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江苏省扬州中学2016届高三上学期开学考试 数学(理)


扬州中学 2016 届高三 8 月开学考试

数 学 (理科)试 题Ⅰ
(全卷满分 160 分,考试时间 120 分钟) 2015.8 注意事项: 1. 答卷 前,请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方. 2.试题答案均写在答题卷相应位置,答在其它地方无效. 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应位置) 1.已知集合 A ? {x || x |? 2}, B ? {x |

1 ? 0},则 A ? B = x ?1
▲ .





2.已知命题 p : ?x ? (1, ??), log2 x ? 0 ,则 ? p 为 3.若复数 z ?

a?i (其中 i 为虚数单位)的实部与虚部相等,则实数 a ? i
▲ .



.

4. 记不等式 x2+x-6<0 的解集为集合 A, 函数 y=lg(x-a)的定义域为集合 B. 若“x∈A”是“x∈ B”的充分条件,则实数 a 的取值范围为

5.袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球,从中任取两个球,则这两个球颜色相同的概率 为 ▲ .

6. 曲线 y ? x ? cos x 在点 ( 7. 若 ( x ?

? ? , ) 处的切线方程为 ▲ . 2 2

1 2 x
4

) n 展开式中前三项系数成等差数列,则 n 的值为 ▲ .
▲ .

8.若函数 f ( x) ?

2x ? 1 f x) ? 3 成立的 x 的取值范围为 是奇函数,则使 ( 2x ? a

9.已知 ? 为第二象限角, sin ? ? cos? ? 10.若函数 f ( x) ? 2
x ?a

3 ,则 cos 2? = 3



.

(a ? R) 满足 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,且 f ( x) 在 [m, ??) 上单调递增,则
▲ . ▲ .

实数 m 的最小值等于 11.已知函数 f ( x) ?

x ?1 , x ? R ,则不等式 f ( x 2 ? 2x) ? f (3x ? 4) 的解集是 x ?1


?? x 2 ? 2 x, x ? 0, 12.已知函数 f ( x) ? ? 若 f ( x) ? ax ,则 a 的取值范围是 ?ln( x ? 1), x ? 0.

.

x 13.已 知 f ( x ) 是 定 义 在 [?2, 2] 上 的 奇 函 数 , 当 x ? (0, 2] 时 , f ( x )? 2 ? , 1 函 数

g ( x) ? x2 ? 2x ? m . 如果 ?x1 ?[?2, 2] , ?x2 ?[?2, 2] ,使得 g ( x2 ) ? f ( x1 ) ,则实数 m 的

取值范围是



.

? 1 2 ?? 4 x ,0 ? x ? 2 ? 14.已知函数 y ? f ( x) 是定义域为 R 上的偶函数, 当 x ? 0 时, f ( x) ? ? ,若 x 1 3 ? ? ?? ? ? ? , x ? 2 ? 4 ? ?2?
关于 x 的方程 ? f ( x)? ? af ( x) ?
2

7a ? 0, a ? R 有且仅有 8 个不同实数根,则实数 a 的取值范 16

围是▲

.

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分 14 分)

1 ; 4 2 sin 2? ? cos 2 ? (1)求 tan ? ; (2)求 . 1 ? cos 2?
已知 tan(

?

??) ?

16. (本小题满分 14 分)
2 已知命题 p :关于实数 x 的方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的负根; 命题 q :关于实数 x 的

方程 4 x2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根. (1) 命题“ p 或 q ”真,“ p 且 q ”假,求实数 m 的取值范围. (2) 若关于 x 的不等式 ( x ? m)( x ? m ? 5) ? 0(m ? R) 的解集为 M; 命题 q 为真命题时, m 的取值集合为 N.当 M ? N ? M 时,求实数 m 的取值范围.

17. (本小题满分 14 分) 设 f ? x ? ? sin x cos x ? cos ? x ?
2

(1)求 f ? x ? 的单调区间;

? ?

??

?. 4?
? A? ? ? 0, a ? 1 ,求 ?ABC 面积的 ?2?

(2)在锐角 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 f ? 最大值.

