3 ?r(?1 ?2 ?3 ) =3 ??1, ?2, ?3 线性无关.
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?1 0 1? ? ? 证2 (? ? ? ) = ( ?? ? ) 1 1 0 1 2 3 1 2 3 ?0 1 1? ? ? 1 0 1 1 1 0 ?2?0 ? 1 0 1 1 1 01 ? ? ? ? ? ( ??? ) ? ( ?? ? ) 11 0 1 2 3 1 2 3 ? ? 011 ? ? 故两向量组等价,等秩,

? r ( ) ? r ( )3 ? . 123 123 则 ?1, ?2, ?3 线性无关.

? ? ? ? ? ?

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4.3.3 向量组的秩与矩阵的秩的关系
,? ,? ,? 定理4.4 r(An×m)=A的列向量组 ? 的秩. 1 2 m ,? ,? ,? 的秩为 分析 记r(A)=r,往证 ? 1 2 m r, 即 ,? ,? ,? 只要证 ? 的极大无关组含 r个向量. 1 2 m 证 r(A)= r A存在r阶子式 Dr ≠0
1 2 r

,? 记 Dr 对应的r 列为 ? i ,? i , i, 是r 维线性无关向量的接长,仍线性无关. ? , ? , ? , ? ?? j ? A, 下证 ? j, i i i 1 2 r 是线性相关的,
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因为 ① j 在 i1 , i2 , …,ir 中; ? ? ? ? , ? j, i, i, i线性相关. ② j 不在 i1 , i2 , …,ir 中, r+1列对应的子矩阵记为A1 , 而 r(A1)≤ r(A)= r <r +1 , ? ? ? , ? , ? 所以 j, i, i线性相关 i ? ? ? i, i, , i 是一个极大无关组. r ( ? , ? , , ? ) ? r ? r () A 故 1 2 m T ) ?r A) 由 r(A ,( 又有 的行秩 rA (A )? .
1 2 r 1 2 r

1

2

r

r(A)= A的行秩= A的列秩

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例3 设AB=0. ?若A的列向量组线性无关,则B = 0. ?若B的行向量组线性无关,则A = 0. ?若B?0, 则A的列向量组线性相关. ?若A?0, 则B的行向量组线性相关. 分析 设B=(B1,B2,…,Bm), AB=0?ABi=0. A的列向量组线性无关?AX=0只有零解 ?Bi=0, i=1,…,m?B=0. 其余情况可以类似得到.
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? 极大无关组和秩的求法 初等变换法 n维列向量组S: ? ,? , ,? 1 2 m 行 ( 将 A= ( ? , ? , ? , ? ) ? ,? , ? ,? ) =B 1 2 m 1 2 m ,? ,与 ,? ,? , ,? 则向量组 ? 1 2 m 1 2 m ?
①秩等; ②极大无关组的位置对应相同; ③表示系数对应相同
k j ?, j 当? i ? ? 时
j ?1 j?i m

?i ?

?

m

j ?1 j?i

k j?

j

行初等变换不改变A的秩,不改变 列向量组之间的线性关系.

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例4 求矩阵A列向量组的一个极大无关 组和秩, 并把其余列向量用所求出 的极大无关组线性表示.
? 1? 210 ? ? ?1 4 14 ?? A ? ???? ? 1 2 3 4? ? ? 1 3 02 ? ?

解 通过初等行变换把A化为行最简形
? 1? 210 ? 1? 210 ? ? ? ? ?1 4 1 4 ?? ?0 2 2 4 ? A ? ? ? ? ? 1 3 0 2 0 1 1 2 ? ? ? ?
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? 1? 210 ? 1? 210 ? ? ? ? ?0 2 2 4 ?? ?0 1 1 2 ? ? ? ? ? ? 0 1 1 2 0 0 0 0 ? ? ? ?

? 1034 10 ? 3? 4 ? ? ? ? ?0 112 ?? ? ?? ? 01 1 2 B ? ? ? ? 0 000 00 0 0 ? ? ? ?

? 1 , ? 2 为一个极大无关组 ?3 ? ?2 ?3?1 ?4 ? 2?2 ? 4?1
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? r ? ? ? ? 2 ? ?? 1 2 3 4

例5 设有向量组
2 1 1 0 1 0 1 ? 1 = ,? 2= , ? 3= , ? 4= 0 1 1 0 1 0 0 0 1 求向量组的(1)秩;(2)极大无关组;(3)表示系数. 1 1 2 0 解法1 设 A= ( ? , ? , ? , ? ) = 0 1 1 0 1 2 3 4 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 由 D= 0 1 1 =1≠0 而 |A|=0 知秩=3, 0 0 1 ?2,?3,?4是该向量组的一个极大无关组.
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解法2 1 1 2 0 0 1 1 0 设 A=( ? , ? , ? , ? ) = 1 2 3 4
1 0 0 0 1 1 0 0 2 1 0 0

