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2019-2020学年高考数学第一轮复习 二次函数(2)学案 理.doc

2019-2020 学年高考数学第一轮复习 二次函数(2)学案 理
[探究五] 二次函数综合应用题 例 7. 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1和函数 g ( x) ? (1)若 f ( x) 为偶函数,试判断 g ( x) 的奇偶性; (2)若方程 g ( x) ? x 有两个不等的实根,求证:函数 f ( x) 在 (?1,1) 上是单调函数. 解:(1)∵ f ( x) 为偶函数, ∴ ?x ? R , f (? x) ? f ( x) ,即 2bx ? 0 ,∴ b ? 0 . ∴ g ( x) ? ?

bx ? 1 , a 2 x ? 2b

1 . ∵ g ( x) 的定义域为 (??,0) (0, ??) , a2 x
1 1 ? 2 ? ? g ( x) , ∴函数 g ( x) 为奇函数. a (? x) a x
2

且 g (? x) ? ?

(2)由

bx ? 1 ? x ,得 a 2 x 2 ? bx ? 1 ? 0 , 2 a x ? 2b
2 2

由△ ? b ? 4a ? 0 ,且 a ? 0 , 得

b b b ? ?1或 ? ?1 ? 1 ,即 ? 2a 2a 2a

∴ 函数 f ( x) 在 (?1,1) 上是单调函数.

练习 1.已知二次函数 y ? f ( x)( x ? R) 的图像过点 (0, ?3) ,且 f ( x) ? 0 得解集为 (1,3) . (1)若 F ( x) ? f ( x) ? mx 在区间 (0,1) 上单调递增,求实数 m 的取值范围;

? ?? 上的最值. ? 2? ? 解: 由已知设二次函数 f ( x) ? a( x ? 1)( x ? 3) , 其中 a ? 0 . 将点 (0, ?3) 带入, 解得 a ? ?1 .
(2)求函数 G( x) ? f (sin x) 在 x ? ?0, ∴ f ( x) ? ? x ? 4 x ? 3 .
2

(1) F ( x) ? f ( x) ? mx ? ? x ? (4 ? m) x ? 3 ,要使 F ( x) 在区间 (0,1) 上单调递增,
2

4?m ? 1 ,解得 m ? 2 ; 2 ? (?1) 2 2 (2)由 G( x) ? ? sin x ? 4sin x ? 3 ,得 G( x) ? ?(sin x ? 2) ? 1.
只须 ?

? ?? ,∴ sin x ??0,1? .∴ ?3 ? G( x) ? 0 . ? 2? ? ? ?? ∴函数 G( x) ? f (sin x) 在 x ? ?0, ? 上的最大值为 0,最小值为 ?3 . ? 2?
∵ x ? ?0,

1 2 ax ? x ? a ( x ? [ 2, 2]) 的最大值为 g (a) ,求 g (a) . 2 解: (1) 若 a ? 0 ,则 f ( x) ? x( x ?[ 2, 2]) , ∴ g (a) ? 2 . 1 1 2 1 ? a( x ? [ 2, 2]) , (2) 若 a ? 0 ,则 f ( x) ? a ( x ? ) ? 2 a 2a 1 ①当 a ? 0 时,由 x ? ? ? 0 知 f ( x) 在 x ?[ 2, 2] 上单调递增, a ∴ g (a ) ? f (2) ? a ? 2 ;
例 8 设 a 为实数,记函数 f ( x ) ? ②当 a ? 0 时,

1 2 ,则 g (a ) ? f ( 2) ? 2 , ? (0, 2) ,即 a ? ? a 2 1 1 1 2 1 若 ? ?[ 2, 2] ,即 ? , ? a ? ? ,则 g (a) ? f (? ) ? ? a ? a a 2a 2 2 1 1 若 ? ? (2,??) ,即 ? ? a ? 0 ,则 g (a ) ? f (2) ? a ? 2 . 2 a 1 ? a?? , ? a ? 2, 2 ? 1 2 1 ? , ? ?a?? ,. 综上所述: g (a ) = ??a ? 2a 2 2 ? ? 2 a?? . ? 2, 2 ?
若? 思考: 设 a 为实数,记函数 f ( x) ? a 1 ? x 2 ? 1 ? x ? 1 ? x 的最大值为 g (a ) , 求 g (a) . 分析: 令 t ? 1 ? x ? 1 ? x ,则 t ? 2 ? 2 1 ? x , ∴
2 2

1? x2 ?