18. (本小题满分 16 分) 右图为某仓库一侧墙面的示意图,其下部是一个矩形 ABCD,上部是圆弧 AB,该圆弧所在圆 的圆心为 O. 为了调节仓库内的湿度和温度, 现要在墙面上开一个矩形的通风窗 EFGH(其中 E, F 在圆弧 AB 上, G,H 在弦 AB 上).过 O 作 OP?AB,交 AB 于 M,交 EF 于 N,交圆弧 AB 于 P.已知 OP=10,MP=6.5(单位:m),记通风窗 EFGH 的面积为 S(单位:m ). (1)按下列要求建立函数关系式: (i)设∠POF=θ (rad),将 S 表示成 θ 的函数; (ii)设 MN=x (m),将 S 表示成 x 的函数; (2)试问通风窗的高度 MN 为多少时,通风窗 EFGH 的面积 S 最大?
2

P E A H M O N F G B

D

(第 18 题图)

C

19.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? 1 ? x ? 1 ? x 。 (1)求函数 f ( x ) 的定义域和值域;

a ? ? f 2(x) ?2 ? ? ? f ( x) ( a 为实数),求 F ( x) 在 a ? 0 时的最大值 g (a ) ; 2 ? (3)对(2)中 g (a ) ,若 ?m2 ? 2tm ? 2 ? g (a ) 对满足 a ? 0 所有的实数 a 及 t ? [?1,1]
(2)设 F (x) ? 恒成立,求实数 m 的取值范围。

20.(本小题满分 16 分)

m( x ? n ) (m ? 0) . x ?1 (1)当 m ? 1 时,函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 在 x ? 1 处的切线互相垂直,求 n 的值; (2)若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在定义域内不单调,求 m ? n 的取值范围; 2a x ax (3)是否存在实数 a ,使得 f ( ) ? f (e ) ? f ( ) ? 0 对任意正实数 x 恒成立?若存在, x 2a 求出满足条件的实数 a ;若不存在,请说明理由.
设函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ?

扬州中学 2016 届高三 8 月开学考试

数 学 (理科)试 题Ⅱ
(全卷满分 40 分,考试时间 30 分钟) 2015.8 21.选修 4-4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分)

1 ? x ? t2 ? ? 2 (t为参数) 在平面直角坐标 xoy 中,已知曲线 C 的参数方程为 ? ,曲线与直线 ?y ? 1 t ? 4 ? 1 l : y ? x 相交于 A, B 两点,求线段 AB 的长。 2

22 选修 4-4:坐标系与参数方程(本题满分 10 分) 在极坐标系中,求圆 ? ? 2cos ? 的圆心到直线 2 ? sin(? ?

?
3

) ? 1 的距离.

23. (本小题满分 10 分) 一位网民在网上光顾某淘宝小店,经过一番浏览后,对该店铺中的 A, B, C , D, E 五种商品有购 3 2 买意向.已知该网民购买 A, B 两种商品的概率均为 ,购买 C , D 两种商品的概率均为 ,购买 4 3

1 E 种商品的概率为 .假设该网民是否购买这五种商品相互独立. 2 (1)求该网民至少购买 4 种商品的概率; (2)用随机变量 h 表示该网民购买商品的种数,求 h 的概率分布和数学期望.

24. (本小题满分 10 分) 设 Pn ? (1 ? x) 2n?1 , Qn ? 1 ? (2n ? 1) x ? (n ? 1)(2n ? 1) x 2 , x ? R, n ? N * (1)当 n ? 2 时,试指出 Pn 与 Qn 的大小关系; (2)当 n ? 3 时,试比较 Pn 与 Qn 的大小,并证明你的结论.

2015 年 8 月开学考

理 科 数 学 试 题 参 考 答 案
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应位置) 1、

?x | ?1 ? x ? 2? 2. ?x ? (1, ??),log2 x ? 0 3. ? 1
?
2 ? 0 7.8

4. (-∞,-3] 11. (1,2)

5.

1 3
12. [ - 2,0]

6. 2 x ? y ? 13. ?? 5,?2?

(0,1 ) 8.
14. ( ,

9. ?

5 10. 1 3

7 16 ) 4 9

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

? tan ? 1 ? tan ? 1 ? 4 ?? ? ? ? ? ?4 ? 1 ? tan ? tan ? 1 ? tan ? 2 4 1 ? tan ? ? ? . 3 2 sin 2? ? cos ? 2sin ? cos ? ? cos 2 ? 2 tan ? ? 1 5 ? ? ?? (2) 2 1 ? cos 2? 2cos ? 2 6
15.解:(1) tan ?

??

tan

?

