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广东省汕头市南澳中学2015届高考数学二模试卷(理科)

广东省汕头市南澳中学 2015 届高考数学二模试卷 (理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1. (5 分)复数 A.﹣ i =() B. i C. i D.﹣ i

2. (5 分)设集合 U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则?UM=() A.U B.{1,3,5} C.{3,5,6} D.{2,4,6} 3. (5 分)已知条件 p:x≤1,条件 q: <1,则 q 是¬p 成立的() A.充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件 D.既非充分也非必要条件

4. (5 分)已知 A.(2,﹣4) 8)

, B.(﹣2,4)

,且

,则 =() D. (4,﹣

C.(2,﹣4)或(﹣2,4)

5. (5 分)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()

A.2π+2

B.4π+2

C.2π+

D.4π+

6. (5 分)已知直线 l 和两个不同的平面 α,β,则下列命题中,真命题的是()

A.若 l∥α,且 l∥β,则 α∥β C. 若 l?α,且 α⊥β,则 l⊥β

B. 若 l⊥α.且 l⊥β,则 α∥β D.若 l∥α,且 α∥β,则 l∥β

7. (5 分)阅读如图的程序框图,若运行相应的程序,则输出的 S 的值是()

A.39

B.21

C.81

D.102

8. (5 分)对?a、b∈R,运算“⊕”、“?”定义为:a⊕b= 则下列各式其中不恒成立的是() (1)a?b+a⊕b=a+b (2)a?b﹣a⊕b=a﹣b (3)[a?b]?[a⊕b]=a?b (4)[a?b]÷[a⊕b]=a÷b. A.(1) (3) B.(2) (4)

,a?b=



C.(1) (2) (3)

D.(1) (2) (3) (4)

二、填空题:本题共 7 小题,作答 6 小题,每题 5 分,满分 35 分. 9. (5 分)某学校 2014-2015 学年高一、2014-2015 学年高二、2015 届高三年级的学生人数 之比为 3:3:4,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本, 则应从 2014-2015 学年高一年级抽取. 10. (5 分)已知数列{an},an=2 ,则
n

+

+ …+

=.

11. (5 分) (x﹣2) 的展开式中 x 的系数是. (用数字作答)

6

3

12. (5 分)已知 x,y 满足约束条件

,则 z=x+2y 最小值为.

13. (5 分)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= f 的值为.

,则

14. (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C:

(θ 为参数)和直线 l:

(t 为参数) ,则直线 l 与圆 C 相交所得的弦长等于.

15. (5 分)已知⊙O 的割线 PAB 交⊙OA,B 两点,割线 PCD 经过圆心,若 PA=3,AB=4, PO=5,则⊙O 的半径为.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (12 分)在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 (Ⅰ)求 cosB 的值; (Ⅱ)设函数 f(x)=sin(2x+B) ,求 的值. ,B=C.

17. (12 分)根据空气质量指数 AQI(为整数)的不同,可将空气质量分级如下表: AQI(数值) 0~50 51~100 101~150 151~200 201~300 >300 空气质量级别 一级 二级 三级 四级 五级 六级 空气质量类别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 空气质量类别颜色 绿色 黄色 橙色 红色 紫色 褐 红色 某市 2013 年 10 月 1 日﹣10 月 30 日, 对空气质量指数 AQI 进行监测, 获得数据后得到如图 的条形图: (1)估计该城市本月(按 30 天计)空气质量类别为中度污染的概率; (2)在上述 30 个监测数据中任取 2 个,设 ξ 为空气质量类别颜色为紫色的天数,求 ξ 的分 布列.

