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高中数学2-3-1平均数及其估计课件苏教版必修_图文

2.3 总体特征数的估计 2.3.1 平均数及其估计
【课标要求】

1.正确理解样本数据平均数的意义和作用,学会计算数据
的平均数; 2.能根据实际问题的需要合理地选取样本,从样本数据中

提取基本的数字特征(如平均数),并做出合理的解释;
3.会用样本的平均数估计总体的平均数; 4.形成对数据处理过程进行初步评价的意识. 【核心扫描】 1.用样本平均数估计总体的平均数.(重点) 2.应用相关知识解决简单的实际问题.(难点)

x1+x2+…+xn n 1.n 个数据 x1,x2,…,xn 的平均数记作 x = =

自学导引

1n xi2 . .若取值为 x1,x2,…,xn 的频数分别为 p1,p2,…,pn, ni? =1

则其平均数为 x =

p1x1+p2x2+…+pnxn p1+p2+…+pn

?pixi
i =1

n



?pi
i=1

n

.

试一试:1.数a,b,c的平均数是多少?

a+b+c 提示 3 2.一组观察值3,4,6出现的次数分别为4,3,2,则样本平均值
为________.
提示 4 想一想:1.中位数是否一定是这组数据中的数? 提示 不一定 2.3,4,x1,x2的平均数为9,则x1+x2=________. 提示 29

名师点睛

1.平均数
平均数描述了数据的平均水平,定量地反映了数据的集中 趋势所处的水平.

2.用样本平均数估计总体平均数
(1)通常,我们是用样本平均数去估计总体平均数.样本容 量越大,这种估计的可靠性越高;样本的抽取越具有典型性, 这种估计的可靠性也越高.但在实际中,样本容量的确定既要 根据实际问题的需要,又要考虑现实的可能性以及付出代价的 大小.

(2)平均数与每一个样本的数据有关,所以任何一个样本数

据的改变都会引起平均数的改变,正因为如此,平均数可以反
映更多关于样本数据全体的信息,但平均数受数据中极端值的 影响较大,使平均值在估计总体时可靠性低.若告诉的只是一

个范围而不是具体值,在求平均值时,可以用各组区间的组中
值近似地表示.

题型一 平均数的计算 【例1】 某班45名同学的年龄(单位:岁)如下: 14 15 17 13 17 14 14 14 15 16 15 16 15 16 16 17 16 15 16 15 14 15 14 15 16 15 15 16 15 15 14 15 15

16 17 16 15 15 15 16 15 13 16 15 15
求全班的平均年龄.

[思路探索] 求一组数据的平均数有两个公式,可根据具体
情况选用.

解 法一 利用平均数的公式计算. 1 x = (14+15+…+15) 45 1 = ×684=15.2(岁). 45 法二 利用加权平均数公式计算. 1 x = (13×2+14×7+15×20+16×12+17×4) 45 1 = ×684=15.2(岁). 45 即全班的平均年龄是 15.2 岁.

规律方法

要灵活运用平均数的两个公式计算平均数.如果

将已知各数都减去 a,计算出所得各数的平均数 x ′,则已知各数 的平均数 x = x ′+a,运用此办法可以简化计算,如本例可得下 面的解法: 取 a=15,将已知各数减去 15,得 -1 0 -1 1 0 2 1 0 1 1 0 0 2 -2 -1 0 1 1 0 -1 0 0 -1 0 1 2 1 0 0 0 1 0 -2 1 0 0 2 -1 0 1 1 0 -1 0 0 1 1 x ′= (-1+0+…+0)= ×9=0.2(岁). 45 45 x = x ′+a=0.2+15=15.2(岁).

【变式1】 从一批机器零件毛坯中取出 20件,称得它们的

质量如下(单位:千克)
210 208 195 207 220 218 205 192 202 202 218 216 206 185 214 227 215 187 207 215

求这20件零件的平均质量(精确到千克).
解 各数据同时减200,得到新数据: 10,8,20,5,2,18,6,14,15,7 -5,7,18,-8,2,16,-15,27,-13,15 经计算新数据的平均数为7.45, 所以原数据的平均数为 200+7.45=207.45≈207(千克).

题型二 用样本平均数估计总体平均数
【例2】 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 60名 学生,将其成绩(均为整数)分成六段[40,50),[50,60),[60,70),

[70,80),[80,90),[90,100]后,画出如图部分频率分布直方图.
观察图形,回答下列问题: (1)求第四小组的频率,并补全这个频率分布直方图;

(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格);
(3)估计这次考试的平均分.

[思路探索]



(1)因为各组的频率和为 1,所以第四组的频率 f4=1-

(0.025+0.015×2+0.01+0.005)×10=0.3. 频率分布直方图如图所示:

(2)依题意,60分及以上的分数所在的第三、四、五、六组

的频率和为0.75.
所以估计这次考试及格率为75%. (3)平均分为

45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.
05=71. 规律方法 (1)当条件给出某几个范围内的数据的频数或频 率时,可用组中值求近似平均数. (2)对连续型分布的有关问题,可用组中值法求样本数据的 平均数,这种方法求得的平均值只是一个估计值.