?? ? m 2 ? 4 ? 0 2 16.解: (1)若方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两不等的负根,则 ? ?m ? 0
即命题 p : m ? 2 ,
2

解得 m ? 2

若方程 4 x ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根,则 Δ=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)<0 解得:1<m<3.即命题 q :1<m<3. 由题意知,命题 p、q 应一真一假,

?m ? 2 ?m ? 2 即命题 p 为真,命题 q 为假或命题 p 为假,命题 q 为真.∴ ? 或? ?m ? 1或m ? 3 ?1 ? m ? 3
解得:m≥3 或 1<m≤2. (2)(2)∵ M ? N ? M ∴ N ? M

?? ? 1 ? cos ? 2 x ? ? sin 2 x 2? ? ? 17(I)由题意知 f ? x ? ? 2 2 sin 2 x 1 ? sin 2 x 1 ? ? ? sin 2 x ? 2 2 2 ? ? ? ? 由 ? ? 2k? ? 2 x ? ? 2k? , k ? Z 可得 ? ? k? ? x ? ? k? , k ? Z 2 2 4 4 ? 3? ? 3? ? 2k? , k ? Z 可得 ? k? ? x ? ? k? , k ? Z 由 ? 2 k? ? 2 x ? 2 2 4 4

? M ? (m ? 5, m), N ? (1,3) ?m ? 5 ? 1 ,解得: 3 ? m ? 6 . ?? m ? 3 ?

18.解:(1)由题意知,OF=OP=10,MP=6.5,故 OM=3.5. (i)在 Rt△ ONF 中,NF=OFsinθ=10sinθ,ON=OFcosθ=10cosθ.

在矩形 EFGH 中,EF=2MF=20sinθ,FG=ON-OM=10cosθ-3.5, 故 S=EF× FG=20sinθ(10cosθ-3.5)=10sinθ(20cosθ-7). 7 即所求函数关系是 S=10sinθ(20cosθ-7),0<θ<θ0,其中 cosθ0= . 20 ………… 4 分 (ii)因为 MN=x,OM=3.5,所以 ON=x+3.5. 351 在 Rt△ ONF 中,NF= OF2-ON2= 100-(x+3.5)2= -7x-x2. 4 在矩形 EFGH 中,EF=2NF= 351-28x-4x2,FG=MN=x, 故 S=EF× FG=x 351-28x-4x2. 即所求函数关系是 S=x 351-28x-4x2,0<x<6.5. ………… 8 分 (2)方法一:选择(i)中的函数模型: 令 f(θ)=sinθ(20cosθ-7), 则 f ′(θ)=cosθ(20cosθ-7)+sinθ(-20sinθ)=40cos2θ-7cosθ-20.………… 10 分 4 5 由 f ′(θ)=40cos2θ-7cosθ-20=0,解得 cosθ= ,或 cosθ=- . 5 8 4 因为 0<θ<θ0,所以 cosθ>cosθ0,所以 cosθ= . 5 4 设 cosα= ,且 α 为锐角, 5 则当 θ∈(0,α)时,f ′(θ)>0 ,f(θ)是增函数;当 θ∈(α,θ0)时,f ′(θ)<0 ,f(θ)是减函数, 4 所以当 θ=α,即 cosθ= 时,f(θ)取到最大值,此时 S 有最大值. 5 即 MN=10cosθ-3.5=4.5m 时,通风窗的面积最大. ………… 14 分 方法二:选择(ii)中的函数模型: 因为 S= x2(351-28x-4x2) ,令 f(x)=x2(351-28x-4x2), 则 f ′(x)=-2x(2x-9)(4x+39). ……… 10 分 9 9 13 因为当 0<x< 时 ,f ′(x)>0,f(x)单调递增,当 <x< 时,f ′(x)<0,f(x)单调递减, 2 2 2 9 所以当 x= 时,f(x)取到最大值,此时 S 有最大值. 2 即 MN=x=4.5m 时,通风窗的面积最大. ………… 14 分 19.解: (1) 由 1+x≥0 且 1-x≥0,得-1≤x≤1,所以定义域为 [?1,1] …………2 分 又 f ( x)2 ? 2 ? 2 1 ? x 2 ?[2, 4], 由 f ( x ) ≥0 得值域为 [ 2, 2] …………4 分

a ?? f 2 ( x) ? 2 ? ? f ( x) ? a 1 ? x 2 ? 1 ? x ? 1 ? x ? ? 2 1 2 2 令 t ? f ( x) ? 1 ? x ? 1 ? x ,则 1 ? x ? t ? 1 , 2 1 2 1 2 ∴ F ( x) ? m(t ) ? a ( t ? 1 )+t= at ? t ? a, t ? [ 2, 2] …………6 分 2 2 1 2 由题意知 g(a)即为函数 m(t ) ? at ? t ? a, t ? [ 2, 2] 的最大值。 2 1 1 2 注意到直线 t ? ? 是抛物线 m(t ) ? at ? t ? a 的对称轴。 a 2 因为 a<0 时,函数 y=m(t), t ?[ 2, 2] 的图象是开口向下的抛物线的一段,
(2)因为 F ( x) ?

