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江西省萍乡市高中数学第一章立体几何初步1.5.1.1直线与平面平行的判定课件北师大版必修2_图文

§ 平行关系

平行关系的判定

第课时 直线与平面平行的判定

.掌握线面平行的判定定理. .会利用线面平行的判定定理证明线面的平行关系.

.空间直线与平面的位置关系

位置关系 文字语言

图形语言

直线在 平面内

如果直线 a 与平面 α 有无数 个公共点,我们称直线 a 在平 面α内

直线与 平面相交

如果直线 a 与平面 α 只有一 个公共点 P,我们称直线 a 与 平面 α 交于点 P

直线与 平面平行

如果直线 a 与平面 α 没有公 共点,我们称直线 a 与平面 α 平行

符号语言 a?α a∩α=P a∥α

名师点拨直线与平面的位置关系有两种分类方法: 直线和 ——无公共点
平面平行

①按公共点个数分类

直线和

有且只有

——

直线和平 平面相交 一个公共点

面不平行 直线在——有无数个公共点 平面内

直线在平面内

②按是否在平面内分类 直线不在 直线和平面相交

平面内 直线和平面平行

【做一做】 若直线在平面α外且直线上所有的点到平面α的距离

都相等,则直线与平面α的位置关系是

.

答案∥α

.直线与平面平行的判定定理

直线与平面平行的判定定理告诉我们,可以通过直线间的平行来 证明直线与平面平行.通常我们将其记为“若线线平行,则线面平 行”.因此,对于线面平行的问题通常转化为线线平行的问题来解决. 也就是说,证明一条直线和一个平面平行,只要在这个平面内找到一 条直线和已知直线平行即可.

【做一做】 在正方体中为的中点.判断体对角线与过点的平面的 位置关系.
解:如图所示,连接. 设∩,易知为的中点. 连接,又为的中点,则∥, 连接. ∵?平面?平面, ∴∥平面, 即与过点的平面是平行关系.

题型一 题型二 题型三
题型一 线面位置关系的判断
【例】 对于不重合的两条直线和平面α,下列说法正确的是( ) .如果?α?α是异面直线,那么∥α .如果?α?α∥,那么∥α .如果?α?α是异面直线,那么与α相交 .如果∥α∥α共面,那么∥

题型一 题型二 题型三
解析:如图所示,在长方体中,直线?平面?平面,直线和直线是异面 直线,但是直线∩平面,排除选项;直线?平面,直线?平面,直线和直线 是异面直线,但是直线∥平面,排除选项;直线∥平面,直线∥平面,直 线和直线共面,但是∩,排除选项.
答案 反思此类题目属于位置关系判定题,并且是用符号语言表示的,是 高考考查立体几何知识的主要形式.其解题策略是借助长方体等几 何体模型,将符号语言转化为图形语言,利用排除法求解.

题型一 题型二 题型三
【变式训练】 能保证直线与平面α平行的条件是( ) ?α∥ ?α∥α∥∥ ?α∈∈,且 ?α?α∥ 解析错误,若?α∥,则∥α或?α; 错误,若?α∥α∥∥,则∥α或?α; 错误,若满足此条件,则∥α或?α或与α相交; 正确,它们恰好是判定定理所具备的不可缺少的三个条件. 答案

题型一 题型二 题型三
题型二 证明直线与平面平行
【例】 如图所示,在四棱锥中,底面为正方形分别为的中点.求证 ∥平面.
分析:要证∥平面,只需在平面内找到一条平行于的直线即可,又 分别为的中点,故可以考虑作辅助线,构造平行四边形,从而找到平 行于并且在平面内的直线.

题型一 题型二 题型三
证明:如图所示,作 FG∥DC 交 SD 于点 G,连接 AG, 则 G 为 SD 的中点,又 F 为 SC 的中点,所以 FG12CD.
又 CDAB,AE=12AB,
所以 FGAE.
所以四边形 AEFG 为平行四边形, 所以 EF∥AG. 又 AG?平面 SAD,EF?平面 SAD, 所以 EF∥平面 SAD.

题型一 题型二 题型三
反思用线面平行的判定定理证明线面平行的基本步骤:

题型一 题型二 题型三
【变式训练】 已知四边形都是正方形∈∈,且.求证∥平面.

证明:如图所示,作 MP∥AB 交 BC 于点 P,NQ∥AB 交 BE 于点

Q,连接 PQ,

∴MP∥NQ.

∵AM=FN,

∴MP=

2 2



=

2 2



=

.

∴MPNQ, ∴四边形 MNQP 为平行四边形.

∴MN∥PQ. ∵MN?平面 BCE,PQ?平面 BCE, ∴MN∥平面 BCE.

题型一 题型二 题型三

题型三

易错辨析

易错点:判断平行关系时思维受阻而致误 【例】

如图所示,在四面体中分别为的中点,截面是正方形,有下列说法,

①⊥;②∥截面;③;④异面直线与所成的角为°;⑤∥平面.则其中正

确的说法是

.(填序号即可)

错解:①③⑤

错因分析:图中平行关系较多,忽略是△的中位线而得不到∥,从

而漏选②.

题型一 题型二 题型三
正解:对于①,因为截面是正方形,所以⊥,由三角形的中位线性质 可得∥∥.所以由⊥,可得⊥,故①正确;对于②,在△中是中点,所以 ∥,可得∥截面,故②正确;对于③,因为截面为正方形,所以,因为为 中点,所以
所以,故③正确;对于④,异面直线与所成的12角等,于与 所12成的,角,为 °,故④不正确;对于⑤∥?平面?平面,故∥平面,故⑤正确.
答案:①②③⑤

题型一 题型二 题型三

【变式训练】 如图所示,在四面体中,若分别为线段的中点,则直

线与平面的位置关系为

.

解析:因为分别为线段的中点,所以∥,又?平面?平面,所以∥平面. 答案:平行

.过平面外一点,作平面的平行线可以作( ) .一条 .两条 .无数条 .以上都不对 解析:过平面外一点可作无数条直线与平面内的相应直线平行,故 选. 答案

有下列命题: ①若直线平行于平面α内的无数条直线,则∥α; ②若直线∥?α,则直线就平行于平面α内的无数条直线; ③若直线∥?α,则∥α; ④若直线在平面α外,则∥α. 其中真命题的个数为( )
解析:①直线还可能在平面α内.②正确.③直线还有可能在平面α内. ④直线与平面α相交也满足. 答案

.若两条直线∥,且∥平面α,则与α的位置关系



.

答案∥α或?α

.设是平面α外的两条直线,给出以下三个论断:①∥;②∥α;③∥α.

以其中的两个为条件,余下的一个为结论,构成三个命题,写出你认

为正确的一个命题是

.

解析:由∥α知,α内必有直线∥,

又∥,∴∥,而?α,∴∥α.

因此,由①②?③,同理由①③?②.

答案:①②?③(或①③?②)

.如图所示,在长方体中分别为线段的中点,分别连接及.求证∥平面.

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证明:如图所示,连接AP,因为四边形CC1D1D是矩形, 所以C1D1∥CD,C1D1=CD. 因为N,P分别为线段CD,C1D1的中点, 所以C1P∥CN,C1P=CN. 因为四边形ABCD是矩形,所以AB∥CD,AB=CD. 因为M为线段AB的中点, 所以CN∥AM,CN=AM, 所以C1P∥AM,C1P=AM, 所以四边形AMC1P是平行四边形,所以C1M∥AP. 又C1M?平面ANPA1,AP?平面ANPA1, 所以C1M∥平面ANPA1.