18. (14 分)已知数列{an}的前 n 项和是 Sn,且 Sn+ an=1(n∈N ) . (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=log3(1﹣Sn+1) (n∈N ) ,求适合方程 n 的值. 19. (10 分)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧面 AA1C1C⊥底面 ABC,AA1=A1C=AC=2, AB=BC,且 AB⊥BC,O 为 AC 中点. (Ⅰ)证明:A1O⊥平面 ABC; (Ⅱ)求直线 A1C 与平面 A1AB 所成角的正弦值; (Ⅲ)在 BC1 上是否存在一点 E,使得 OE∥平面 A1AB,若不存在,说明理由;若存在, 确定点 E 的位置.
*

*

的正整数

20. (14 分)已知椭圆 C: 个焦点构成的三角形的面积为 点. (1)求椭圆 C 的方程;

=1(a>b>0)的离心率为 ,椭圆短轴的一个端点与两 ,过椭圆 C 的右焦点的动直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两

(2)若线段 AB 中点的横坐标为 ,求直线 l 的方程;

(3)若线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 D.设弦 AB 的中点为 P,试求 范围. 21. (13 分)已知函数 f(x)=e ﹣kx, (1)若 k=e,试确定函数 f(x)的单调区间; (2)若 k>0,且对于任意 x∈R,f(|x|)>0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (3)设函数 F (x)=f(x)+f(﹣x) ,求证:F (1)F (2)…F (n)>
x

的取值

(n∈N ) .

*

广东省汕头市南澳中学 2015 届高考数学二模试卷 (理 科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1. (5 分)复数 A.﹣ i =() B. i C. i D.﹣ i

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 直接由复数的除法运算化简求值. 解答: 解: .

故选:A. 点评: 本题考查了复数的除法运算,考查了复数的基本概念,是基础题. 2. (5 分)设集合 U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则?UM=() A.U B.{1,3,5} C.{3,5,6} D.{2,4,6} 考点: 补集及其运算. 专题: 集合. 分析: 直接利用补集的定义求出 CUM. 解答: 解:∵集合 U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则?UM={3,5,6}, 故选 C. 点评: 本题主要考查集合的表示方法、求集合的补集,属于基础题.

3. (5 分)已知条件 p:x≤1,条件 q: <1,则 q 是¬p 成立的() A.充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件 D.既非充分也非必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 计算题. 分析: 首先解不等式,然后再找出┐p 和 q 的关系. 解答: 解:∵p:x≤1, ?p:x>1, q: <1?x<0,

或 x>1, 故 q 是?p 成立的必要不充分条件, 故选 B. 点评: 找出?p 和 q 的关系,考查必要条件和充要条件的定义,比较简单.

4. (5 分)已知 A.(2,﹣4) 8)

, B.(﹣2,4)

,且

,则 =() D. (4,﹣

C.(2,﹣4)或(﹣2,4)

考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量模的平方等于向量坐标的平方和向量共线坐标交叉相乘相等列出方程组 求出 . 解答: 解:设 =(x,y) , 由题意可得 ,

解得





∴ =(2,﹣4)或(﹣2,4) . 故选:C. 点评: 本题考查向量模的求法,向量共线的充要条件:向量的坐标交叉相乘相等. 5. (5 分)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()