…………………………10 分

(3)易得 gmin (a) ? 2 , 由 ?m2 ? 2tm ? 2 ? g (a) 对 a ? 0 恒成立,
2

…………12 分

2 即要使 ?m ? 2tm ? 2 ? gmin (a) ? 2? 即 m ? 2tm ? 0 恒成立,

令 h ?t ? ? ?2mt ? m ,对所有的 t ???1,1? , h ?t ? ? 0 成立,
2

?h(?1) ? 2m ? m 2 ? 0 只需 ? , 解得 m ? ?2, 或m=0,或m ? 2 . …………16 分 2 ? h(1) ? ?2m ? m ? 0
1? n 1? n ,? y ? g ( x) 在 x ? 1 处的切线斜率 k ? , 2 4 ( x ? 1) 1 1? n ? 1 ? ?1 , 由 f ?( x) ? , ? y ? f ( x) 在 x ? 1 处 的 切 线 斜 率 k ? 1 , ? x 4 ? n ? 5 .……………4 分 (2)易知函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的定义域为 (0, ??) , 1 2 x ? 2 ? m(1 ? n) ? x ? 2 ? m (1 ? n ) x ? 1 ? ? 1 m(1 ? n) x, ? ? 又 y? ? f ?( x ) ? g ?( x) ? ? 2 2 2 x ( x ? 1) x( x ? 1) ( x ? 1) 1 ?n ) ? 4 由 题 意 , 得 x ? 2 ? m( 1 ? n ) ? 的 最 小 值 为 负 , ? m( 1 (注:结合函数 x (m ? (1 ? n))2 2 ? m(1 ? n) ? 4 , y? x ??2 ? m (1 ?n 1 象同样可以得到),? ?) x ?图 4 ? m ? (1 ? n) ? 4 , ? m ? n ? 3 ( 注 : 结 合 消 元 利 用 基 本 不 等 式 也
20.解:(1)当 m ? 1 时, g ?( x) ? 可).………………………….….…………….……………………………………………9 分

2a x ) ? f( e ax ) ? f( ) ? axln2 ? a ? ax ln ? xln ? x ln2 ? a ,其中 x ? 0, a ? 0 x 2a 1 1 则 ? ?( x) ? a ? ln 2a ? a ln x ? a ? ,设 ? ( x) ? a ? ln 2a ? a ln x ? a ? x x a 1 ax ? 1 ? ?( x) ? ? ? 2 ? ? 2 ? 0 x x x ? ? ( x) 在 (0, ??) 单调递减, ? ( x) ? 0 在区间 (0, ??) 必存在实根,不妨设 ? ( x0 ) ? 0 1 1 即 ? ( x0 ) ? a ? ln 2a ? a ln x0 ? a ? ? 0 ,可得 ln x0 ? ? ln 2a ? 1 (*) x0 ax0
(3)令 ? ( x) =f (

? ( x) 在区间 (0, x0 ) 上单调递增,在 ( x0 , ??) 上单调递减,所以 ? ( x)max ? ? ( x0 ) , 1 ?2 ? ( x0 ) ? (ax0 ?1) ? ln 2a ? (ax0 ?1) ? ln x0 ,代入(*)式得 ? ( x0 ) ? ax0 ? ax0 1 根据题意 ? ( x0 ) ? ax0 ? ? 2 ? 0 恒成立. ax0 1 1 又根据基本不等式, ax0 ? 时,等式成立 ? 2 ,当且仅当 ax0 ? ax0 ax0 1 1 1 所 以 ax0 ? . 代 入 ( * ) 式 得 , ln ? ln 2a , 即 ? 2 , ax0 ? 1 ? x0 ? a a ax0
1 2 ? 2a, a ? ………………16 分 a 2
(以下解法供参考,请酌情给分) 解法 2: ? ( x) ? ax ? ln 2a ? ax ? ln x ? ln x ? ln 2a ? (ax ?1)(ln 2a ? ln x) ,其中 x ? 0, a ? 0