1 2 t ? 1. 2

∵函数 f ( x) 的定义域为 (?1,1) , ∴ t ? [ 2 ,2] . ∴ f ( x) ? m(t ) ? a ( t ? 1) ? t ?
2

1 2

1 2 at ? t ? a , t ? [ 2 ,2] . 2

1 2 at ? t ? a , t ? [ 2 ,2] 的最大值,化归为例 2 求解. 2 或由函数 f ( x) 的定义域为 (?1,1) ,可令 x ? cos? , ? ?[0, ? ] ,则 ? ? ? ? 1 y ? a sin ? ? 2(cos ? sin ) ,又令 t ? 2(cos ? sin ) ,则 sin ? ? (t 2 ? 1) , 2 2 2 2 2 1 2 ∴ y ? at ? t ? a , t ? [ 2 ,2] 2
由题意知 g (a ) 即为函数 m(t ) ? 练习 1. 设 a 为实数,函数 f ( x) ? 2x ? ( x ? a) x ? a .
2

(1)若 f (0) ? 1 ,求实数 a 的取值范围;

(2)求 f ( x) 的最小值.解:(1)若

f (0) ? 1 ,则 ?a | a |? 1 ? ?

?a ? 0
2 ?a ? 1

? a ? ?1

2 ? f (a), a ? 0 ?2a , a ? 0 2 2 ? 2 (2)当 x ? a 时, f ( x) ? 3x ? 2ax ? a , f ( x) ? ? ? ? 2a ? a min f ( ), a ? 0 ? ,a ? 0 ? ? 3 ? 3

当 x ? a 时, f ( x) ? x ? 2ax ? a , f ( x) min
2 2

??2a 2 , a ? 0 ? f (?a), a ? 0 ? ?? ?? 2 ? 2a , a ? 0 ? f (a), a ? 0 ?

综上 f ( x)min

??2a 2 , a ? 0 ? ? ? 2a 2 ,a ? 0 ? ? 3

例 9.已知二次函数 y ? g ( x) 的导函数的图像与直线 y ? 2 x 平行,且 y ? g ( x) 在 x =-1 处 取得最小值 m-1(m ? 0 ).设函数 f ( x ) ?

g ( x) x

(1)若曲线 y ? f ( x) 上的点 P 到点 Q(0,2)的距离的最小值为 2 ,求 m 的值; (2) k (k ? R) 如何取值时,函数 y ? f ( x) ? kx 存在零点,并求出零点. 解:(1)设 g ? x ? ? ax 2 ? bx ? c ,则 g? ? x ? ? 2ax ? b ; 又 g? ? x ? 的图像与直线 y ? 2 x 平行,? 2a ? 2 .即 a ? 1 . 又 g ? x ? 在 x ? ?1 取最小值,∴ ?

b ? ?1 ,即 b ? 2 . 2

? g ? ?1? ? a ? b ? c ? 1? 2 ? c ? m ?1, c ? m ;∴ f ? x ? ?
设 P( x0 , y0 ) , 则 PQ2 ? x0 2 ? ( y0 ? 2)2 ? x0 2 ? ( x0 ? ∴ 2 2m ? 2m ? 2 ,解得 m ?
2

g ? x? m ? x? ?2 . x x

m 2 m2 ) ? 2 x02 ? 2 ? 2m ? 2 2m2 ? 2m . x0 x0

2 ?1或 m ? ? 2 ?1 ;
m ?2?0, x

(2)由 y ? f ? x ? ? kx ? ?1 ? k ? x ? 得 ?1 ? k ? x ? 2x ? m ? 0
2

?*?

当 k ? 1 时,方程 ?*? 有一解 x ? ?

m m ,函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ? ? ; 2 2

当 k ? 1 时,方程 ?*? 有二解 ? ? ? 4 ? 4m ?1 ? k ? ? 0 , ①若 m ? 0 , k ? 1 ?

1 , m
?2 ? 4 ? 4m ?1 ? k ? 2 ?1 ? k ? ? 1 ? 1 ? m ?1 ? k ? k ?1

函数 y ? f ? x ? ? kx 有两个零点 x ?