【变式2】 有容量为100的样本,数据分组及各组的频数、

频率如下:
[12.5,14.5) , 6,0.06 ; [14.5,16.5) , 16,0.16 ; [16.5,18.5) , 18, 0.18;[18.5,20.5),22,0.22;[20.5,22.5),20,0.20;[22.5,24.5),

10,0.10;[24.5,26.5),8,0.08.试估计总体的平均数.

解 法一 总体的平均数约为 1 ×(13.5×6 +15.5×16 +17.5×18+19.5×22+21.5×20 + 100 23.5×10+25.5×8)=19.42. 故总体的平均数约为 19.42. 法二 求组中值与对应频率积的和 13 . 5×0.06 + 15.5×0.16 + 17.5×0.18 + 19.5×0.22 + 21.5×0.20+23.5×0.10+25.5×0.08=19.42. 故总体的平均数约为 19.42.

题型三 平均数的应用 【例3】 (14分)某校在一次学生身体素质调查中,在甲、乙 两班中随机抽 10名男生检测 100 m短跑,测得成绩如下 ( 单位: s):

甲 15.1 14.8 14.1 14.6 15.3 14.8 14.9 14.7 15.2 14.5 乙 15.0 15.0 14.2 14.5 16.1 15.2 14.8 14.9 15.1 15.2
求甲、乙两班10名同学的平均成绩,试估计甲、乙两班男

生的短跑水平.
审题指导 本题主要考查平均数的定义、平均数的计算公 式,要会灵活运用.

【解题流程】

[规范解答] 两组数据均在 14.5 附近波动,均减 14.5 后得两 组新数据: 0.6 0.3 0.5 0.5 -0.4 0.1 0.8 0.3 0.4 0.2 0.7 0 -0.3 0 1.6 0.7 0.3 0.4 0.6 0.7 (4 分)

则第一组新数据的平均数为: 0.6+0.3-0.4+0.1+0.8+0.3+0.4+0.2+0.7+0 =0.3. (7 分) 10 第二组新数据的平均数为: 0.5+0.5-0.3+0+1.6+0.7+0.3+0.4+0.6+0.7 =0.5. (10 分) 10 ∴ x 甲=14.5+0.3=14.8(s), x 乙=14.5+0.5=15.0(s). 由此可估计甲班男生短跑水平可能更高一些. (14 分) (12 分)

【题后反思】 (1)平均数在一定程度上能显示数据的集中趋

势,故可以由平均数估计总体的规律特征.
(2)平均数与每一个样本数据有关,这是平均数的特点.

【变式3】 高一年级甲、乙两班各50名同学,在一次数学

测验中成绩分组及各组的频数如下: [40,50) , 2,3 ; [50,60) , 3,
5 ; [60,70) , 10,11 ; [70,80) , 15,12 ; [80,90) , 12,10 ; [90,100] , 8,9( 第一个频数为甲班,第二个频数为乙班 ) .根据以上数据估

计各班的平均成绩并加以比较.

解 甲班平均成绩为 1 (45×2 + 55×3 + 65×10 + 75×15 + 85×12 + 95×8) = 50 76.2, 乙班的平均成绩为 1 (45×3 + 55×5 + 65×11 + 75×12 + 85×10 + 95×9) = 50 74.6, 由于甲班的平均成绩高于乙班的平均成绩,所以甲班的成绩 好一些.

方法技巧 分组法求平均数 如果要求平均数的所有数据被分成了若干小组,且知道每
个小组的平均数,则可先用每小组数据个数与此小组平均数相 乘计算出各小组的数据之和,据此可结合平均数公式计算出所

有数据的平均数.

【示例】 为了解高一年级 6 个班期中考试数学成绩的总体 情况,年级组对各班情况作了一个调查,情况如下: 班级 1 2 3 4 5 6

60 64 58 61 62 55 人数 平均数 120 123 118 130 117 132
求这次考试中全年级所有同学数学成绩的平均分 ( 取整 数). [思路分析] 先计算每班总分,再计算六个班的总分之和, 总分之和与高一年级6个班人数总和的商即为全年级所有同学的 平均分.

解本题可看成六个小组: 一班总分:60×120=7 200(分) 二班总分:64×123=7 872(分) 三班总分:58×118=6 844(分) 四班总分:61×130=7 930(分) 五班总分:62×117=7 254(分) 六班总分:55×132=7 260(分) ∴全年级所有同学总分为:7 200+7 872+6 844+7 930

+7 254+7 260=44 360(分).
又全年级所有同学人数为: 60+64+58+61+62+55=360(人),

所以这次考试中全年级所有同学数学成绩的平均分为:

44 360 ≈123(分). 360

方法点评

分组法求平均数实际上与定义法求平均数的原

理是一致的,利用分组法求平均数时分子是每小组数据个数与
此小组平均数的积的总和,分母为各小组数据个数的总和.


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