A.2π+2

B.4π+2

C.2π+

D.4π+

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 立体几何. 分析: 由三视图及题设条件知,此几何体为一个上部是四棱锥,下部是圆柱其高已知,底 面是半径为 1 的圆,故分别求出两个几何体的体积,再相加即得组合体的体积. 解答: 解:此几何体为一个上部是正四棱锥,下部是圆柱 2 由于圆柱的底面半径为 1,其高为 2,故其体积为 π×1 ×2=2π 棱锥底面是对角线为 2 的正方形,故其边长为 ,其底面积为 2,又母线长为 2, 故其高为 由此知其体积为 故组合体的体积为 2π+ 故选 C 点评: 本题考点是由三视图求几何体的面积、体积,考查对三视图的理解与应用,主要考 查三视图与实物图之间的关系, 用三视图中的数据还原出实物图的数据, 再根据相关的公式 求表面积与体积,本题求的是组合体的体积,其方法是分部来求,再求总体积.三视图的投 影规则是:“主视、俯视 长对正;主视、左视高平齐,左视、俯视 宽相等”.三视图是 2015 届高考的新增考点,不时出现在 2015 届高考试题中,应予以重视. 6. (5 分)已知直线 l 和两个不同的平面 α,β,则下列命题中,真命题的是() A.若 l∥α,且 l∥β,则 α∥β B. 若 l⊥α.且 l⊥β,则 α∥β C. 若 l?α,且 α⊥β,则 l⊥β D.若 l∥α,且 α∥β,则 l∥β 考点: 命题的真假判断与应用; 空间中直线与平面之间的位置关系; 平面与平面之间的位 置关系. 专题: 规律型. 分析: 对于 A,若 l∥α,且 l∥β,则 α∥β 或 α 与 β 相交,所以 A 错;对于 B,根据垂直 于同一条直线的两个平面平行,即若 l⊥α.且 l⊥β,则 α∥β 对;对于 C,若 l?α,α⊥β, 则 l⊥β 或 l∥β 或 l?β,所以 C 错;对于 D,若 l∥α,且 α∥β 则 l∥β 或 l?β,所以 D 错. 解答: 解:对于 A,若 l∥α,且 l∥β,则 α∥β 或 α 与 β 相交,所以 A 错; 对于 B,根据垂直于同一条直线的两个平面平行,即若 l⊥α.且 l⊥β,则 α∥β 对; 对于 C,若 l?α,α⊥β,则 l⊥β 或 l∥β 或 l?β,所以 C 错; 对于 D,若 l∥α,且 α∥β 则 l∥β 或 l?β,所以 D 错 故选 B. 点评: 本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系, 以及空间中直线与平面之间的 位置关系,属于基础题. 7. (5 分)阅读如图的程序框图,若运行相应的程序,则输出的 S 的值是() =

A.39

B.21

C.81

D.102

考点: 循环结构. 专题: 图表型. 分析: 用列举法,通过循环过程直接得出 S 与 n 的值,得到 n=4 时退出循环,即可. 解答: 解:第一次循环,S=3,n=2; 2 第二次循环,S=3+2×3 =21,n=3; 3 第三次循环,S=21+3×3 =102,n=4; 3 第四次循环,不满足条件,输出 S=21+3×3 =102, 故选 D. 点评: 本题考查循环结构,判断框中 n=4 退出循环是解题的关键,考查计算能力.

8. (5 分)对?a、b∈R,运算“⊕”、“?”定义为:a⊕b= 则下列各式其中不恒成立的是() (1)a?b+a⊕b=a+b (2)a?b﹣a⊕b=a﹣b (3)[a?b]?[a⊕b]=a?b (4)[a?b]÷[a⊕b]=a÷b. A.(1) (3) B.(2) (4)

,a?b=



C.(1) (2) (3)

D.(1) (2) (3) (4)

考点: 函数恒成立问题. 专题: 新定义. 分析: 根据运算分别讨论 a≥b 或 a<b 时结论是否成立即可. 解答: 解:根据定义,若 a≥b,则 a?b=a,a⊕b=b,此时(1)a?b+a⊕b=a+b (2)a?b ﹣a⊕b=a﹣b (3)[a?b]?[a⊕b]=a?b (4)[a?b]÷[a⊕b]=a÷b.都成立. 若 a<b 时,a?b=b,a⊕b=a, (1)a?b+a⊕b=b+a=a+b 成立. (2)此时 a?b﹣a⊕b=b﹣a∴此时(2)不成立. (3)[a?b]?[a⊕b]=b?a=a?b,此时(3)成立. (4)若 a<b 时,a?b=b,a⊕b=a,此时[a?b]÷[a⊕b]=b÷a,∴(4)不一定成立.

故选:B. 点评: 本题主要新定义,根据 a,b 的大小关系进行讨论即可,本题的实质是考查加法和 乘法满足交换律,减法和除法不满足交换律. 二、填空题:本题共 7 小题,作答 6 小题,每题 5 分,满分 35 分. 9. (5 分)某学校 2014-2015 学年高一、2014-2015 学年高二、2015 届高三年级的学生人数 之比为 3:3:4,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本, 则应从 2014-2015 学年高一年级抽取 15. 考点: 分层抽样方法. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 根据三个年级的人数比,做出 2014-2015 学年高一所占的比例,用要抽取得样本容 量乘以 2014-2015 学年高一所占的比例,得到要抽取的 2014-2015 学年高一的人数. 解答: 解:∵2014-2015 学年高一、2014-2015 学年高二、2015 届高三年级的学生人数之 比为 3:3:4, ∴2014-2015 学年高一在总体中所占的比例是 ,

∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本, ∴要从 2014-2015 学年高一抽取 ×50=15,

故答案为:15. 点评: 本题考查分层抽样方法,本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例, 这就是在抽样过程中被抽到的概率,本题是一个基础题. 10. (5 分)已知数列{an},an=2 ,则
n

+

+ …+

=1﹣



考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: 由数列的通项公式 an=2 ,得到数列{
n

}是首项为 ,公比为 的等比数列,列举

出所示式子的各项,利用等比数列的前 n 项和公式化简,即可得到结果. 解答: 解:由题意得:数列{an}为首项是 2,公比为 2 的等比数列, n 2 n 由 an=2 ,得到数列{an}各项为:2,2 ,…,2 , ∴ + +…+ = + +…+ ,

∴数列{

}是首项为 ,公比为 的等比数列,



+

+…+

= +

+…+

=

=1﹣



故答案为:1﹣

点评: 此题考查了等差数列的前 n 项和公式,其中确定出数列{ 的等比数列是解本题的关键. 11. (5 分) (x﹣2) 的展开式中 x 的系数是﹣160. (用数字作答)
6 3

}是首项为 ,公比为

考点: 二项式定理. 专题: 计算题. 6 分析: 根据题意,由二项式定理可得(x﹣2) 的展开式的通项,令 x 的系数为 3,可得 3 r=3,将 r=3 代入通项,计算可得 T4=﹣160x ,即可得答案. 6 r 6﹣r r r r r 6 解答: 解:根据题意, (x﹣2) 的展开式的通项为 Tr+1=C6 x (﹣2) =(﹣1) ?2 ?C6 x ﹣r , 令 6﹣r=3 可得 r=3, 3 3 3 3 3 3 此时 T4=(﹣1) ?2 ?C6 x =﹣160x ,即 x 的系数是﹣160; 故答案为﹣160. 6 点评: 本题考查二项式定理的应用,关键要得到(x﹣2) 的展开式的通项.

12. (5 分)已知 x,y 满足约束条件

,则 z=x+2y 最小值为﹣1.

考点: 简单线性规划. 专题: 数形结合;不等式的解法及应用. 分析: 由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解, 求得最优解的坐标,代入目标函数得答案.

解答: 解:由约束条件

作出可行域如图,

化目标函数 z=x+2y 为直线方程的斜截式



由图可知,当直线过点 A(1,﹣1)时,直线在 y 轴上的截距最小,z 最小. ∴zmin=1+2×(﹣1)=﹣1. 故答案为:﹣1.

点评: 本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.

13. (5 分)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= f 的值为﹣3.

,则

考点: 函数的周期性;函数的值;对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用分段函数判断当 x>0 时函数的周期性,然后利用周期性进行求值. 解答: 解:由分段函数可知,当 x>0 时,f(x)=f(x﹣1)﹣f(x﹣2) , ∴f(x+1)=f(x)﹣f(x﹣1)=f(x﹣1)﹣f(x﹣2)﹣f(x﹣1) , ∴f(x+1)=﹣f(x﹣2) , 即 f(x+3)=﹣f(x) , ∴f(x+6)=f(x) ,即当 x>0 时,函数的周期是 6. ∴f=f(335×6+3)=f(3)=﹣f(0)=﹣log2(8﹣0)=﹣log28=﹣3, 故答案为:﹣3. 点评: 本题主要考查利用分段函数进行求值问题,利用函数的解析式确定当 x>0 时,满 足周期性是解决本题的关键.