②若 m ? 0 , k ? 1 ?

1 , m
?2 ? 4 ? 4m ?1 ? k ? 2 ?1 ? k ? ? 1 ? 1 ? m ?1 ? k ? k ?1

函数 y ? f ? x ? ? kx 有两个零点 x ?



当 k ? 1 时,方程 ?*? 有一解 ? ? ? 4 ? 4m ?1 ? k ? ? 0 , k ? 1 ?

1 , m

函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ?

1 k ?1

练习 1.已知关于 x 的二次方程 x ? 2mx ? 2m ? 1 ? 0 .
2

(1)若方程有两根,其中一根在区间 (?1, 0) 内,另一根在区间 (1, 2) 内,求实数 m 的取值 范围; (2)若方程两根均在区间 (0,1) 内,求实数 m 的取值范围.
2 解:设二次方程 x ? 2mx ? 2m ? 1 ? 0 所对应的函数为 f ( x) ? x ? 2mx ? 2m ? 1.

2

(1)要使方程的两根一根在区间 (?1, 0) 内,另一根在区间 (1, 2) 内,

? f (0) ? 2m ? 1 ? 0, ? f (?1) ? 2 ? 0, 5 1 ? 由根的分布知识得 ? 解得 ? ? m ? ? ; 6 2 ? f (1) ? 4m ? 2 ? 0, ? ? f (2) ? 6m ? 5 ? 0. ? f (0) ? 2m ? 1 ? 0, ? f (1) ? 4m ? 2 ? 0, ? (2)要使方程两根均在区间 (0,1) 内,由根的分布知识得 ? ?? ? 0, ? ?0 ? ?m ? 1.

1 ? ?m ? ? 2 , ? 1 ? 解得 ?m ? 1 ? 2或m ? 1 ? 2, 即 ? ? m ? 1 ? 2 . 2 ??1 ? m ? 0. ? ? ?
备用.己知 a ? 0,函数f ( x) ? ax ? bx2 , (1) 当b

? 0时,若对任意 x ? R都有f ?x ? ? 1, 证明: a ? 2 b ;
a 2 a2 ) ? 2b 4b

时 ,证明:对任意 x ? [0,1] , | f ( x) |? 1 的充要条件是 b ? 1 ? a ? 2 b ; (2) 当b ? 1
证明:(1)依题意,对任意 x ? R ,都有 f ( x) ? 1.? f ( x) ? ?b( x ?

?f(

? ? x ? ?1,即ax ? bx2 ? ?1; 又?b ? 1, a ? 2 b , 对任意x ? ?0,1?, 可知 1 1 ax ? bx2 ? 2 b x ? bx2 ? (2 b x ? bx2 ) max ? 2 b ? ? b ? ( ) 2 ? 1,即ax ? bx2 ? 1 b b ? ?1 ? f ( x) ? 1
必要性:对任意 x ? 0,1 , f ( x) ? 1,? f ( x) ? ?1,? f (1) ? ?1

a a2 )? ? 1,? a ? 0, b ? 0 ? a ? 2 b . 2b 4b 2 2 (2)充分性:?b ? 1, a ? b ? 1, 对任意x ? ?0,1?, 可推出: ax ? bx ? b( x ? x ) ? x

? ?

即a ? b ? ?1? a ? b ? 1; 又?b ? 1? 0 ?

a 1 ? 1 ? ? 1,由f ?x ? ? 1知f ? ? ? 1 即 b ? 1 ? 1,? a ? 2 b , 故b ? 1 ? a ? 2 b b ? b?

综上, 对任意x ??0,1?, f ( x) ? 1 的充要条件是 b ?1 ? a ? 2 b .
三、方法提升: 1、关于二次方程根的分布问题,主要采用连续函数零点存在性定理,并结合函数的单调性 来解决问题,这与后面利用导数来解决根的个数问题方法一致; 2、利用二次函数求最值是一种重要的方法,注意转化思想的应用; 3、韦达定理的使用是为了从整体上解决问题,利用根与系数的关系,减小计算量; 4、含有二次不等式的讨论问题原则有两个,一是讨论二次项系数的正负,二是讨论两个根 的大小。 四、反思感悟