1 0 0 0 行 A行 0 1 0 0 ? , ? , ? , ? ) (1) 秩 ( = 3 ;4 1 2 3 (2) ? 1,? 2,? 4 是该向量组的一个极大无关组, ,?4 ). (? 也是 2,? 3 1,? 3,? 4和 ? (3) ? ? ? ? ? 0 ? 3? 1 2 4
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1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 ? ,? ,? ,? ) =B 1 2 3 4 0 0 1 =( 0 0 0

总结:向量组的有关结论
一、理解A=BC 二、 S的极大无关组 (1)定义 ?? (2)? S, 则 ? 可被极大无关组线表,且表法唯一 (3) S与极大无关组; 极大无关组~极大无关组 (4) S的各极大无关组含向量个数相等 --秩 三、重要结论 Th4.2 Th4.4 (I)无关 Th4.3 组(I)可被(II)线表示 r≤s 推2 组(I)与(II)等价 (I),(II)无关 r = s

推3 组(I)可被(II)线表 秩(I)≤秩(II) 组(I)与(II)等价 秩(I) = 秩(II) 四、秩、极大无关组、表示系数的求法

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例题选讲
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例1 判断下列命题是否正确? (1) 若向量组线性相关, 则其中每一向量都 是其余向量的线性组合. 解 不正确. 如e1,e2,2e2线性相关, e1不能用

e2, 2e2线性表示. (ei是第i个单位向量) (2) 若一个向量组线性无关, 则其中每一向 量都不是其余向量的线性组合.
解 正确. 用反证法:若存在一向量是其余

向量的线性组合, 则线性相关.

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(3) 若?1,?2线性相关, ?1, ?2线性相关, 则 ?1+?1, ?2+?2也线性相关. 解 不正确.如(1,0), (2,0)线性相关, (0,1),(0,3) 线性相关, 但(1,1), (2,3) 线性无关;

(4) 若?1,?2,?3线性相关, 则?1+?2, ?2+?3, ?3+?1也线性相关. 解 正确. 不妨设?1可由?2,?3线性表示, 则

?1+?2,?2+?3,?3+?1可由?2,?3线性表示.
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(5) ?1, ?2,…, ?m线性无关? ?1, ?2,…, ?m
中任何两个都线性无关. 解 不正确.只是必要条件,非充分.
1 0 1 ? ? ? ? ? ? , ? ? , ? ? 反例 ? 1? 2 3 ? ? ? ? ? ? 0 1 1 ? ? ? ? ? ?

中任何两个都线性无关, 但 ? ? ? 3? 1? 2, 所以 ?1 ,?2 ,?3 线性相关.
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例2 设向量组?, ?, ? 线性无关, ?, ?, ? 线性 相关, 以下命题正确的是( ). (A) ? 可以由?, ?, ? 线性表示; (B) ? 不可由?, ?, ? 线性表示. (C) ? 可以由?, ?, ? 线性表示; (D) ? 不可由?, ?, ? 线性表示.

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例3 设向量组 ?1, ?2,…,?m 与?1, ?2,…, ?m, ? 的秩相等,证明两向量组等价. ,II): ?1, ?2,…, ?m, ? 证 (I): ?1, ?2,…,?m( R(I)= R(II)=r 显然(I)能由(II)线性表示,只须证? 能 由(I)线性表示即可. 不妨设?1, ?2,…,?r是(I)的极大无关组, 由(I)与(II)等秩知, ?1, ?2,…,?r 也是(II)的 极大无关组,所以 ? 能由 ?1, ?2,…,?r 线性表示,即? 也能由(I)线性表示. 所以(I)与(II)等价.
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例4 设向量组?1, ?2,…,?m 与?1,?2,…,?s 的秩 相等,且?1, ?2,…,?m可由?1,?2,…,?s线性 表示,证明两向量组等价.
证: 设(I): ?1, ?2,…,?m(,II): ?1,?2,…,?s R(I)=R(II)=r (I?):?1, ?2,…,?r为(I)的极大无关组; (II?):?1,?2,…,?r为(II)的极大无关组. 因为(I)能由(II)线性表示,所以(I?) 能 由(II?)线性表示,
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k k ? 1 1 k 1 2 1 r? ? ? k k k 2 1 2 2 2 r ?? ? ( ? ? 即( 1 2 r)? 1? 2 r) ? ? ? ? k k k r r? k 1 r ? ? r1 r2 ? k 11 k 12 ? k 21 k 22 k2r ? K ?? ? 可得 K 可逆. ?k k ? k rr ? ? r1 r 2

所以 ( ? ? )( ? ? ?? ) K 1 2 ? r 1 2 r 即(II?)能由(I?)线性表示, 故(I?)与(II?)等价 (I)与(II)等价.
? 1

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