14. (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C:

(θ 为参数)和直线 l:

(t 为参数) ,则直线 l 与圆 C 相交所得的弦长等于 4



考点: 直线的参数方程;圆的参数方程. 专题: 计算题. 分析: 由题意将圆 C 和直线 l 先化为一般方程坐标, 然后再计算直线 l 与圆 C 相交所得的 弦长. 解答: 解:∵在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C: ∴(x+1) +(y﹣2) =25, ∴圆心为(﹣1,2) ,半径为 5, ∵直线 l: ∴3x+4y﹣10=0, ∴圆心到直线 l 的距离 d= ∴直线 l 与圆 C 相交所得的弦长=2× =1, =4 . (t 为参数) ,
2 2

(θ 为参数) ,

故答案为 4 . 点评: 此题考查参数方程与普通方程的区别和联系, 两者要会互相转化, 根据实际情况选 择不同的方程进行求解,这也是每年 2015 届高考必考的热点问题. 15. (5 分)已知⊙O 的割线 PAB 交⊙OA,B 两点,割线 PCD 经过圆心,若 PA=3,AB=4, PO=5,则⊙O 的半径为 2.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 由于 PAB 与 PCD 是圆的两条割线,且 PA=3,AB=4,PO=5,我们可以设圆的半 径为 R,然后根据切割线定理构造一个关于 R 的方程,解方程即可求解. 解答: 解:设⊙O 的半径为 R 则 PC=PO﹣OC=5﹣R PD=PO+OD=5+R 又∵PA=3,AB=4, ∴PB=PA+AB=7 由切割线定理易得: PA?PB=PC?PD 即 3×7=(5﹣R)×(5+R) 解得 R=2 故答案:2 点评: 本题考查的知识点是与圆相关的比例线段, 设出未知的线段根据圆幂定理列出满足 条件的方程是解答的关键. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (12 分)在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 (Ⅰ)求 cosB 的值; (Ⅱ)设函数 f(x)=sin(2x+B) ,求 的值. ,B=C.

考点: 余弦定理. 专题: 三角函数的求值. 分析: (Ⅰ)由等角对等边得到 c=b,再由 a= (Ⅱ)由 cosB 的值,求出 sinB 的值,将 x= 解答: 解: (Ⅰ)∵B=C,∴c=b, 又∵a= b, b,利用余弦定理即可求出 cosB 的值; )的值.

代入 f(x)计算即可求出 f(

∴cosB=

=

=

; = cosB+cos , sinB= × + × = .

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 sinB= ∴f( )=sin( +B)=sin

点评: 此题考查了余弦定理, 同角三角函数间的基本关系, 以及两角和与差的正弦函数公 式,熟练掌握余弦定理是解本题的关键. 17. (12 分)根据空气质量指数 AQI(为整数)的不同,可将空气质量分级如下表: AQI(数值) 0~50 51~100 101~150 151~200 201~300 >300 空气质量级别 一级 二级 三级 四级 五级 六级 空气质量类别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 空气质量类别颜色 绿色 黄色 橙色 红色 紫色 褐 红色 某市 2013 年 10 月 1 日﹣10 月 30 日, 对空气质量指数 AQI 进行监测, 获得数据后得到如图 的条形图: (1)估计该城市本月(按 30 天计)空气质量类别为中度污染的概率; (2)在上述 30 个监测数据中任取 2 个,设 ξ 为空气质量类别颜色为紫色的天数,求 ξ 的分 布列.

考点: 离散型随机变量及其分布列;频率分布直方图;等可能事件的概率. 专题: 概率与统计. 分析: (1)由条形统计图可知,空气质量类别为中度污染的天数为 6,从而可求此次监 测结果中空气质量类别为中度污染的概率; (2)确定随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,求出相应的概率,从而可得 ξ 的分布列. 解答: 解: (1)由条形统计图可知,空气质量类别为中度污染的天数为 6, 所以该城市本月空气质量类别为中度污染的概率 (2)随机变量 ξ 的可能取值为 0,1,2, 则 , ;



, 所以 ξ 的分布列为: ξ 0 P

1

2

点评: 本题考查条形图,考查学生的阅读能力,考查离散型随机变量的分布列,确定随机 变量 ξ 的可能取值是关键.属于中档题. 18. (14 分)已知数列{an}的前 n 项和是 Sn,且 Sn+ an=1(n∈N ) . (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=log3(1﹣Sn+1) (n∈N ) ,求适合方程 n 的值. 考点: 等差数列与等比数列的综合. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (1)由 S ,得 (n≥2) ,两式相减得 an 与 an﹣1 的递
* *