2a x ) ? f (e ax ) ? f ( ) ? 0 对任意正数 x 恒成立 x 2a 即 (ax ? 1)(ln 2a ? ln x) ? 0 对任意正数 x 恒成立
根据条件 f (

? ax ? 1 ? 0 ? ax ? 1 ? 0 1 1 ? ? ? ?ln 2a ? ln x ? 0 且 ?ln 2a ? ln x ? 0 ,解得 ? x ? 2a 且 2a ? x ? , a a ? ? a?0 a?0 ? ?
1 2 ? x ? 2a 时上述条件成立此时 a ? . a 2 解法 3: ? ( x) ? ax ? ln 2a ? ax ? ln x ? ln x ? ln 2a ? (ax ?1)(ln 2a ? ln x) ,其中 x ? 0, a ? 0 要使得 (ax ? 1)(ln 2a ? ln x) ? 0 对任意正数 x 恒成立, 1 等价于 (ax ? 1)(2a ? x) ? 0 对任意正数 x 恒成立,即 ( x ? )( x ? 2a ) ? 0 对任意正数 x 恒成 a
即 立, 设函数 ? ( x) ? ( x ? )( x ? 2a) ,则 ? ( x) 的函数图像为开口向上,与 x 正半轴至少有一个交点 的抛物线, 因此,根据题意,抛物线只能与 x 轴有一个交点,即

1 a

1 2 ? 2 a ,所以 a ? . a 2

扬州中学 2016 届高三 8 月开学考试

数 学 (理科)试 题Ⅱ
21 解:将曲线 C 的参数方程化为普通方程为: x ? 8 y (亦可直接用参数方程解 A,B 点)
2

?x ? 8 y 2 1 1 5 方程组 ? 解得 A(0,0), B ( , ) 故 AB ? 2 4 4 ?x ? 2 y
22. 圆的普通方程为 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 直线的普通方程为 3x ? y ?1 ? 0 ,

? 圆心到直线的距离为 d ?

3 ?1 2

3 3 2 2 1 1 23.解:(1)记“该网民购买 i 种商品”为事件 Ai , i ? 4,5 ,则: P( A5 ) ? ? ? ? ? ? , 4 4 3 3 2 8 3 3 2 2 1 3 2 2 1 2 3 3 1 1 1 3 1 2 ,………… P( A4 ) ? ? ? ? ? (1 ? ) ? C2 ? (1 ? ) ? ? ? ? C2 ? (1 ? ) ? ? ? ? 4 4 3 3 2 4 4 3 3 2 3 3 4 4 2 3 …2 分 1 1 11 所以该网民至少购买 4 种商品的概率为 P( A5 ) ? P( A4 ) ? ? ? . 8 3 24 11 答:该网民至少购买 4 种商品的概率为 . ………………………3 分 24 (2)随机变量 h 的可能取值为 0,1, 2,3, 4,5 , 3 3 2 2 1 1 , P(h ? 0) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 4 4 3 3 2 288 3 2 2 1 2 3 3 1 1 3 1 2 P(h ? 1) ? C2 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? C2 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 4 4 3 3 2 3 3 4 4 2 1 3 3 2 2 11 ? ( 1 ? ) ? ( 1? )? ( 1 ? ? ) (? 1 ? ), 2 4 4 3 3 288 3 3 2 2 1 2 2 3 3 1 P(h ? 2) ? ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 4 4 3 3 2 3 3 4 4 2 2 2 3 3 1 3 2 2 1 1 1 3 C2 (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? C2 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 3 3 4 4 2 4 4 3 3 2 3 2 1 47 1 3 1 2 , ?C2 ? (1 ? ) ? C2 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 4 4 3 3 2 288 1 11 47 1 1 97 , P(h ? 3) ? 1 ? P(h ? 0,1,2,4,5) ? 1 ? ? ? ? ? ? 288 288 288 3 8 288 1 P(h ? 4) ? P( A4 ) ? , 3 1 ………………………8 分 P(h ? 5) ? P( A5 ) ? . 8 所以:随机变量 h 的概率分布为: h 0 1 2 3 4 5 P 1 11 47 97 1 1 288 288 288 288 3 8 1 11 47 97 1 1 10 故 Eh ? 0 ? ? 1? ? 2? ? 3? ? 4 ? ? 5 ? ? .………………………10 分 288 288 288 288 3 8 3


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