的正整数

推式,由递推式易判断数列{an}为等比数列,从而可求 an; (2) 由 (1) 易求得 1﹣Sn+1, 进而可求 bn, 利用裂项相消法可求得 从而可把方程变为关于 n 的方程,解出即可; 解答: 解: (1)由 S 两式相减得,an+ 由S 得 ﹣ ,得 =0(n≥2) ,即 =1,即 =1,解得 , (n≥2) , (n≥2) , ,

所以数列{an}各项均不为 0,且是以 为首项、 为公比的等比数列, 所以 an= (2)由(1)知, 所以 b 则 所以 = = = ; ,即 1﹣Sn+1= =﹣(n+1) , = + +…+ , = , = ,

所以方程 故适合方程



=

,解得 n=100,

的正整数 n 的值为 100.

点评: 本题考查由数列递推公式求通项公式,考查等比数列及用列项相消法进行数列求 和,熟练掌握 an 与 Sn 间的关系是解决本题的关键. 19. (10 分)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧面 AA1C1C⊥底面 ABC,AA1=A1C=AC=2, AB=BC,且 AB⊥BC,O 为 AC 中点. (Ⅰ)证明:A1O⊥平面 ABC; (Ⅱ)求直线 A1C 与平面 A1AB 所成角的正弦值; (Ⅲ)在 BC1 上是否存在一点 E,使得 OE∥平面 A1AB,若不存在,说明理由;若存在, 确定点 E 的位置.

考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面所成的角. 专题: 计算题;证明题. 分析: (1)由题意可知:平面 AA1C1C⊥平面 ABC,根据平面与平面垂直的性质定理可 以得到,只要证明 A1O⊥AC 就行了. (2)此小题由于直线 A1C 与平面 A1AB 所成角不易作出,再由第(1)问的结论可以联想 到借助于空间直角坐标系,设定参数,转化成法向量 n 与 所成的角去解决

(3) 有了第 (2) 问的空间直角坐标系的建立, 此题解决就方便多了, 欲证 OE∥平面 A1AB, 可以转化成证明 OE 与法向量 n 垂直 解答: 解: (Ⅰ)证明:因为 A1A=A1C,且 O 为 AC 的中点, 所以 A1O⊥AC. (1 分) 又由题意可知,平面 AA1C1C⊥平面 ABC, 交线为 AC,且 A1O?平面 AA1C1C, 所以 A1O⊥平面 ABC. (4 分) (Ⅱ)如图,以 O 为原点,OB,OC,OA1 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系. 由题意可知,A1A=A1C=AC=2,又 AB=BC,AB⊥BC,∴ 所以得: ,

则有:

. (6 分)

设平面 AA1B 的一个法向量为 n=(x,y,z) ,则有



令 y=1,得

所以

. (7 分)

. (9 分)

因为直线 A1C 与平面 A1AB 所成角 θ 和向量 n 与 分) (Ⅲ)设

所成锐角互余, 所以

. (10

, (11 分)



,得

所以 令 OE∥平面 A1AB,得 即﹣1+λ+2λ﹣λ=0,得 ,

,得 , (13 分)

, (12 分)

即存在这样的点 E,E 为 BC1 的中点. (14 分)

点评: 本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成的角、三角函数等知识,考查数形 结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力

20. (14 分)已知椭圆 C: 个焦点构成的三角形的面积为 点. (1)求椭圆 C 的方程;

=1(a>b>0)的离心率为 ,椭圆短轴的一个端点与两 ,过椭圆 C 的右焦点的动直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两

(2)若线段 AB 中点的横坐标为 ,求直线 l 的方程;

(3)若线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 D.设弦 AB 的中点为 P,试求 范围. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;直线的一般式方程;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程.

的取值

分析: (1)由已知可得

,解得即可.

(2)设过椭圆 C 的右焦点的动直线 l 的方程为 y=k(x﹣1) ,与椭圆的方程联立可得根与系 数的关系,再利用中点坐标公式即可得出 k. (3)利用中点坐标公式和弦长公式即可得出. 解答: 解: (1)∵椭圆 C: =1(a>b>0)的离心率为 ,椭圆短轴的一个端点与

两个焦点构成的三角形的面积为

,∴

,解得 a =4,b =3,c=1.

2

2

∴椭圆方程为



(2)设过椭圆 C 的右焦点的动直线 l 的方程为 y=k(x﹣1) ,
2 2 2 2

联立

化为(3+4k )x ﹣8k x+4k ﹣12=0.

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) . 则 , .

∵AB 中点的横坐标为 ,∴

,解得 k=



∴直线 l 的方程



(3)由(2)知 AB 的中点为 P



直线 PD 的方程为

,由 y=0,得



则D 又 | |=

,∴

=



=

=





=

=

=

又∵k +1>1,∴

2

.∴





的取值范围是



点评: 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、 直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根 与系数的关系、弦长公式、中点坐标公式、三角形的面积计算公式等基础知识与基本技能方 法,考查了推理能力和计算能力,属于难题. 21. (13 分)已知函数 f(x)=e ﹣kx, (1)若 k=e,试确定函数 f(x)的单调区间; (2)若 k>0,且对于任意 x∈R,f(|x|)>0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (3)设函数 F (x)=f(x)+f(﹣x) ,求证:F (1)F (2)…F (n)> (n∈N ) .
* x

考点: 利用导数研究函数的单调性;函数恒成立问题;利用导数研究函数的极值;不等式 的证明. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (1)先确定函数的定义域然后求导数 fˊ(x) ,在函数的定义域内解不等式 fˊ(x) >0,f′(x)<0 (2)f(|x|)是偶函数,只需研究 f(x)>0 对任意 x≥0 成立即可,即当 x≥0 时 f(x)min >0

(3)观察结论,要证 F(1)F(2)…F(n)>
n+1 n

,即证[F(1)F(2)…F(n)]
n+1 n

2

>(e +2) ,变形可得[F(1)F(n)][F(2)F(n﹣1)]…[F(n)F(1)]>(e +2) , n+1 n+1 n+1 可证 F(1)F(n)>e +2,F(2)F(n﹣1)>e +2,F(n)F(1)>e +2.问题得 以解决. x x 解答: 解: (Ⅰ)由 k=e 得 f(x)=e ﹣ex,所以 f'(x)=e ﹣e. 由 f'(x)>0 得 x>1,故 f(x)的单调递增区间是(1,+∞) , 由 f'(x)<0 得 x<1,故 f(x)的单调递减区间是(﹣∞,1) . (Ⅱ)由 f(|﹣x|)=f(|x|)可知 f(|x|)是偶函数. 于是 f(|x|)>0 对任意 x∈R 成立等价于 f(x)>0 对任意 x≥0 成立. x 由 f'(x)=e ﹣k=0 得 x=lnk. x ①当 k∈(0,1]时,f'(x)=e ﹣k>1﹣k≥0(x>0) . 此时 f(x)在[0,+∞)上单调递增. 故 f(x)≥f(0)=1>0,符合题意. ②当 k∈(1,+∞)时,lnk>0. 当 x 变化时 f'(x) ,f(x)的变化情况如下表: x (0,lnk) lnk (lnk,+∞) f′(x) ﹣ 0 + f(x) 单调递减 极小值 单调递增 由此可得,在[0,+∞)上,f(x)≥f(lnk)=k﹣klnk. 依题意,k﹣klnk>0,又 k>1,∴1<k<e. 综合①,②得,实数 k 的取值范围是 0<k<e. (Ⅲ)∵F(x)=f(x)+f(﹣x)=e +e ,∴F(x1)F(x2) =
x
﹣x

, ∴F(1)F(n)>e +2,F(2)F(n﹣1)>e +2,F(n)F(1)>e +2. 2 n+1 由此得,[F(1)F(2)F(n)] =[F(1)F(n)][F(2)F(n﹣1)][F(n)F(1)]>(e +2)
n * n+1 n+1 n+1



,n∈N .

点评: 本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识,考查运用导数研 究函数性质的方法,考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法,考查分析问题、解 决问题的能力.


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